7.62 Methode der Quell-Senkenbelegung

Um die raumliche Stromung um einen flachen Korper von der Art eines Tragfliigels endlicher Spannweite und endlicher Dicke zu berechnen, ordnet man in einer Ebene auf der Flache F (FliigelgrundriBebene) eine Quell-Senkenverteilung an. 1st q(x, y) die Quellintensitat pro Flachen-

Abb. 7.76. Zur Berechnung der Stromung um den Tragfliigel endlicher Spannweite und endlicher Dicke beim Auftrieb Null.

einheit, so tragt ein Flachenelement dxdy nach Abb. 7.76 die Quell – belegung

d? Q(x, y) = q(x, y) dx dy. (7.218)

Die Quellintensitat q(x, y) muB, damit sich ein geschlossener Korper ergibt, die sogenannte SchUeBungsbedingung erfullen:

ff q(x, y)dxdy = 0. (7.219)

(F)

Man vergleiche hierzu die entsprechende Beziehung fur den ebenen Fall, Gl. (6.117).

Gberlagert man dem von der Quellbelegung hervorgerufenen Ge- schwindigkeitsfeld eine Translationsstromung mit der Geschwindigkeit U0o, deren Richtung in der Quellebene Uegt (Abb. 7.76), so ergibt sich hierbei eine geschlossene Stromflache, die als Kontur des Trag-

fliigels endlicher Dicke aufgefaBt wird; man vergleiche hierzu wieder Кар. 6.33. Es seien u, v und w die von der Quellbelegung induzierten Ge – schwindigkeiten und z^(x, y) — z0(x, y) die Form der zur x, ?/-Ebene symmetrischen Kontur des Fliigels. Dann lautet die Bedingung dafiir, daB die resultierende Geschwindigkeit iiberall tangential zur Kontur ist:

w = (Uoo + u)^ + v-^. (7.220)

ox су

Dieses ist die kinematische Stromungsbedingung.

Da fiir flache Korper die Geschwindigkeiten и und v im Vergleich zur Anstromungsgeschwindigkeit V^ mit Ausnahme der unmittel – baren Umgebung der Vorderkante und der seitlichen Fliigelenden klein sind, geniigt es, Gl. (7.220) in der vereinfachten Form

ґ) У

w=U°o^ (7.221)

zu benutzen. Dieses ist formal dieselbe Beziehung wie beim ebenen Fall.

Sowohl in der kinematischen Stromungsbedingung als auch fiir die Berechnung der Druckverteilung auf der Kontur werden die induzierten Geschwindigkeitskomponenten u, v, w auf der Kontur benotigt. Fiir flache Korper geniigt es jedoch, diese Geschwindigkeitskomponenten in der Ebene z — 0 zu berechnen, wodurch die Behandlung recht er – hebhch vereinfacht wird.

Creschwindigkeitspotential. Es sei Ф (x, у, z) das Geschwindigkeits – potential der Quellbelegung. Dann ist tv = grad Ф und somit

das Feld der induzierten Geschwindigkeiten. Die in Gl. (7.218) an- gegebene Quellbelegung ist als raumliche Quelle im Sinne von Кар. 2.356 anzusehen. Somit lautet der Beitrag des an der Stelle x у’ befindhchen Quellelementes zum Geschwindigkeitspotential nach Gl. (2.99):

d?<P(x, y,z-,x’,y’) = Ldx’dy’ (7.223)

4 71 r

mit

r = i{x — x’f + (y – y’f + z2.

Das Potential der gesamten Quellbelegung erhalt man hieraus durch Integration iiber die mit Quellen belegte Flache F zu

Hieraus ergeben sich nach Gl. (7.222) die induzierten Geschwindigkeits – komponenten zu:

u(x, y, z) = ^ ff Жх’> у’) dx’ dv’> (7.225a)

(F)

v(x, y, z) = ^ Jjq(x’, y’) y-=^~ Ax’ dy’, (7.225b)

(F)

w{x, y, z) = ^ jjq(x’, y’) ^ dx’ dy’. (7.225c)

(F)

Wie bereits oben angegeben, werden von den induzierten Geschwindig- keiten nur die Werte in der Flugelebene z — 0 gebraucht. Diese erhalt man aus Gl. (7.225a, b, c) zu:[29]

u(pc, y, 0) = 4jlJJЯ(Х’>У) (F)	(x — x’) dx’ dy’	(7.226a)
і (x — x’f + (у —у’)гЛ
II ^ 1 a 1	(У — У’) dy’dx’	(7.226b)
V(* – X’Y + (y – yT ’
w(x, y, 0) = ± |ї(і, у).		(7.226 c)

Das obere Zeichen gilt fur z > 0, das untere Zeichen fur z < 0. Die indu – zierte Geschwindigkeit normal zur x, i/-Ebene hat also in der Quellschicht einen Sprung.

Geschwindigkeitsverteilung auf der Fliigelkontur. Fuhrt man Gl. (7.226c) in die kinematische Stromungsbedingung Gl. (7.221) ein, so ergibt sich:

q(x, y) = 2U0Oj£-. (7.227)

Hiernach ist also die Quellintensitat proportional der Neigung der Kontur in der z, #-Ebene, vgl. auch Gl. (6.116).

Fiihrt man Gl. (7.227) in die Gin. (7.226a) und (7.226b) ein, dann erhalt man fur die Komponenten der induzierten Geschwindigkeit:

u(x, y)	1 /Г02»	(x — x’) dx’ dy’	(7.228)
ux	2л J J dx’ (F)	i(x – x’f + (y— y’)*3
v(x, y)	j и	(У ~ У’) dx’ dy’	(7.229)
ux	І(х — x’f + (y — y’Y3

Fur den Tragfliigel unendlicher Spannweite (ebenes Problem) ergibt sich nach Gl. (6.120):

i

«еь = — f dx’_ ‘ (7.230)

Uoo 71 J dx’ X — x’

0

AuBerdem ist hierfiir veb == 0.

Es sei hier vermerkt, daB die tfbergeschwindigkeiten von Tragflugeln endlicher Spannweite nach den Gin. (7.228) und (7.229) proportional dem Profildickenverhaltnis d = dl sind, in gleicher Weise wie bei der ebenen Profiltheorie, Gl. (7.230). Die vorstehende lineare Theorie gibt fur praktische Zwecke ausreichende Genauigkeit fur Dickenverhaltnisse bis etwa <5 == 1/4.

Die resultierende Geschwindigkeit auf der Kontur ist

WK = i(Ux + и)2 + Vі ^ t/oo + m, (7.231)

wenn man quadratische GUeder in и und v vernachlassigt. Im folgenden sollen nun einige einfache Beispiele besprochen werden.

7.631 Rechteckfliigel endlicher Spannweite. Fur den einfachen Fall des Rechteckfliigels l(y) = l mit einem konstanten Profil langs Spann­weite ist fur —s fg у ^ s:

zo{x> У) = zo(x)- (7.232)

Damit wird nach Einsetzen in Gl. (7.228) und Ausfuhrung der Inte­gration liber у:

U __ Ueb,

Uoo Uoo ^ Uoo

Man verifiziert leicht, daB die GroBe Ли im allgemeinen negativ ist. Dieses bedeutet, daB durch die endliche Spannweite des Fliigels die Ubergeschwindigkeiten auf der Kontur verkleinert werden.

_L f Ih. І і__________ -______ dx’ я J dx’ ]/(* _ x’f + s2) x-x’ 0

Fur den Fliigelmittelschnitt у = 0 erhalt man aus Gl. (7.234):

Fur grofie Seitenverhaltnisse A — bjl laBt sich die tlbergeschwindigkeit fur den Mittelschnitt durch Reihenentwicklung der Wurzel unter dem Integral sowie durch Umformung mittels partieller Integration in der folgenden Form schreiben:

l

7Г – = TT~ – -4r f ад dX (Л = grofi). (7.235a)

Uoo Uoo JlA2 J 0

Als neue Abkiirzungen wurden Z0 = zjl und X = xjl eingefuhrt. Der EinfluB des Seitenverhaltnisses ist fur alle Werte von x derselbe; er hangt nur von der Volligkeit des Profils ab.

Fur kleine Seitenverhaltnisse erhalt man:

= АЫЛ (Л = klein). (7.235b)

Uoo n dX2

Fiir A = 0 ergibt sich hieraus и — 0.

Parabelprofil. Fiir das Parabelprofil Z0 = 2<5X(1 — X) mit dem Dickenverhaltnis d = djl erhalt man fiir die maximale Gbergeschwindig – keit im Mittelschnitt у = 0 und an der Stelle x = If2 nach den Gin. (7.233) und (7.235):

^ = — й Л ar sinh (4) • (7.236)

U oo n A]

Fiir den ebenen Fall, A -> oo, folgt hieraus Mmax, eb/^oo = 4<5/л; in Gbereinstimmung mit Abb. 6.30. In Abb. 7.77 sind die Ergebnisse fiir den Rechteckfliigel mit Parabelprofil angegeben. Abb. 7.77 a zeigt fiir die beiden Schnitte rj = 0 und rj = 0,5 den Verlauf der maximalen t)ber-

geschwindigkeit, die bei X = 0,5 liegt, in Abhangigkeit vom Seitenver – haltnis. In Abb. 7.77b sind die maximalen tTbergeschwindigkeiten in Abhangigkeit von der Spannweitenkoordinate fiir verschiedene Seiten – verhaltnisse dargestellt. AbschlieBend kann man feststellen, daB erst ftir

Abb. 7.77. Maximale Ubergeschwindigkeiten an Rechteckflugeln mit Parabelprofil beim Auftrieb

Null.

Fur unendliche Spannweite gilt: wmax, eb = 4In • dU^ bei хЦ = X = 0,5.

a) Abhangigkeit vom Seitenverhiiltnis Л;

b) Abhangigkeit von der Spannweitenkoordinate r] — yjs.

Seitenverhaltnisse Л < 2 die maximale tjbergeschwindigkeit am Trag – fliigel endlicher Spannweite merklich kleiner als am Fltigel unendlicher Spannweite ist.

7.632 Ellipsenfliigel. Wahrend die in Кар. 7.62 dargelegte Theorie ftir die Berechnung der tjbergeschwindigkeiten und auch das vorstehend behandelte Beispiel ftir den Rechteckfltigel Naherungslosungen ftir kleine

Dickenverhaltnisse d sind, soil nunmehr ein Beispiel einer exakten Losung angegeben werden.

Ein Fltigel mit elliptischem GrundriB und Ellipsenprofil nach Abb. 7.78 ist ein dreiachsiges Ellipsoid, bei welchem die beiden Achsen- verhaltnisse sehr voneinander verschieden sind. Sind ax, bv cx die drei

Halbachsen des Ellipsoids, so ist: das Seitenverhaltnis

das Dickenverhaltnis

Fur ein dreiachsiges Ellipsoid laBt sich die Geschwindigkeitsverteilung auf der Kontur in geschlossener Form angeben. Es gilt nach K. Mabuhn

[55] fiir die Druckverteilung auf der Oberflache des Ellipsoids bei An – stromung langs der x-Achse:

Dabei bedeutet cp = (p — Poo)/(^/2) U^ den dimensionslosen Druck – beiwert und A = А eine GroBe, die von den beiden Achsen-

verhaltnissen des Ellipsoids abhangig ist. Diese Abhangigkeit ist in [55] angegeben.

Gl. (7.238) lehrt, daB bei x = 0 das Druckminimum und damit das Geschwindigkeitsmaximum vorhanden ist. Dieses Geschwindigkeits – maximum ist langs der i/-Achse konstant. Nach Gl. (7.238) ist

^pmin — 1 — 1 (^max/^oo)2» wobei f^max — ^"oo ~~ ^max

maximale Geschwindigkeit auf der Kontur bedeutet. Hieraus ergibt sich die maximale tJbergeschwindigkeit zu:

^ = А{д, Л) – 1.

U oo

Dabei hangen <5 und Л mit den Achsenverhaltnissen und c1/b1 naeh Gl. (7.237) zusammen. In Abb. 7.79 ist das Verhaltnis ^max/i%ах>еъ in Abhangigkeit vom Seitenverhaltnis A fur verschiedene Dicken – verhaltnisse d aufgetragen. Dabei ist umaXf6b = b U^. Die Kurve <5-^0 stellt die lineare Theorie dar. Die Kurven fiir die anderen Werte von d zeigen, urn wieviel die exakte Losung von der linearen Theorie ab – weicht.[30]

7.633 Gepfeilter Fliigel. Als weiteres Beispiel moge der Pfeilfliigel konstanter Tiefe behandelt werden, und zwar zunachst derjenige von unendlicher Spannweite, Abb. 7.80. Es sei cp der Pfeilwinkel, und

Abb. 7.80. Zur Geometrie des
Pfeilflugels unendlicher Spann-
weite.

das Profil Zq{x, у) == z0(Xi) mit x{ als #-Koordinate im Mittelschnitt sei langs der Spannweite konstant.

Der Fliigelschnitt in groBem Abstand von der Symmetrieebene be – findet sich in einer,,quasi-ebenen“ Stromung. Seine Geschwindigkeits – verteilung kann ermittelt werden, indem man den Profilschnitt senkrecht

zur Vorderkante mit der Geschwindigkeit cos99 anstromt. Hierbei ergibt sich, daB die Gbergeschwindigkeit in #-Richtung fur den ge – pfeilten Flugel um den Faktor cos 99 kleiner ist als diejenige des unge – pfeilten Flugels (ebenes Problem):

uv(y -> 00) = ucb cosy. (7.240)

Es soli jetzt die Geschwindigkeitsverteilung im Mittelschnitt berechnet werden. Nach Abb. 7.80 ist fur diesen

x — xf = xt — x — y’ tan 99.

Fiihrt man dieses in Gl. (7.228) ein, so wird:

= 1 f ІЗ» / C any—– —

U°° л J 8x’ J V(z, — x’i— y’ tan <pf + у’2,3 I

Die Ausfiihrung der Integration erfordert besondere Aufmerk – samkeit, vgl. die FuBnote zuGl. (7.226). AlsErgebnis erhalt man fur den Mittelschnitt:

Meb

Uoo

— ar tanh(sin99) П 3x v

Diese Beziehung wurde von S. Neu – mark [60] erstmalig angegeben. Das erste Glied stellt die Geschwindig­keitsverteilung des Flugelschnittes in sehr groBem Abstand von der Fliigelsymmetrieebene dar, Gl. (7.240). Das zweite Glied gibt die durch den Fliigelknick hervorgeru – fene Anderung der Geschwindigkeits­verteilung an. BeiRiickwartspfeilung (<P > 0) wird die Ubergeschwindig-

Abb. 7.81. Geschwindigkeitsverteilung im Mittel­schnitt von Pfeilfliigeln unendlicher Spannweite mit erweitertem Parabelprofil nach Gl. (5.24) bei Nullauftrieb.

Pfeilwinkel g> = — 45°, 0°, + 45°.

a) Dickenriicklage Xd = 0,2;

b) Dickenriicklage Xd = 0,3;

c) Dickenriicklage Xd = 0,5.

keit im vorderen Teil des Mittelschnittes infolge der Pfeilung verkleinert und im hinteren Teil des Mittelschnittes vergroBert.

Parabelproftl. Die vorstehende Gleichung ist fur die erweiterten Parabelprofile nach Gl. (5.24) und Abb. 6.30 ausgewertet worden. Das Ergebnis ist in Abb. 7.81 fur Profile mit den Dickenriicklagen Xd = xdjl = 0,2; 0,3 und 0,5 dargestellt. Die Kurven fiir die Pfeilwinkel

Abb. 7.82. Maximale Ubergeschwindigkciten im Mittelschnitt von Pfeilfltigeln konstanter Tiefe und unendlicher Spannweite in Abhangigkeit vom Pfeilwinkel q>) vgl. Abb 7.81.

<p = —45°, 0° und – f-45° zeigen einen sehr betrachtlichen EinfluB der

Pfeilung auf die Geschwindigkeits – verteilung des Mittelschnittes. Die maximalen Dbergeschwindigkeiten sind in Abb. 7.82 in Abhangigkeit vom Pfeilwinkel noch einmal geson – dert dargestellt.

Fiir einen Pfeilfliigel konstanter Fliigeltiefe und endlicher Spannweite

sind solche Rechnungen von S. Neumark [60] durchgefuhrt worden. In Abb. 7.83 ist die Geschwindigkeitsverteilung и fiir einen Fliigel mit dem Seitenverhaltnis A — 2 und mit dem Pfeilwinkel (p = 53° fiir ver­schiedene Schnitte langs Spannweite dargestellt. Sie ist bezogen auf die maximale tlbergeschwindigkeit des Pfeilfliigels unendlicher Spannweite fiir einen Schnitt in groBem Abstand von der Mitte, Gl. (7.240). Fiir den gleichen Fliigel sind in Abb. 7.84 die Kurven konstanter Geschwindigkeit (== Isobaren) im FliigelgrundriB dargestellt. Man erkennt aus dieser

Abbildung besonders gut, daB in der Umgebung des Flugelmittel – schnittes die maximale "Dbergeschwindigkeit durch die Pfeilung gegen – iiber dem AuBenschnitt betrachtlich erhoht wird, und daB das Ge – schwindigkeitsmaximum im Mittelschnitt weit nach hinten verschoben ist.

Untersuchungen iiber die Druckverteilung im Mittelschnitt eines gepfeilten Fliigels unendlicher Spannweite mit Auftrieb wurden von D. Ktichemann und J. Weber [41] und mit beliebigem symmetrischen Profil von J. Weber [81] durchgeftihrt.