Erweiterte Traglinientheorie

7.341 Verfahren von Weissinger. Das in Кар. 7.23 in seinen Grund – ziigen erlauterte Verfahren der erweiterten Traglinientheorie ist von J. Weissinger [83] zu einem praktisch brauehbaren Rechenverfahren ausgearbeitet worden. Die Grundgleichung fur die Bestimmung der Zirkulationsverteilung nach diesem Verfahren wurde in Gl. (7.46) bereitgestellt. Wir fiihren wie in Gl. (7.65) wieder dimensionslose GroBen ein durch

der Aufpunkte. Wie in Кар. 7.23 angegeben, legt man entsprechend dem Theorem von Pistolesi (vgl. Кар. 6.351) die Aufpunkte in Drei – viertel der ortlichen Fliigeltiefe; somit ist xp = xx + Z/2. Diese Wahl der Lage des Aufpunktes (Dreiviertelpunkt) ergibt sich aus der zwei – dimensionalen Skelett-Theorie, fur die c’aoo = 2ж ist. Will man einen

I

anderen Wert von c’aoo einfiihren, so kann dieses auch durch eine Ande – rung der Lage der Aufpunktlinie geschehen, derart, dab

xP(y) = x,(y) Л-(7-112)

gesetzt wird, vgl. [74]. Hiernach ist:

т = ш-ш = -(7-113)

Fiir die Funktion $(fp, v’) na°h GU. (7.111) gilt bei r — rj:

3(Sp, r>*l) = 2- (7.114)

Fiihrt man nach J. Weissinger [83] die Funktion:

K(V, V) = K(ip, n, V’) = 2- 8(Єг*ї) (7.115)

(V — r) )

ein, dann wird aus Gl. (7.110):

1

*fo) = 2auto) + K(V, r,’) y(V) dri’. (7.116)

-1

Hierbei wurde oci(rj) nach Gl. (7.67a) eingesetzt.[11]

Die EinfluBfunktion К(rj, rf) nach Gl. (7.115) wurde so gewahlt, daB sie bei r — rj regular ist, wahrend der Integrand in Gl. (7.110) dort singular ist. Durch einfache Rechnung laBt sich zeigen, daB

К (??, Tj)

ist.

Wir schreiben jetzt die Integralgleichung der erweiterten Traglinien­theorie in Analogie zur Gl. (7.69) der einfachen Traglinientheorie in der Form:

«Ы = 2 [«<(»?) +*(»?)] (7.118)

mit

і

T(V) = ^jK(r],r]’)y(r]’)dr]’. (7.119)

-1

Die EinfluBfunktion K(rj, rj’) hangt ausschliefilich von der Geometrie des Fliigelgrundrisses ab. Zur bequemeren Ermittlung von K(rj, rj’) hat E. Truckenbrodt [74] ein graphisches Verfahren angegeben.

Quadraturverfahren. Fiir die numerische Auswertung von Gl. (7.118) hat J. Weissinger [83] in analoger Weise wie bei der einfachen Trag-

Unientheorie (Verfahren von Multhopp) ein verfeinertes Quadratur­verfahren angegeben. Auf die Wiedergabe dieses Verfahrens wird hier verzichtet und dafiir auf [83] verwiesen.

Beispiele. Auch fiir die erweiterte Traglinientheorie mogen einige Beispiele mitgeteilt werden. Umfangreiche Beispielrechnungen nach dem Weissingerschen Verfahren wurden von J. de Young und C. W. Harper [90] durchgefiihrt.

In Abb. 7.28 ist fur den unverwundenen Bechteckfliigel vom Seiten – verhaltnis Л — 6 die Zirkulationsverteilung йЬег Spannweite fur ос = 1 angegeben. Zum Vergleich ist auch die Kurve fur die einfache Trag – linientheorie mit eingetragen. Man sieht aus dieser Abbildung, dab bei

Abb. 7.29. Auftriebsverteilung cJcA des unverwundenen Rechteckflugels vom SeitenverhSltnis Л — 6; с’ — 2л. A. oo 1 Einfache Traglinientheorie; 2 erweiterte Traglinientheorie.

Abb. 7.30. Auftriebsanstieg dcAldot von Rechteckfliigeln in AbMngigkeit vom SeitenverMltnis Л; с’ = 2 л. A 00 1 Einfache Traglinientheorie; 2 erweiterte Traglinientheorie.

gleichem Anstellwinkel die erweiterte Traglinientheorie einen betracht – lich kleineren Auftrieb liefert als die einfache Traglinientheorie. Weiter – hin zeigt Abb. 7.29 die Auftriebsverteilung cajcA des gleichen Fliigels. Die erweiterte Traglinientheorie ergibt eine etwas weniger vollige Ver – teilung als die einfache Traglinientheorie. Diese Feststellung ist typisch

fur die erweiterte Traglinientheorie. In Abb. 7.30 sind die Auftriebs – anstiege von Rechteckfliigeln nach der erweiterten Traglinientheorie und der einfachen Traglinientheorie miteinander verglichen. Wahrend bei groBen Werten des Seitenverhaltnisses Л die Unterschiede zwischen beiden Kurven ziemlich gering sind, weichen sie bei kleinen Werten von A erheblich voneinander ab. Die Grenzwerte von dcAldoc fur Л->0 sind nach der einfachen Traglinientheorie

—^ — nA (Л-*0) (7.120)

doc

und nach der erweiterten Traglinientheorie[12]

= (Л-*0). (7.121)

doc 2

Diese beiden Grenzwerte sind in Abb. 7.30 mit eingetragen.

1,0 0,8 | 0,6

0,0

0 0,2 0,0 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,0 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,0 0,6 0,8 1,0

v—- v—► v—►

Abb. 7.31. Zirkulationsverteilung von drei unverwundenen Flugeln nach Tab. 7.5; <x = 1; c’A ^ = 2 я.

a) Trapezfliigel; <p — 0; Л = 2,75; Я = 0,5;

b) Pfeilfltigel; <p = 50°; Л == 2,75; Я = 0,5;

c) Dreieckflugel; <p — 52,4°; Л = 2,31; Я = 0.

Kurve 1: einfache Traglinientheorie nach Multhopp [56]; Kurve 2: erweiterte Traglinientheorie

nach Weissinger [83]; Kurve 3: Tragfl&chentheorie nach Truckenbrodt [75].

In Abb. 7.31 und Abb. 7.32 sind Ergebnisse fur einen Trapezfliigel, einen Pfeilflilgel und einen Dreieckflugel mit Seitenverhaltnissen zwischen Л — 2 und 3 mitgeteilt. Die geometrischen Daten dieser drei Flugel sind in Tab. 7.5 zusammengestellt. Abb. 7.31 zeigt die Zirkulations – verteilungen fur die unverwundenen Flugel mit oc = 1. Beim Trapez – fliigel ist die Kurve nach der einfachen Traglinientheorie mit angegeben. Sie liegt auch hier oberhalb der Kurve nach der erweiterten Traglinien-

Tabelle 7.5. Geometrische Daten und aerodynamische Beiwerte eines Trapezflilgels, eines Pfeilfliigels und eines Dreieckfliigels; cAOO = 2n. (1) einfache Traglinientheorie nach Multhopp [56]. (2) Erweiterte Traglinientheorie nach Weissinger [83]. (3) Tragflachentheorie nach Truckenbrodt [75] und Wagner [80], (fiinf Tiefenverteilungen, Werte in Klammern). Die Neutralpunktverschiebung Axn ist

vom geometrischen Neutralpunkt aus gemessen.

theorie. Bei alien drei Flugeln ist auch das Ergebnis der Tragflachen – theorie mit angegeben, fiber die in Кар. 7.35 berichtet wird. Die Gber – einstimmung zwischen der erweiterten Traglinientheorie nnd der Trag – flachentheorie ist gut. Auf die gute Gbereinstimmung zwischen der erweiterten Traglinientheorie (Dreiviertelpunktmethode) und der Trag – flachentheorie hat erstmahg J. Weissinger [83] durch Vergleich seines F-Verfahrens mit seinem L-Verfahren hingewiesen.

Abb. 7.32 zeigt die entsprechenden Zirkulationsverteilungen fur die antimetrische lineare Anstellwinkelverteilung oc = rj. In Tab. 7.5 sind

Abb. 7.32. Zirkulationsverteilung von drei Fltigeln nach Tab. 7.5 mit antimetrischer linearer Ver – windung (<x = r?); c’aoq = 2 я. a) Trapezflugel; q> = 0; Л = 2,75; A = 0,5; b) Pfeilfliigel; <p = 50°; Л — 2,75; A = 0,5; c) Dreieckfliigel; g> = 52,4°; Л = 2,31; A = 0. Kurve 1: einfache Traglinientheorie nach Multhopp [56]; Kurve 2: erweiterte Traglinientheorie nach Weissinger [83]; Kurve 3: Tragfiachentheorie nach Truckenbrodt [75].

auch die Werte des Auftriebsanstieges und des Rollmomentes (Roll- dampfung) dieser drei Fliigel angegeben.

7.342 Fliigel mit elliptischem GrundriB. Nachdem in Кар. 7.333 der Fliigel mit elliptischem GrundriB nach der einfachen Traglinientheorie behandelt wurde, moge jetzt diese Fliigelform auch noch nach der erweiterten Traglinientheorie berechnet werden. Von der einfachen Traglinientheorie iibernehmen wir das Ergebnis, daB der unverwundene Ellipsenflugel eine langs Spannweite elliptische Zirkulationsverteilung besitzt. Die folgende Betrachtung lehrt dann, um wieviel der Gesamt – auftrieb sich andert, wenn man von der einfachen zur erweiterten Trag­linientheorie iibergeht. Die in Abb. 7.30 fur Rechteckflugel mitgeteilten Ergebnisse zeigen bereits, daB beim tJbergang von der einfachen zur erweiterten Traglinientheorie der Gesamtauftrieb kleiner wird.

Da im vorhegenden Fall des Ellipsenflugels die Form der Zirkulations­verteilung langs Spannweite entsprechend der einfachen Traglinien­theorie vorgegeben wird, kann man die kinematische Stromungs –

bedingung nur noch in einem Punkt der Dreiviertelpunktlinie erfiillen. Hierfur wahlen wir nach H. B. Helmbold [23] den Dreiviertelpunkt des Fliigelmittelschnittes. Die kinematische Stromungsbedingung lautet somit nach Gl. (7.37):

* + 0) = 0. (7.122)

Hierbei ist |p = xPls der dimensionslose Abstand des Aufpunktes von der Z/4-Linie.

Wie hier nicht naher ausgefiihrt werden soil, ergibt sich fur den induzierten Abwindwinkel im Fliigelmittelschnitt bei elliptischer Zir- kulationsverteilung nach H. Glauert [18]:

Hierin bedeutet E das vollstandige elhptische Integral 2. Gattung mit dem Modul 1 /у|| + 1 und = cAjnA den bereits bekannten in­duzierten Anstellwinkel. Zur bequemeren Berechnung kann fur Gl. (7.123) ein Naherungsausdruck angegeben werden, der das elhptische Integral nicht mehr enthalt, vgl. [23]. Man findet dann unter Beriicksichtigung von Gl. (7.122):

Die Lage des Dreiviertelpunktes erhalt man nach Gl. (7.113) mit

4 b I л І і und к = лА/с’Лс

CA oo 2

zk

Wird dies in Gl. (7.124) eingesetzt, dann findet man fur den Auftriebs – anstieg:

dcA _ лА d(* Ік[13] + 1 + 1

(7.125)

In Abb. 7.33 ist der Auftriebsanstieg nach dieser Formel fur cA(X) = 2n, d. h. к = Л/2, iiber dem Seitenverhaltnis dargestellt. Zum Vergleich ist die Kurve nach der einfachen TragUnientheorie, Gl. (7.89a), mit eingetragen. Die Unterschiede zwischen den beiden Theorien sind ahn – Uch wie beim Rechteckflugel nach Abb. 7.30.

Die Gl. (7.125) fur die erweiterte Traglinientheorie entsteht aus Gl. (7.89a) fur die einfache Traglinientheorie, indem man beim un – verwundenen Fliigel formal к durch |/&2 – f – 1 ersetzt. In analoger Weise kann man auch bei den Fourier-Koeffizienten fur die Zirku-
lationsverteilung des verwundenen Flugels eine Korrektur einfuhren, die der erweiterten Traglinientheorie Rechnung tragt. Dieses kommt darauf hinaus, daB man die Gl. (7.86) in folgender Weise abandert:

an = ■……. * —- —– — f <x(&) sin & sin nd d&. (7.126)

Ук2 + n2 + n 71 J

Die Brauchbarkeit dieser Formel wurde durch zahlreiche Beispiel- rechnungen bestatigt.

Abb. 7.33. Auftriebsanstieg von ellip-
tischen Flugeln in Abhangigkeit vom
Seitenverhaltnis; cj ^ = 2 n.

1 Nach der einfachen Traglinien­

theorie, Gl. (7.89a);

2 nach der erweiterten Traglinien-

theorie, Gl. (7.125).

— о – Exakte Losungen nach Kinner
[37] und Krienes [40].

Fiir den Rollmomentenbeiwert cL erhalt man eine geschlossene Formel, wenn man in Gl. (7.82) fiir a2 den Wert nach Gl. (7.126) ein – setzt und dabei rj — cos # nach Gl. (7.78) beriicksichtigt. Es ergibt sich:

+1

CL = – -————— — [ <x(n) rifjT^rfdr). (7.127)

+4 + 2 л J

Hiernach laBt sich der Rollmomentenbeiwert in recht einfacher Weise ermitteln.

7.343 Ubergang von der erweiterten zur einfachen Traglinientheorie.

Es soil jetzt noch gezeigt werden, daB fiir groBe Seitenverhaltnisse die erweiterte Traglinientheorie in die einfache Traglinientheorie iibergefiihrt werden kann. Um diesen Grenziibergang auszufiihren, muB man in der kinematisghen Stromungs – bedingung der erweiterten Traglinientheorie die Linie der Aufpunkte £p (rj) nahe an die tragende Linie ^(77) riicken lassen, >1/ oder <5 —> 0, Abb. 7.27. Die kine – matische Stromungsbedingung lautet dann

ocw(S -> 0, rj) + oc(V) = 0 (A = groB). (7.128)

Hierin ist d(r}) durch Gl. (7.113) gegeben.

Fiir eine senkrecht angestromte tragende Linie ist fur einen sehr nahe gelegenen Aufpunkt £p = xp/s = d die induzierte Abwartsgeschwindigkeit nach Biot-Savart :

-w(zp, y) = Wi(y) +

2 nXp

Dabei bedeutet der erste Term der rechten Seite den Anted der freien Wirbel und der zweite Term denjenigen des gebundenen Wirbels. In dimensionsloser Form ergibt sich hieraus

-aa(S -> 0,,) – «M + – pp. (7.129)

71 d(rj)

Da nach den Gin. (7.113) und (7.65c) 7id(rj) = 1 /f(rj) ist, wird unterBeriicksichtigung von Gl. (7.128):

<x(rj) = + f(n) y(n)- (7.130)

Damit ist gezeigt, daB die erweiterte Traglinientheorie im Falle sehr groBer Seiten- verhaltnisse in die einfache Traglinientheorie iibergeht.

Dieser Grenziibergang laBt sich nach E. Truckenbrodt [77] auch auf den schiebenden Fliigel iibertragen und fuhrt auf die schon friiher von J. Weissinger [82] angegebene Theorie des schiebenden Flugels. Der Grenziibergang von der er – weiterten zur einfachen Traglinientheorie auch fiir Pfeilfliigel wird ebenfalls in [77] angegeben. Ausgehend von [77] wurde von B. Laschka und F. Wegener [49] ein Quadraturverfahren zur Berechnung der Auftriebsverteilung an gepfeilten Trag – fliigeln mit groBem Seitenverhaltnis ausgearbeitet. Fiir gepfeilte Fliigel entwickelte D. Kuchemann [42] ein Verfahren, das man ebenfalls als einfaches Traglinien – verfahren bezeichnen kann.