Profiltheorie bei Unterschallgeschwindigkeit

8.121 Lineare Theorie bei Unterschallgeschwindigkeit (Prandtl – Glauertsche Regel). Die exakte Theorie der reibungslosen, kompressiblen Stromung fiihrt nach Кар. 3.33 auf eine nichtlineare Differential- gleichung fiir das Geschwindigkeitspotential, Gl. (3.79), welche fiir be- liebige Korperformen einer numerischen Losung kaum zuganglich. ist. Fiir schlanke Korperformen jedoch, insbesondere fiir Tragfliigelprofile, laBt sich diese Gleichung mit guterNaherung linearisieren, Gl. (3.82), und

H. Schlichting et al., Aerodynamik des Flugzeuges © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

damit fur solche Korperformen explizit losen. Die physikalische Voraus – setzung hierfiir besteht darin, daB die vom Korper erzeugten Storge- schwindigkeiten im Vergleich zur Anstromungsgeschwindigkeit klein sind. Diese Bedingung ist fiir Tragflugelprofile bei kleinen und maBigen An – stellwinkeln erfiillt. Die lineare Theorie der kompressiblen Stromung bei Unterschallgeschwindigkeit ftihrt auf die Prandtl-Glauertsche Regel, nach der die Ermittlung der kompressiblen Unterschallstromung auf die Berechnung einer ihr zugeordneten inkompressiblen Vergleichsstromung zuriickgefiihrt werden kann. Der wesentliche Inhalt dieser Prandtl – Glauertschen Regel besteht nach Кар. 3.34 in folgendem: Bei gleicher Korperform und bei gleichem Anstromungszustand sind die Druckunter – schiede in der kompressiblen Stromung im Verhaltnis 1/]/ 1 — Ma^ groBer als in der inkompressiblen Vergleichsstromung. Es bedeutet hier – bei Maoo = UJa^ die Machsche Zahl mit als Anstromgeschwin – digkeit und «oo als Schallgeschwindigkeit. Somit gilt fur die Druckver – teilung langs der Korperkontur nach Gl. (3.97):

P(x) ~ Poo = ….. 1 ■- [PikW ~ Poo]- (8.1)

ІІ-Маї

Dabei werden hier wie friiher die GroBen in der kompressiblen Stro­mung ohne Index und die GroBen in der inkompressiblen Vergleichs­stromung mit dem Index ik bezeichnet.

Druckverteilung. Fiir den dimensionslosen Druckbeiwert cp = ІР — Poo)I(QooI%) Ulc nach Gl. (3.30) ergibt sich damit die Umrechnungs – formel

Hierbei ist vorausgesetzt, daB die Profilkontur und der Anstellwinkel in der kompressiblen Stromung und in der inkompressiblen Vergleichs­stromung gleich groB sind, also:

Zik(X) = Z(X); <xik = <x. (8.3)

Dabei bedeuten X = x/l und Z = zjl die dimensionslosen Profilkoordi- naten nach Gl. (5.18).

Die experimented Nachpriifung von Gl. (8.2) ist in Abb. 8.1 fiir den einfachen Fall eines symmetrischen Profils von 12% Dicke bei symmetrischer Anstromung dargestellt. Die Dbereinstimmung zwischen Theorie und Messung ist im unteren Machzahlbereich sehr gut, wah – rend bei hoheren Mach-Zahlen gewisse Abweichungen auftreten. In Abb. 8.1 sind die Werte des kritischen Druckkoeffizienten (Erreichen der ortlichen Schallgeschwindigkeit, Ma — 1) mit angegeben. Sie werden
nach Gl. (3.52) und Abb. 3.9 ermittelt. Es wird also die ortliche Schall- geschwindigkeit zuerst bei Ma^ = 0,73 erreicht.

Kritische Machsche Zahl. Unter der kritischen Machschen Zahl Male wird die mit der Anstromungsgeschwindigkeit und der Schall-

Abb. 8.1. Druckverteilungen des Profils NACA 0012 bei symmetrischer Anstromung fur verschiedene Unterschall-Mach-Zahlen Ma^

Theorie nach der Prandtl-Glauertschen Regel, Gl. (8.2); Messung nach [2].

Ma = l(wK = a) bedeutet das Erreichen der ortlichen Schallgeschwindigkeit, nach Gl. (3.52).

geschwindigkeit des Anstromungszustandes gebildete Machsche Zahl verstanden, bei der ortlich am Profil die Schallgeschwindigkeit erreicht wird. Auf die Bedeutung der kritischen Machschen Zahl fur das ge – samte Stromungsbild wurde in Кар. 3.221 und 4.95 bereits hingewiesen. Mit dem Erreichen der kritischen Machschen Zahl treten im allgemeinen VerdichtungsstoBe und infolgedessen auch Stromungsablosungen und starke Widerstandserhohungen ein. Da beides in der linearen Theorie nicht erfaBt wird, gibt die kritische Machsche Zahl somit auch die Giiltigkeitsgrenze der linearen Profiltheorie an. Zu der kritischen Mach-Zahl Ma^ gehort der kritische Druckbeiwert c*. Die Beziehung

Diese Beziehung ermoglicht es, die kritisehe Machsche Zahl zu er- mitteln, wenn fur das Profil der groBte Unterdruck bei inkompressibler Stromung bekannt ist. Abb. 8.2 zeigt die graphische Ermittlung der

zwischen Mag und c* ist nach Gl. (3.52a):

2 1 – Mag

x + 1 Mag *

Fur Luft mit x = 1,4 ist dieser Zusammenhang in Abb. 3.9 dargestellt.

Die kritisehe Machsche Zahl erhalt man aus dieser Beziehung, indem man fur c* den groBten am Profil auftretenden Unterdruck c^n einsetzt, somit also:

2 (1 – Magf2

x + 1 Mag

Abb. 8.2. Zur Bestimmung der kriti-
schen Machschen Zahl Mag ernes
Tragflugelprofils; x = 1,4.
Kurve 1 nach Gl. (8.5);

Kurve 2 nach Gl. (8.6).

kritischen Machschen Zahl. Der Schnittpunkt der beiden gestrichelten Kurven ergibt Mag nach Gl. (8.6), wahrend der Schnittpunkt der beiden ausgezogenen Kurven Mag nach Gl. (8.5) liefert. Der Wert von cpmin hangt stark ab von der Profilform und vom Anstellwinkel. Er wird aus der potentialtheoretischen Geschwindigkeitsverteilung durch cpmin

(

auf der Profilkontur bedeutet. Setzt man noch WKmax = XJ00 – f – wmax mit um&x als maximale Ubergeschwindigkeit am Profil, so gilt im Rahmen der linearen Theorie n = Die maximalen Uber-

geschwindigkeiten fiir verschiedene Profile bei inkompressibler Stro – mung sind in Abb. 6.30 in Abhangigkeit von der Dickenriicklage und in Abb. 6.29 in Abhangigkeit vom Dickenverhaltnis dargestellt. Die kritischen Mach-Zahlen bei symmetrischer Anstromung sind fiir mehrere Profile in Abb. 8.3 in Abhangigkeit von der Profildicke d = djl und der Dickenriicklage Xd = xdJl angegeben. Mit wachsendem Dickenverhaltnis nimmt die kritische Mach-Zahl erwartungsgemaB fiir alle Profile stark ab. Dberdies hat auch die Dickenriicklage erheblichen EinfluB auf den Wert der kritischen Machschen Zahl, wie die drei Kurven fiir die er – weiterten Parabelprofile, Gl. (5.24), zeigen. Abb. 8.3 zeigt, daB bei vor – gegebener Profildicke Ellipsenprofile gegeniiber Joukowsky-Profilen ein giinstigeres Verhalten aufweisen.

Abb. 8.3. Kritische Mach-Zahl Ma*^ verschiede – Abb. 8.4. Theoretischer Auftriebs-

ner Profile bei symmetrischer Anstromung. Er – anstieg bei Unterschallstromung nach

weiterte Parabelprofile mit verschiedener Dicken – der Prandtl-Glauertschen Regel.

riicklage Xd.

Ellipsenprofile nach Tab. 3.4.

Joukowsky-Profile nach [54] von Кар. III.

Auftrieb. Der Auftrieb, der durch Integration der Druckverteilung iiber die Profiltiefe gewonnen wird, wachst beim Dbergang von der inkompressiblen zur kompressiblen Stromung wegen Gl. (8.2) eben – falls mit l/]/l — Ma% an. Damit ergibt sich fiir den Auftriebsanstieg nach Gl. (3.116), vgl. Abb. 3.18:

dcA =________ 1____ idcA = 2я 7

d<* Vi – Ma^ [dajik Уі – Mob ’ *

Dieser Zusammenhang ist in Abb. 8.4 nochmals dargestellt. Die t}ber- einstimmung dieser Beziehung mit experimentellen Ergebnissen wurde in Abb. 3.19 bereits fur symmetrische Profile verschiedener Dicke ge – zeigt. Dabei sind in Abb. 3.19 auch die Werte der kritischen Mach-Zahlen angegeben. Es zeigt sich, dab die Prandtl-Glauertsche Regel bis etwa Madie Messungen gut wiedergibt. Die experimentellen Ergebnisse fur den Auftriebsanstieg nach Abb. 3.19 sind in einer etwas anderen Dar – stellung (doppelt-logarithmischer MaBstab) in Abb. 8.5a nochmals auf – getragen.

Andere aerodynamische Beiwerte. Die Prandtl-Glauertsche Regel gestattet es, auch die tibrigen mit dem Auftrieb zusammen – hangenden aerodynamischen Beiwerte in einfacher Weise aus der in – kompressiblen Stromung zu ermitteln. Fur die inkompressible Stro­mung wurde die Bestimmung der Neutralpunktlage, des Nullauftriebs – winkels, des Nullmomentenbeiwertes sowie des Anstellwinkels und des Auftriebsbeiwertes des stoBfreien Eintritts in Кар. 6.323 angegeben.

Tabelle 8.1. Aerodynamische Beiwerte eines Profits bei Unterschallgeschwindigkeit nach der Prandtl-Glauertschen Regel. Aerodynamische Beiwerte fur inkompressible Stromung s. Tab. 6.1. oc = ocik, f = fik.

Druckverteilung

cp

———— (cp)ik

Vl – Ма%

Auftriebsanstieg

dcA

doc

1 (dcA 2n

Vi – Ma^ dailik – Mai,

Neutralpunktlage

xN

l

/®лг 1

1 L *

Nullauftriebswinkel

oc0

= (ao)tfc

Nullmoment

CMo

— . 0 (cM0)ik

Vl – Mai,

Anstellwinkel des stoB – freien Eintritts

<x8

= (ae)iк

Auftriebsbeiwert des stoB – freien Eintritts

cAs

1

ч-Н

II

Die Umrechnungsformeln von der inkompressiblen Stromung zur kom- pressiblen Stromung sind in Tab. 8.1 zusammengestellt. Nach der vorliegenden linearen Theorie sehr diinner Profile soil die Neutralpunkt – lage unabhangig von der Machschen Zahl sein. Die experimentellen Ergebnisse in Abb. 8.5b zeigen jedoch fur die dort ausgewahlten

Abb. 8.5. Auftriebsanstieg (a) und Neutralpunktlage (b) von NACA-Profilen verschiedener Dicke d/l in Abhangigkeit von der Machschen Zahl fur Unterschallgeschwindigkeit, Auftragung nach H. Multhopp; Messungen nach B. Gothert [22]; Neutralpunktlage als Abstand vom i/4-Punkt.

Profile mit wachsender Dicke eine betrachtliche Abhangigkeit der Neutralpunktlage von der Machschen Zahl.

Widerstand. Einige experimentelle Ergebnisse uber die Abhangig­keit des Profilwiderstandes von der Machschen Zahl wurden bereits in Abb. 3.20 angegeben. Die dort fur symmetrische Profile wieder – gegebenen Kurven von cWp in Abhangigkeit von Ma^ zeigen ein starkes Ansteigen nach Uberschreiten der kritischen Machschen Zahl Ma^. Weitere experimentelle Ergebnisse sind in Abb. 8.6 und 8.7 dargestellt. Abb. 8.6 zeigt den EinfluB des Anstellwinkels oc auf den Verlauf der Kurven cWp(MaOQ). Wahrend bei symmetrischer Anstromung (tx = 0°) die Machsche Zahl des steilen Widerstandsanstieges stark von der Profil – dicke abhangig ist (Abb. 8.3), hat bei (x=j=0° die Profildicke kaum noch einen EinfluB auf den Widerstandsanstieg. ErwartungsgemaB ver – schiebt sich mit der Anstellung des Profils der Widerstandsanstieg zu kleineren Machschen Zahlen. Der EinfluB der geometrischen Profil –

parameter Dickenrucklage, Nasenradius und Wolbung auf den Verlauf der Kurven cWp(MaOQ) ist in Abb. 8.7 dargestellt.

Abb. 8.6. Profilwiderstand von NACA-Profilen verschiedener Dicke in AbMngigkeit von der Mach-
schen Zahl bei Unterschallgeschwindigkeit, nach Messungen von B. GOthert [22].
a) Symmetrische Anstromung, a = 0°; b) unsymmetrische Anstromung, a = 4°.

Abb. 8.7. Profilwiderstand von NACA-Profilen in AbMngigkeit von der Machschen Zahl bei Unter-
schallgeschwindigkeit nach Messungen von B. GOthert [22]; Profildicke djl = 0,12; cA = 0.
a) EinfluB der Dickenriicklage x^/l] b) EinfluB des Nasenradius ry/Z; c) EinfluB der Wolbung //J;
Wolbungsrucklage xfjl — 0,35.

8.122 Hohere Naherungen bei Unterschallgeschwindigkeit (y. Karman – Tsien, Krahn). Ans der Herleitung der Prandtl-Glauertschen Regel in Кар. 3.34 ergibt sich, daB die Abweichungen dieser Naherungs-

losung von der exakten Losung um so groBer sind, je naher die Machsche Zahl an den Wert Eins herankommt. Dieses zeigen auch die Druck- verteilungsmessungen in Abb. 8.1. Deswegen hat man sich verschiedent – lich bemuht, die Prandtl-Glauertsche Naherung zu verbessern. Als ein Schritt in dieser Richtung konnen die hoheren Naherungen (Glieder mit Ma^, . . .) des Janzen-Rayleigh-Verfahrens, Кар. 3.41, aufgefaBt

werden. Diese Methode ist jedoch wegen ihrer Kompliziertheit fiir die Profiltheorie praktisch nicht anwendbar.

Ein weiterer Schritt in dieser Richtung wurde von Th. v. Karman und H. S. Tsien [77] unternommen. Auch die Arbeiten von E. Krahn

[40] und A. Betz und E. Krahn [6] haben in diesem Zusammenhang Bedeutung erlangt.

Formel von v. Karman-Tsien. Auch bei der v. Karman-Tsien – schen Formel wird die Berechnung der kompressiblen Stromung um ein vorgegebenes Profil zuriickgefiihrt auf die Ermittlung der inkompres – siblen Stromung des gleichen Profils. Ohne auf die Ableitung dieses Ver – fahrens einzugehen, sei hier nur das Ergebnis mitgeteilt. Es gilt:

Cp =——————– —^—————————– . (8.8)

ft – МаЪ + j (l – ft – Mai,) (cp)ik

Abb. 8.8. Vergleich gemessener Druckbeiwerte in ebener kompressibler Unterschallstromung mit

der Theorie.

1 y. KArmAn-Tsien, Gl. (8.8); 2 Prandtl-Glauert, Gl. (8.2). Messungen nach [71].

Wie man sofort erkennt, geht fiir kleine Werte von (cp)ik diese Glei – chung in die Prandtl-Glauertsche Formel, Gl. (8.2), iiber. Fur Unter – driicke erhalt man nach v. Karman-Tsien groBere und fiir tlberdriicke kleinere Werte als nach Prandtl-Glauert. Die numerische Auswertung
von Gl. (8.8) ist in Abb. 8.9 mit eingetragen. In Abb. 8.8 ist die v. Kar- man-Tsien-Regel mit Messungen am Profil NACA 4412 verglichen, wobei auch die Prandtl-Glauert-Regel mit eingetragen ist. Man sieht, daB bei den hoheren Mach-Zahlen in der Nahe von c* die v. K&rman-Tsien-Regel merklich besser mit den Messungen ubereinstimmt als die Prandtl – Glauert-Regel.

Formel von Krahn. Es laBt sich leicht einsehen, daB fur die Ge- schwindigkeitsverteilung WK und die Stromdichteverteilung q Wk langs einer umstromten Kontur im Bereich der Ubergeschwindigkeiten die folgenden beiden Ungleichungen gelten:

(8.9)

Qoo U oo U oo fik U oo

Im Bereich der Untergeschwindigkeiten ist in dieser Gleichung das <-Zeichen durch das >-Zeichen zu ersetzen. E. Krahn fiihrt die Annahme ein, daB in Gl. (8.9) das mittlere Glied gleich dem geometri – schen Mittel der beiden anderen Glieder ist. Daraus folgt:

Eil = i/e~ (Ejl (8.Ю)

Uoo ]/ e Uoojik’

Um diese Gleichung als eine Beziehung zwischen den Druckkoeffizienten bei kompressibler und inkompressibler Stromung zu schreiben, fuhren wir fiir das Dichteverhaltnis Gl. (3.33) und fur die Geschwindigkeitsver – teilung Gl. (3.32) ein. Dieses liefert:

(8.11)

Die numerische Auswertung dieser Formel ist in Abb. 8.9 fur ver- schiedene Werte von (cp)ik angegeben. Zum Vergleich sind auch die Kurven nach Prandtl-Glauert, Gl. (8.2), mit eingetragen. Bei den hoheren Mach-Zahlen ergeben sich nach Krahn etwas groBere Werte fur cp als nach der Naherung von Prandtl-Glauert. In Abb. 8.9 ist auch noch die Kurve c*{MaOQ) aus Abb. 3.9 angegeben, welche zur Be – stimmung der kritischen Mach-Zalil entsprechend Abb. 8.2 dient. Die c*-Kurve begrenzt den Giiltigkeitsbereich der Naherungen nach den groBen Mach-Zahlen.

Staupunkt.’ Zum AbschluB mogen noch die Druckbeiwerte im Stau – pUnkt nach den verschiedenen Naherungsverfahren verghchen werden.

Fur den Staupunkt ist (cp)ik — 1. Damit ergeben sich fur den Druck – beiwert im Staupunkt bei kompressibler Unterschallstromung aus den

1 Prandtl-Glauert, Gl. (8.2);

2 Krahn, Gl. (8.11);

3 v. KArmAn-Tsien, Gl. (8.8);

c* kritischer Druckbeiwert nach Gl. (3.52).

Gin. (8.2), (8.8) und (8.11) folgende Beziehungen:

In Abb. 8.10 sind die Druckbeiwerte cp0 in Abhangigkeit von Ma^ nach diesen Formeln dargestellt. Der exakte Wert fur den Druckbeiwert im Staupunkt cp0 wurde friiher in Gl. (3.64) angegeben. Durch Vergleich von Gl. (8.12 c) mit Gl. (3.64) stellt man fest, daB die Krahnsche Formel fur cp0 mit der exakten Formel ubereinstimmt. In Abb. 8.10 ist auch noch die schon friiher in Gl. (3.65) angegebene Naherungsformel cp0 = 1 + + Ma^14: mit eingetragen. Die Prandtl-Glauertsche und die v. Karman – Tsiensche Formel verheren bei Ma^ -> 1 ihre Giiltigkeit, was auf Grund

ihrer Herleitung auch zu erwarten ist. Hierbei ist noch anzumerken, daB bei der Anwendung der Prandtl-Glauert-Formel der Staupunkt ohnehin auszuschlieBen ist, vgl. Кар. 3.33.

8.123 ReibungseinfluB. Wird die Anstrom-Machzahl eines Trag – fliigelprofiles iiber die kritische Machzahl Ma^ krit == Ma^ hinaus erhoht

(Abb. 8.11 a), so tritt ein VerdichtungsstoB auf, der mit wachsender Mach­zahl stromabwarts wandert und an Starke zunimmt. Die durch den StoB gemaB Abb. 8.11c veranderte Druckverteilung liefert zusatzhche Saug – krafte am ruckwartigen Ted des Profils, welche den Widerstandsbeiwert ansteigen lassen (Abb. 8.11a). Von einer gewissen Starke des StoBes an verursacht der Druckanstieg im StoB Ablosung der Grenzschicht, welche
den Widerstand weiter erhoht und ferner wegen des instationaren Cha – rakters dieser Stromung zu heftigem Schiitteln fiihrt. Diese Erscheinung bezeichnet man in der Flugtechnik auch als,,Buffeting“. Sowohl die Machzahl des plotzlichen Widerstandsanstieges als auch die Buffeting – Machzahl hangen von der Profilform und dem Anstellwinkel, vgl. hierzu Abb. 8.11b, ab. Die sog. Schiittelgrenze beschrankt den fiir ein Flugzeug fliegerisch zulassigen Machzahl-Bereich. Erhoht man die Anstrom – Machzahl auf Gberschallgeschwindigkeit, so riickt der StoB in die Fliigel – hinterkante, und die Schiittelerscheinungen verschwinden wieder. Bei sehr diinnen, schwach angestellten Profilen kann dieser Zustand erreicht werden, ohne dab der StoB vorher eine zum Auslosen des Buffeting hin- reichende Starke erlangt hat. Die einzelnen Phasen der Stromung in Abb. 8.11b werden durch die in Abb. 8.11c dargestellten Druckver – teilungen erlautert.

Wegen der verwickelten Stromungsvorgange oberhalb der kritischen Machzahl ist eine Berechnung der Schiittelgrenze auf rein theoretischem Weg nicht moglich. Jedoch ist von F. Thomas [74] ein halbempirisches Verfahren fur die Ermittlung der Buffeting-Grenze angegeben worden, vgl. C. S. Sinnott [65], [66].

Uber eingehende experimented Untersuchungen zu diesem fur die Flugtechnik sehr wichtigen Problemkreis haben H. H. Pearcey [53],

[55] und D. W. Holder [30] ausfiihrlich berichtet.

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