Tragllachentheorie

7.351 Allgemeiner Losungsansatz. Die Integralgleichung zur Be­rechnung der Zirkulationsverteilung nach der Tragflachentheorie wurde in Кар. 7.22, Gl. (7.40) bereitgestellt.

Wir fuhren die folgenden dimensionslosen GroBen ein:

„„d, = (7.131)

OS OS

9=-Sr – (7-132)

bUoo

Weiterhin bezeichnen wir den in Gl. (7.40) auf der linken Seite stehen – den Klammerausdruck der Einfachheit halber mit

dz(,)

*(£,гі) = »р—(7.133)

Es ist dieses der ortliche Anstellwinkel der gewolbten tragenden Flache. Somit wird aus Gl. (7.40):

*(*> у) = V Uoo 2 Cn(y)hn(x). L П = 0

x — xv (y) v 1 .. , . (7.139) Hier bedeutet l(y) die Fliigeltiefe und xv die Lage der Fltigelvorderkante des Schnittes y. Fur die Werte n = 0, 1 und 2 sind die Verteilungen in Abb. 7.34 dar- gestellt, Vgl. Abb. 6.22. Die Verteilung Abb – 7-34- Die Funktionen A0, К und A* fur 7 . її, . і – г»- і і. die Verteilung des Auftriebes iiber die n0 stellt die erste Birnbaumsche Normal – Flugeltiefe, nach [75]; vgl. Gl. (6.114). verteilung und die Verteilung eine Kombination der ersten und zweiten Birnbaumschen Normal verteilung і dar, derart, daB das Integral J h1(X)dX = 0 ist. о Die Funktionen h0 und hx nach Gl. (7.138) sind so normiert, daB nach Einsetzen in Gl. (7.135) ihre Integration iiber die Flugeltiefe,

vgl. die Gin. (6.66) und (6.67), den ortlichen Auftriebsbeiwert bzw. den ortlichen Momentenbeiwert, bezogen auf den Z/4-Punkt, ergibt, und zwar gilt:

Ca(y) = c0 Ы, (7.140)

cm(y) = (7.141)

Fiihrt man die Verteilungsfunktionen hn nach Gl. (7.138) in (7.137) einr so erhalt man explizite Ausdriicke fur die Funktionen Hn(x, y ; y’), die nur nioch von der Form des Fliigelgrundrisses abhangig sind. Die Aus – wertung der ersten EinfluBfunktion H0(x, y;y’) ist in Abb. 7.35 an-

gegeben (Kurven H0 — const). Dabei ist auch ein FliigelgrundriB mit eingetragen, um die Verwendung dieses Diagramms zu erlautern.

Schreibt man die Funktion G nach Gl. (7.136) in dimensionsloser Form unter Berucksichtigung von Gl. (7.132), dann wird

mit

Setzt man die so erhaltene Funktion in die Integralgleichung

(7.134) ein, so ergibt sich schlieBlich

Dieses ist ein System von Integralgleichungen fur die (N 1) Funk – tionen fn(rj), (n = 0, 1, . . ., N). Wahlt man (N – f 1) Verteilungs­funktionen, so werden diese dadurch bestimmt, daB man die kine – matische Stromungsbedingung auf (N – f – 1) Aufpunktlinien langs Spannweite erfullt. Nachdem man aus diesem Gleichungssystem die Funktionen f0(rj), fx(rj) usw. ermittelt hat, findet man fur die Auftriebs – verteilung[14]

= fo(v) = y(n)

und fur die Momentenverteilung (Momentenbeiwert bezogen auf I/4- Punkt)

= – jfiiv) = /«(»?)•

Entsprechend dem Ansatz nach Gl. (7.135) und der Beziehung nach Gl. (7.41) erhalt man die resultierende Druckverteilung von Unter – und Oberseite (Lastverteilung) zu:

ACp = PuzlPo = f К(І)Ш – (7-147)

9^oo I’W) n=«o

Im folgenden Abschnitt soil fiir dieses Verfahren die numerische Durch – fuhrung kurz erlautert werden.

7.352 Yerfahren von Multhopp und Truckenbrodt. Fur die numerische Auswertung des vorstehend geschilderten Verfahrens sind von H. Mult­hopp [58] und E. Truckenbrodt [75] unabhangig voneinander Ver­fahren angegeben worden. Wahrend E. Reissner [64] nur den Recht – eckfliigel behandelt, sind die beiden anderen Verfahren fur allgemeine FlugelgrundriBformen anwendbar. In beiden Arbeiten werden die zwei Verteilungsfunktionen h0 und hx zugrunde gelegt. Wahrend H. Multhopp die beiden Aufpunktlinien in 34,5% und 90,5% der orthchen Fliigeltiefe legt, bevorzugt E. Truckenbrodt die Lage der Aufpunktlinien in der Hinterkante und in der Z/4-Linie des Flugels.

Die weitere Darlegung der Rechnung schlieBt sich eng an [75] an. Wie schon angegeben, werden nur zwei Verteilungsfunktionen iiber Tiefe gewahlt, so daB in dem Verfahren nur die beiden EinfluBfunktionen H0 und Hx vorkommen. Wir fiihren als neue Bezeichnungen ein

H0(S>r>ri’) = i(£>r>ri’)> (7.148a)

4 Hx&nri’)=j&riri’). (7.148b)

(7.149)

wobei /0 und fx nach den Gin. (7.145) und (7.146) durch у und p ersetzt worden sind. Diese Gleichung muB fur zwei Werte von erfiillt werden, und zwar fur

f v = f i — f i und f p = Іл — £ и •

Hierbei bedeutet £i(r}) die Z/4-Linie und £h(v) die Hinterkante.

In Gl. (7.149) sind nunmehr die beiden Funktionen y(rj) und /г (rj) gesucht. Unmittelbar gegeben sind aus der Fliigelgeometrie die Anstell – winkelverteilung <x(fp, rj) und mittelbar in Abhangigkeit von der GrundriBform des Fliigels die EinfluBfunktionen і und j, vgl. Abb. 7.35. Von der Anstellwinkelverteilung werden in Gl. (7.149) nur die Werte auf der Z/4-Linie und an der Hinterkante benotigt.

S. Wagner [80] hat das geschilderte Tragflachenverfahren auf mehr als nur die zwei Verteilungsfunktionen uber die Fliigeltiefe h0 und hx erweitert. Entsprechend muB auch die Anzahl der Aufpunktlinien erhoht werden. Bei der Wahl von fiinf Verteilungen h0 bis &4 werden in [80] die Aufpunktlinien in die Vorderkante, die Einviertelpunkt-, Ein – halbpunkt-, DreiviertelpunktUnie und in die Hinterkante gelegt.

Quadraturverfahreu. Die numerische Auflosung von Gl. (7.149) ge- schieht durch ein erweitertes Quadraturverfahren in Anlehnung an das Multhoppsche Verfahren fiir die Traglinientheorie, vgl. [75], [80]. Wegen des groBen Umfangs der Rechnungen empfiehlt sich der Einsatz von elektronischen Rechenmaschinen.

Auftriebsverteilung. Nachdem man aus der Auflosung des Gleichungs- systems die Werte y(rj) und ju(rj) erhalten hat, ist die Auftriebsver­teilung langs Spannweite durch Gl. (7.145) gegeben. Die Lastverteilung uber die Fliigeltiefe liefert sodann Gl. (7.147), vgl. auch die Gin. (6.113) und (6.114),

Acp(X, rj) = [h0(X)y(rj) +M1(X)f*(rl)], (7.151)

wobei die Funktionen h0 und durch Abb. 7.34 gegeben sind.

Gesamtauftrieb und Rollmoment. Den Gesamtauftriebsbeiwert erhalt man nach Gl. (7.72) oder (7.102) und den Rollmomentenbeiwert nach Gl. (7.74) oder (7.104).

Nickmoment. Das ortliche Nickmoment um den ortlichen Z/4-Punkt ist gegeben durch Gl. (7.146). Bezeichnen xt(y) die Z/4-Linie und xa(y) die Linie der ortlichen Luftkraftangriffspunkte nach Abb. 7.36, so ist das Moment eines Fliigelschnittes у um den Z/4-Punkt:

dM = —Axa dA.

Fuhrt man hier dM = c^^l2 dу und dA = ^q^ldy ein, dann erhalt

Abb. 7.36. Zur Berechnung des Nickmomentes; xa(y) Lage der ortlichen Luftkraft-Angriffspunkte,
xi(y) ortliche Z/4-Linie, N Neutralpunkt des ganzen Fltigels.

man den Abstand der ortlichen Luftkraft vom ortlichen Z/4-Punkt zu

Axa(y)

Unter Einfiihrung von у und fi nach den Gin. (7.145) und (7.146) wird:

ДХдІЇ) _ Xg(n) – *l(n) = _ VM

l(Tj) Щ) y(rj)

Um das Nickmoment des ganzen Fliigels zu erhalten, sind die Beitrage der einzelnen Schnitte dM = —xadA um die y-Achse zu summieren. Dieses ergibt

s s

M = — f xa(y) dA = – J [x,(y) + Axa{y)} dA.

Hieraus erhalt man fiir den Momentenbeiwert cM = Mjq^Fl^ mit Іи als Bezugsfliigeltiefe nach Gl. (5.7):

(7.153)

Die Lage des Neutralpunktes des ganzen Fliigels ist dann schheBUch nach Gl. (5.51):

(7.154)

Im folgenden Abschnitt soil iiber einige Beispiele berichtet werden.

7.353 Beispiele undVergleich mit Messungen. Die Beispielrechnungen dieses Abschnittes beziehen sich auf Rechteckfliigel, Trapezflugel, Pfeilfliigel und Dreieckfliigel.

In Abb. 7.31 wurden bereits fiir einen Trapezflugel, einen Pfeilfliigel und einen Dreieckfliigel die Zirkulationsverteilungen der unverwundenen Fliigel nach verschiedenen Berechnungsverfahren mitgeteilt. Die geo – metrischen Daten dieser drei Fliigel sind in Tab. 7.5 zusammengestellt. Aus Abb. 7.31 hatte sich ergeben, daB der Unterschied zwischen der erweiterten Traghnientheorie und der Tragflachentheorie recht gering ist. Das gleiche gilt nach Abb. 7.32 fiir lineare Verwindung. In Abb. 7.37 ist fiir die drei unverwundenen Fliigel die Auftriebsverteilung iiber Spannweite in der Form callcAlm dargestellt. Hierbei ergibt sich, daB in dieser Darstellung die Rechenergebnisse praktisch iibereinstimmen. Die Auftriebsanstiege dcAldoc der drei Fliigel sind fiir die verschiedenen Theorien in Tab. 7.5 angegeben.

Die einfache und auch die erweiterte Traghnientheorie gestatten nicht die Ermittlung der ortUchen Neutralpunktlage, da nach diesen Verfahren der orthche Neutralpunkt auf die tragende Linie (Z/4-Linie) gelegt wird. Erst die Tragflachentheorie ermoghcht die Berechnung der ortUchen Neutralpunktlage nach Gl. (7.152). In Abb. 7.38 sind fiir die – selben drei Fliigel wie in Abb. 7.37 die ortUchen Neutralpunktlagen iiber Spann weite angegeben, vgl. auch Tab. 7.5. Beim ungepfeilten Fliigel Uegen die ortUchen Neutralpunkte langs der ganzen Spannweite vor der //4-Linie. Bei den beiden gepfeilten Fliigeln dagegen hat man

in der Umgebung der Flugelmitte ortliche Neutralpnnktlagen hinter der I/4-Linie und in der Nahe der Fliigelenden ortliche Neutralpunkt- lagen vor der Z/4-Linie. Die nach den Gin. (7.153) und (7.154) ermittelten

Abb. 7.37. Auftriebsverteilung caljcAlm yon drei unverwundenenFliigeln nach Tab. 7.5 und Abb. 7.31;
c’AOQ = 2 л, lm = F/b = mittlere Fliigeltiefe.

Kurve 1: einfache Traglinientheorie nach Mitlthopp [56]; Kurve 2; erweiterfce Traglinientheorie
nach Weissinger [83]; Kurve 3: Tragfl&chentheorie nach Truckenbrodt [75]; Kurve 3a:
Tragflachentheorie nach Wagner [80], (funf Tiefenverteilungen).

a Tnapezflugel h Pfeilf/ugel c Dneieckf/iigel

Abb. 7.38. Ortliche Neutralpunktlagen von drei unverwundenenFliigeln nach Tab. 7.5; c’ = 2n;

A oo

Tragflftchentheorie: Kurve 1 nach [75], Kurve 2 nach [80]; Ntt geometrischer Neutralpunkt des ganzen
Fltigels, N aerodynamischer Neutralpunkt des ganzen Fliigels.

Gesamtneutralpunktlagen sind in Abb. 7.38 eingetragen. In dieser Ab-
bddung sind auch die geometrischen Neutralpunkte nach Gl. (5.11) mit
angegeben. Der Abstand des aerodynamischen vom geometrischen

5 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

Neutralpunkt ist besonders beim Dreieckfliigel sehr groB. Die Zahlen – werte dieser Verschiebung sind in Tab. 7.6 zusammengestellt.

In Abb. 7.39 ist fur einen Dreieckfliigel die theoretische Auftriebs – verteilung iiber Spannweite mit Messungen verglichen. Fur Anstell-

Abb. 7.39.

Auftriebsverteilung cal/2b a eines Deltafliigels vom SeitenverhiUtnis Л = 2,3; Profil NACA 65 A 005 nach Messungen von K. Kraemer [38]; Vergleich mit Tragflftchen – theorie [75].

winkel bis etwa oc = 5° ist die tlbereinstimmung zwischen Theorie und Experiment sehr gut. Fur die groBen Auftriebsbeiwerte weichen die gemessenen Auftriebsverteilungen stark von der Theorie ab, weil Ablosung der Stromung an den auBeren Teilen des Fliigels vorliegt. In Abb. 7.40 sind die ortlichen Neutralpunktlagen mit der Theorie verglichen. Auch fur diese ist befriedigende tlbereinstimmung vor – handen. Fiir den gleichen Flugel sind in Abb. 7.41 fur einige Schnitte langs Spannweite die gemessenen Druckverteilungen mit der Theorie nach Gl. (7.151) verglichen. Im groBen und ganzen ist die "Oberein – stimmung befriedigend. Die Abweichungen zwischen Theorie und Mes – sung riihren z. T. daher, daB die Theorie fur ein unendlich diinnes Profil gilt und somit den EinfluB der Profildicke nicht enthalt.

Weitere MeBergebnisse an Deltafliigeln nach [76] sind in Abb. 7.42 an – gegeben, und zwar fiir eine Serie von Fliigeln mit den Seitenverhaltnissen Л = 1 bis 4. Dargestellt sind der Auftriebsanstieg dcAld(x und die Neutralpunktverschiebung AxNjlfX in Abhangigkeit vom Seitenver – haltnis. Auch hier ist gute tlbereinstimmung zwischen Theorie und Messung zu verzeichnen.

Ergebnisse fur eine Reihe von Pfeilfliigeln mit konstanter Tiefe sind in Abb. 7.43 angegeben. Sowohl fur den Auftriebsanstieg als auch fur die

Abb. 7.42. Auftrieb und Neutralpunktlage von Deltafliigeln von verschiedenem Seitenverhfiltnis mit der Zuspitzung Л = 1/8; = 0,68 Z*. Vergleich von

Theorie [75] und Messung [76]. Profil NACA 0012.
a) Auftriebsanstieg; b) Neutralpunktverschiebung, Axy = Abstand des aero-
dynamischen Neutralpunktes N vom geometrischen Neutralpunkfc Nti.

Abb. 7.43. Auftrieb und Neutralpunktlage von Pfeilfliigeln konstanter Tiefe
von verschiedenem Seitenverhftltnis; Pfeilwinkel <p = 45°; Vergleich von Theorie
[75] und Messung [76]. Profil NACA 0012.
a) Auftriebsanstieg; b) Neutralpunktverschiebung.

Neutralpunktlage werden die Messungen durch die Theorie gut wieder – gegeben. Hierbei ist bemerkenswert, daB der Auftriebsanstieg des ge – pfeilten Fliigels besonders bei groBen Seitenverhaltnissen betrachtlich kleiner ist als derjenige des ungepfeilten Fliigels, cp = 0. Diese Ab- minderung des Auftriebsanstieges durch die Pfeilung laBt sich besonders einfach libersehen, wenn man den Pfeilflugel von unendlichem Seiten – verhaltnis betrachtet. Abb. 7.44 zeigt einen Ausschnitt der Spannweiten-

Abb. 7.44. Erlfiuterungsskizze zum Auftrieb des gepfeilten Fliigels unendlieher Spannweite.

erstreckung b aus einem ungepfeilten und einem gepfeilten unendlich langen Fliigel. Fiir den ungepfeilten Fliigel hat das Flachenstiick den Auftrieb

А = ±и*вЫс’Лаа«.

Der gepfeilte Fliigel mit dem Pfeilwinkel (p sei so angestellt, daB in der Ebene, welche die Anstromungsrichtung enthalt, der Anstellwinkel oc gleich demjenigen des ungepfeilten Fliigels ist. Dann ist in der Ebene senkrecht zur Yorderkante der Anstellwinkel л* = л/cos 99. Fiir den Auf­trieb des gepfeilten Fliigels ist nur die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Yorderkante Ucos<p maBgebhch. Somit hat das schraf- fierte Flachenstiick des gepfeilten Fliigels den Auftrieb

A* = | (Ux соs<p)4lc’Aoo-^ = I Ulblc’Aoo « cosy.

Mithinist der Auftriebsbeiwert des gepfeilten Fliigels cA = A*lbl(g/2)

— c’aoo ^cos99, wahrend fiir den ungepfeilten Fliigel {ca)v=q = c’Aoo<x
gilt. Fur die beiden Auftriebsanstiege gilt somit der Zusammenhang

(7.155)

Diese Beziehung ist von W. Jacobs [30] experimentell bestatigt worden. Sie gilt in guter Naherung auch fur die Druckverteilung langs der Fliigeltiefe.

Um den EinfluB des Pfeilwinkels auf den Auftriebsanstieg zu zeigen, ist in Abb. 7.45 fur Pfeilfliigel konstanter Tiefe der Auftriebsanstieg

dcAjdoc in Abhangigkeit vom Pfeilwinkel und vom Seitenverhaltnis nach J. De Young und C. W. Harper [90] aufgetragen. Fur groBe Seiten – verhaltnisse A ist der Abfall des Auftriebsanstieges mit wachsendem Pfeilwinkel erheblich starker als bei kleinem Seitenverhaltnis. Fur A = oo ist das cos^-Gesetz nach Gl. (7.155) zum Vergleich mit einge – zeichnet.

Der Pfeilwinkel hat auch einen starken EinfluB auf die Verteilung der Zirkulation liber die Spannweite. Dieses erkennt man aus Abb. 7.46, in welcher fur einen Rechteckfltigel (<p = 0) und einen Pfeilfliigel (cp = 45°) die Zirkulationsverteilung langs Spannweite dargestellt ist. Fur den Pfeilfliigel hat die Auftriebsverteilung ihr Maximum im AuBenteil des Fliigels. Infolge der Pfeilung verschiebt sich also die Stelle des maxi – malen ortlichen Auftriebsbeiwertes von der Mitte nach auBen. Damit wird das Ablosungsverhalten des gepfeilten Fliigels bei groBen Anstell-
winkeln gegenxiber dem ungepfeilten Fliigel verschlechtert. In dieser Be- ziehung hat also die Riickwartspfeilung einen ahnlich ungiinstigen Ein-

Abb. 7.46. Zirkulationsverteilung und Verteilung des drtlichen Auftriebsbeiwertes l&ngs Spann-
weite ftir zwei Fliigel konstanter Tiefe vom Seitenverhftltnis Л = 5 und der Pfeilung <p = 0 und
<P = 45°; c’AOQ = 2л; л = 1; Tragfiachentheorie nach [75].

Abb. 7.47. Auftriebsanstieg von Rechteckfltigeln von verschiedenem Seitenverh&ltnis Л; Vergleich
von Theorie und Messung. Theorie nach N*. Scholz [70] (Mehrpunktmethode). Messungen nach [69],

[89] und КАСА Report 431.

fluB wie eine starke Zuspitzung bei einem ungepfeilten Fliigel, vgl. Abb. 7.25.

Es sollen jetzt noch fiir ungepfeiUe Fliigel (Rechteckfliigel) Mes­sungen mit der Theorie verglichen werden. In Abb. 7.47 ist der Auf-

triebsanstieg in Abhangigkeit yom Seitenverhaltnis dargestellt. Die theoretische Kurve ist nach der Mehrpunktmethode von N. Scholz [70] berechnet worden; sie stimmt uberein mit der in Abb. 7.30 angegebenen Kurve fur die erweiterte Traglinientheorie. Die aus verschiedenen Quellen ([69], [89]) stammenden MeBpunkte liegen gut auf der theoreti – schen Kurve. In Abb. 7.48 ist nach [69] und [70] fur die gleiche Serie

von Rechteckfltigeln die Neutralpunktlage iiber dem Seitenverhaltnis aufgetragen. Mit abnehmendem Seitenverhaltnis A riickt der Neutral – punkt betrachtlich vor die i/4-Linie. Die mit eingetragenen Messungen an Rechteckplatten stimmen mit der Theorie gut uberein.

Abweichend von dem hier dargestellten Tragflachenverfahren hat

D. Kuchemann [41], [42], [43] eine Pfeilfliigeltheorie entwickelt, die nicht mit Bimbaumschen Normalverteilungen iiber Fliigeltiefe arbeitet. Diese z. T. empirische Methode berucksichtigt auch die Fliigeldicke und die Reibungsschicht sowie gewisse nichtlineare Einfliisse und stimmt daher mit MeBergebnissen sehr gut uberein.