Ahnlichkeitsregeln liir Unterschall – und tlberschallanstromung (Prandtl, Glauert, Ackeret)

Die Ahnlichkeitsregeln fiir Unterschall – und Uberschallstromung erhalt man aus einer Transformation der Potentialgleichung (8.40). Diese Transformation soil von der Art sein, daB in der transformierten Potentialgleichung die Mach-Zahl der Anstromung nicht mehr explizit vorkommt.

Zu diesem Zweck ordnen wir der vorgelegten kompressiblen Stro­mung eine transformierte Vergleichsstromung in geeigneter Weise zu. Wir versehen die GroBen in der transformierten Stromung mit einem Strich und setzen die Transformationsformeln folgendermaBen an (vgl. hierzu Кар. 3.34):

x’ = x, у’ = сху, z’ = сгг, Ф = с2Ф XJ’Q0 = V00. (8.42)

Fiihrt man dieses in Gl. (8.40) ein, so erhalt man

Aus dieser Gleichung bestimmen wir den Faktor cx > 0 so, daB die Mach-Zahl aus der Gleichung herausfallt. Dieses ergibt fur

Unterschallgeschwindigkeit: cx = У1 — Ma^ (Ma^ < 1), (8.44 a)

Uberschallgeschwindigkeit: cx = УMa^ — 1 (Ma^ > 1). (8.44b)

Beide Falle lassen sich auch zusammenfassen in die Gleichung

<a = V|1 – Mai і

д2Ф’ <№

дх’2 + dy’2 dz’2

Mit Gl. (8.44) ergeben sich aus Gl. (8.43) fiir die transformierte Ver­gleichsstromung folgende Differentialgleichungen fiir das Potential bei Unterschallgeschwindigkeit:

д2Ф’ д2Ф’ д2Ф’

~м2 ~

bei Uberschallgeschwindigkeit:

Die transformierte Gleichung fiir die Unterschallstromung ist identisch mit der Potentialgleichung der inkompressiblen Stromung nach Gl. (2.72). Die transformierte Gleichung fiir Uberschallstromung ist identisch mit
der linearen Potentialgleiehung (8.40) fur die Mach-Zahl MaOQ= ]/2. Diese Transformation zeigt, daB man die Berechnung der Unter – schallstromungen fiir beliebige Machsche Zahlen zuriickfiihren kann auf die Berechnung der Stromung bei Maж — 0 und die Berechnung der tlberschallstromungen fiir beliebige Machsche Zahlen auf diejenige bei Max = f2.

Der Transformationsfaktor c2 in Gl. (8.42) bleibt zunachst noch un – bestimmt. Er wird weiter unten angegeben werden. Wir bezeichnen die

Abb. 8.19. Eriauterungsskizze zur
Flugelgeometrie.

a) FliigelgrundriB,

A = lJk, Zuspitzung,

Л = bl/F, Seitenverhaltnis,

F FlugelgrundriBflache,

<P Pfeilwinkel;

b) Profilschnifcfc у = const, zK(x) Profilkontur,

fll relative Wolbung, dll relative Dicke,

<x Anstellwinkel.

angegebene Transformation als die Prandtl-Glauert-Aclceretsche Ahnlich- keitsregel der raumhchen Tragfliigeltheorie.

Transformation der geometrischen Fliigeldaten. Es soil im folgenden gezeigt werden, wie sich die Transformationsformeln, Gl. (8.42), auf einen Tragfliigel endlicher Spannweite anwenden lassen. Das Koordinaten – system x, y, z sei nach Abb. 8.19 gewahlt. Die #-Achse fallt in die An – stromungsrichtung. Aus Gl. (8.42) ergeben sich die Vorschriften, wie aus einem vorgegebenen Fliigel fiir eine vorgegebene Mach-Zahl der trans – formierte Fliigel erhalten wird, dessen Umstromung nach der obigen Regel fiir Unterschallgeschwindigkeit bei Ma^ = 0 und fiir Gberschall – geschwindigkeit bei Ma^ = У 2 berechnet werden muB. Aus dem vor­gegebenen Tragfliigel erhalt man den transformierten Fliigel nach Gl. (8.42) dadurch, daB man seine Abmessungen senkrecht zur Anstromungs-
richtung, also in y – und z-Richtung, mit dem Faktor cx nach Gl. (8.45) verkleinert bzw. vergroBert.

Ftir den Fliigelgrundrip, vgl. Кар. 5.12, ergeben sich folgende Um – rechnungsformeln:

a vorgegebenerFUige!

b transformierte Huget

Ma^i

|/%co^ 1

/|

V

M

Mdao

‘0J

Abb. 8.20. Anwendung der Prandtl-Glauert-Ackeretschen Regel auf das Beispiel eines zugespitzten

Pfeilfltigels.

a) Vorgegebener Flttgel, der fur die Mach-Zahlen = 0,7; 0,9; 1,1 und 2,0 berechnefc werden

soil;

b) transformierte Flttgel fttr diese Mach-Zahlen.

Zuspitzung:

X = A,

(8.48 a)

Seitenverhaltnis:

Л’ = лУ|1 – Mall,

(8.48b)

Pfeilung:

cot (pf = cot(p]/l — МаЦ.

(8.48 c)

11 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

Aus den Gin. (8.48b) und (8.48c) erhalt man sofort die bemerkenswerte Beziehung

A’ tan <p’ = Л tan <p. (8.48d)

Dabei ist es gleichgtiltig, auf welche im FliigelgrundriB festgelegte Ge – rade der Pfeilwinkel bezogen wird, z. B. Vorderkante oder Hinterkante.

In Abb. 8.20 ist die Transformation des Fliigelgrundrisses am Beispiel eines zugespitzten Pfeilfliigels erlautert. Der schraffierte FliigelgrundriB in Abb. 8.20a ist der vorgegebene Fliigel, dessen Umstromung fiir ver – schiedene Mach-Zahlen Ma= 0,7; 0,9; 1,1 und 2,0 ermittelt werden soil. Die dazugehorigen transformierten Fliigelgrundrisse sind in Abb. 8.20b dargestellt. Dabei sind fiir Ma^ < 1 die transformierten Fliigel bei inkompressibler Stromung (Ma= 0) und fiir Ma^ > 1 bei Ма„ — У 2 zu berechnen.

Die Transformation des Fliigelgrundrisses, wie sie durch Gl. (8.48a, b, c) gegeben ist, ist in Abb. 8.21 noch naher erlautert. In dieser Ab-

Abb. 8.21. Zur Anwendung der Prandtl-Glauert-Ackeretschen Kegel. Transformation des Fliigel- grundrisses: SeitenverMltnis Л’ und Pfeilwinkel <p’ des transformierten Fliigels in Abhangigkeit von

der Machschen Zahl.

bildung ist Л’IA und cot 99’/cot 99 iiber derMach-Zahl Maaufgetragen. Es ist wie in Abb. 8.20 der schraffierte FliigelgrundriB der vorgegebene Fliigel, der bei verschiedenen Mach-Zahlen berechnet werden soil. Die nichtschraffierten Fliigelgrundrisse stellen die transformierten Fliigel dar, die zu den vorgegebenen Mach-Zahlen gehoren. Ist die vorgegebene Mach-Zahl Ma^ = 0 bzw. Ma^ = ]/~2, so stimmt der transformierte Fliigel mit dem vorgegebenen Fliigel iiberein. Man erkennt aus Abb. 8.21,
daB im Unterschallbereich mit wachsender Mach-Zahl fur den trans – formierten Fliigel sich das Seitenverhaltnis verkleinert, wahrend der Pfeilwinkel sich vergroBert. Fur Ma^ -> 1 strebt das Seitenverhaltnis des transformierten Fliigels A -> 0 und sein Pfeilwinkel gegen <p’ -> 90°. Im Dberschallbereich hat man bei Ma^ > У 2 fiir den transformierten Fliigel mit wachsender Mach-Zahl eine Zunahme des Seitenverhaltnisses und eine Abnahme des Pfeilwinkels. Im Grenzfall sehr groBer Mach-Zahl strebt das Seitenverhaltnis des transformierten Fliigels A -> oo und der Pfeilwinkel 9/ -> 0. Somit hat man das bemerkenswerte Ergebnis, daB bei groBen Uberschall-Machzahlen die raumliche Tragfliigelstromung in die ebene Tragfliigelstromung iibergeht.

Die Prandtl-Glauert-Ackeretsche Regel laBt sich auch fiir unsym- metrische Anstromung (schiebender Fliigel) anwenden, vgl. hierzu [76].

Fiir den Profilschnitt und den Anstellwinkel (Abb. 8.19b) ergeben sich aus den Gin. (8.42) und (8.45) folgende Umrechnungsformeln:

Wolbungsverhaltnis: І – — 11 — Ma^ | , (8.49a)

L L

Dickenverhaltnis: у = у У 11 — Ma^ | , (8.49b)

Anstellwinkel: ос’ = л У 11 — Ма^ | . (8.50)

Fiir Маоо < У 2 hat also der transformierte Fliigel geringere Wolbung und geringere Dicke sowie kleineren Anstellwinkel als der vorgegebene Fliigel, dagegen fiir Ma^ > У 2 groBere Wolbung, groBere Dicke und groBeren Anstellwinkel als der vorgegebene Fliigel.

Transformation der Druckverteilung. Im vorstehenden wurde die Auswirkung der Transformation Gl. (8.42) zunachst auf die Fliigel – geometrie diskutiert. Es muB jetzt noch angegeben werden, welche Beziehung zwischen der Druckverteilung des vorgegebenen und der – jenigen des transformierten Fliigels besteht.

Fiir die dimensionslosen Druckkoeffizienten cp = (p — Poo)^/^ gilt nach Gl. (3.32 a) im Rahmen der linearen Naherung:

Dabei wird vorausgesetzt, daB fiir den vorgegebenen und den trans­formierten Fliigel die Anstromungsgeschwindigkeit gleich groB ist. Hieraus folgt sofort wegen Gl. (8.42) :

Cp = c2Cp. (8.52)

r dzK

00 8x [34]

dx’9

Der noch nicht bekannte Transformationsfaktor c2 wird aus den kine – matischen Stromungsbedingungen fiir die beiden Fliigel ermittelt (Stromlinienanalogie). Diese lauten im Rahmen der linearen Naherung

wobei w und w> die z-Komponenten der Storgeschwindigkeit auf der Profilkontur zK bzw. z’K (Abb. 8.19b) bedeuten. Wegen w = дФ/dz und w’ = d0’ldz’ ergibt sich unter Beachtung von Gl. (8.42):

cfc2 = 1

und somit wegen Gl. (8.45):

_ 1

“ |1 —

Damit ist jetzt auch die Konstante c2 bestimmt.

In Worten kann man den Inhalt der Prandtl-Glauert-Ackeretschen Regel folgendermaBen zusammenfassen 😡

Fassung I: Aus dem vorgegebenen Tragfliigel und der vorgegebenen Mach-Zahl bildet man einen transformierten Fliigel dadurch, daB man seine Abmessungen in y – und z-Richtung und seinen Anstellwinkel mit dem Faktor cx = ^ 1 — Ma{% multipliziert, wahrend seine Ab­messungen in ж-Richtung ungeandert bleiben. Fiir den so erhaltenen transformierten Fliigel ist, wenn die vorgegebene Mach-Zahl im Bereich der Unterschallgeschwindigkeit liegt, die inkompressible Stromung zu berechnen. Liegt die vorgegebene Mach-Zahl dagegen im Bereich der tlberschallgeschwindigkeit, so ist fiir den transformierten Fliigel die kompressible Stromung fiir Ma^ = У 2 zu berechnen. Bei gleicher An – stromungsgeschwindigkeit fiir den vorgegebenen und fiir den transfor – mierten Fliigel besteht dann zwischen den Druckbeiwerten der Zu – sammenhang:

_ V – Poo _ Cp p q0о 11 — Md^ I *

Im HinbUck auf die praktischen Anwendungen ist es angebracht, eine solche Transformation zu haben, bei welcher nur die Abmessungen in der i/-Richtung (FliigelgrundriB) verzerrt werden, wahrend die Ab­messungen in der z-Richtung (Profil und Anstellwinkel) ungeandert bleiben. Eine solche Transformation erhalt man aus der obigen Fassung I

dadurch, daB man nachtraglich die Verzerrung in der z-Richtung nach den Gin. (8.49 a, b) und (8.50) wieder riickgangig macht. Damit andert sich dann der Druckbeiwert nach Gl. (8.55) im Rahmen der linearen Theorie noch nm den Faktor ]/11 — Ma% | . Man erhalt dann fur den Druckbeiwert:

(8.56)

Dieser Zusammenhang ist in Abb. 8.22 dargestellt. Damit ergibt sich fur die Prandtl-Glauert-Ackeretsche Regel die folgende Fassung:

Abb. 8.22. Zur Anwendung der Prandtl-Glauert-Aekeretschen Uegel (Fassung II). Transformation der Druckbeiwerte nach Gl. (8.56).

Fassung II: Aus dem vorgegebenen Tragfliigel und der vorgegebenen Mach-Zahl bildet man einen transformierten Fliigel derart, da В man seine Abmessungen in der y-Richtung mit dem Faktor cx = )/11 — Ma^ ( multipliziert, wahrend seine Abmessungen in x – und z-Richtung sowie der Anstellwinkel unverandert bleiben. Fur den so erhaltenen transformier­ten Fliigel ist, wenn die vorgegebene Mach-Zahl im Bereich der Unter – schallgeschwindigkeit liegt, die inkompressible Stromung zu berechnen. Liegt die vorgegebene Mach-Zahl dagegen im Bereich der Uberschall- geschwindigkeit, so ist fur den transformierten Fliigel die kompressible Stromung fiir Ma00 = У 2 zu berechnen. Bei gleicher Anstromgeschwin – digkeit fiir den vorgegebenen und fiir den transformierten Fliigel besteht dann zwischen den Druckbeiwerten der Zusammenhang nach Gl. (8.56).

Abhangigkeit der aerodynamischen Beiwerte von der Machschen Zahl. Aus der Prandtl-Glauert-Ackeretschen Regel ergeben sich fiir die

aerodynamisehen Beiwerte die f olgenden allgemeingtiltigen Beziehungen: Wenn die Funktion

= A’; «*,/;£;£) (8.57)

die Abhangigkeit des Druckbeiwertes von den geometrischen Fliigel- daten bei M= 0 oder Ma^ = ]/ 2 bedeutet, so erhalt man die ent – sprechende Abhangigkeit von den geometrischen Fltigeldaten bei einer beliebigen Mach-Zahl wegen der Gin. (8.48) und (8.56) in der Form:

c„= * dx-,Ai\-Mal ; cotqp ]/11 — I ; у; —V

V| 1 – Male] l 4

(8.58 a)

ШегЬеі bedeutet d entweder die relative Dicke d/l, die relative Wolbung //Z oder den Anstellwinkel <x. Diese Gleichung laBt sich auch noch in der folgenden einfacheren Form schreiben:

cP=~. 8 , Ч»ІЬЛіпаг, ЛІі-Mail ;Z;A. (8.58b)

Vi 1 – Male I I 4

Aus der vorstehenden Formel fur die Druckverteilung erhalt man durch Integration liber die Fliigelflache eine entsprechende Formel fiir den Auftriebsbeiwert:

Ca = 6 3f (a; Л tan?; Л ^ і 1 – Mai|). (8.59)

Уі і — і ‘ ‘

Hierin bedeutet jetzt d den Anstellwinkel oder die relative Wolbung. Im Grenziibergang zur ebenen Stromung (A = 1, (p = О, Л -> oo) geht diese Prandtl-Glauert-Ackeretsche Ahnlichkeitsregel fiir Unterschall- geschwindigkeit in die bekannte Prandtl-Glauertsche Regel nach Gl. (8.7) und fiir Gberschallgeschwindigkeit in die Ackeretsche Losung nach Gl. (8.17) iiber. Der besondere Wert der vorstehenden Formeln besteht darin, daB sie den EinfluB der Machschen Zahl in einfacher Weise zum Ausdruck bringen. Aber auch fiir das Ordnen von Versuchs – ergebnissen sind sie von groBem Nutzen.

Eine zu Gl. (8.59) analoge Formel fiir den Widerstandsbeiwert wird in Gl. (8.141) angegeben, die jedoch nur fiir Gberschallgeschwindigkeit Giiltigkeit hat.

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