Raumliche Tragfliigeltheorie bei kompressibler Stromung

8.21 Geschwindigkeitspotential

8.211 Allgemeine Potentialgleichung. In diesem Abschnitt beschaf – tigen wir uns mit dem Problem der dreidimensionalen kompressiblen Stromung im Hinblick auf die Anwendungen beim Tragfliigel end- licher Spannweite. Da in Кар. Ill die Grundlagen der kompressiblen Stromungen nur fur den zweidimensionalen Fall behandelt wurden, ist es erforderlich, hier fur den dreidimensionalen Fall einige Erganzungen zu den Grundlagen vorauszuschicken. Dabei wird im folgenden ebenso wie in Кар. Ill das stromende Medium als reibungslos angenommen.

Fur die dreidimensionale stationare kompressible Stromung mit den Geschwindigkeitskomponenten [7, F, W im rechtwinkligen Koordi – natensystem x, у, z lautet die Kontinuitatsgleichung nach Gl. (2.14):

№ + M+M=0, (8.30)

ox су dz

vgl. auch Gl. (3.71).

Die in Кар. 3.32 fur den zweidimensionalen Fall nachgewiesene Drehungsfreiheit der Stromung gilt auch, wie man sich leicht tiber-

Neben der Kontinuitatsgleichung (8.30) gelten fiir die kompressible dreidimensionale Stromung die Bewegungsgleichungen, wie sie in Gl. (2.50) angegeben wurden. Durch Einfiihrung von Gl. (8.31) in (8.30) und unter Beriicksichtigung der Bewegungsgleichungen so wie der Be – ziehung dp/dg — a2 nach Gl. (3.5) ergibt sich durch eine analoge Rech – nung wie in Кар. 3.33 fiir den zweidimensionalen Fall die folgende Gleichung fiir das Geschwindigkeitspotential der dreidimensionalen kompressiblen Stromung :

U2 д*Ф / 72а2Ф Л W2 д*Ф

дФ dx 9

а2) дх2 a2) dy2 a2) dz2

2 U V д2Ф _ 2VW д2Ф _ WJJ д2Ф a2 dx dy a2 dy dz a2 dz dx

In dieser Gleichung bedeutet a die mit dem Ort veranderliche Schall – geschwindigkeit. Die entsprechende Gleichung fiir das Potential der zweidimensionalen kompressiblen Stromung wurde in Gl. (3.79) an­gegeben. Man erhalt aus Gl. (8.32) die dreidimensionale Potential – gleichung fiir inkompressible Stromung, Gl. (2.72), wenn man die Schallgeschwindigkeit unendlich grofi werden laBt, a -> oo.

Fiir das Umstromungsproblem eines Korpers, welcher sich in einer Parallelstromung mit der konstanten Geschwindigkeit U^ befindet, gilt die folgende Beziehung zwischen der ort lichen Schallgeschwindig­keit a und der Schallgeschwindigkeit a^ der ungestorten Stromung:

/«2 , *-1^2 tU2+V2 + W2 ,. /OOON

t)-1–—n,————————- ‘)’ (8’33)

man vergleiche hierzu die Gin. (3.28a) und (3.80). Hierbei bedeutet

Max = — (8.34)

^OO

die Machsche Zahl der ungestbrten Stromung.

8.212 Linearisierung der Potentialgleichung. Wesentliche Verein – fachungen fiir die Integration der Gl. (8.32) ergeben sich fiir schlanke Korperformen (Tragfliigel), die in Richtung ihrer x-Achse (Langsachse) mit der Geschwindigkeit U^ angestrdmt werden. Bei der Umstromung solcher Korper ist die orthche Geschwindigkeit nach GroBe und Richtung
nur wenig von der Anstromungsgeschwindigkeit verschieden. Teilt man die Gesamtstromung in eine Grundstromung und eine iiberlagerte Storungsbewegung auf, setzt man also

U = Uoo + и, V = v und W = w, (8.35)

wobei u, v, w die sogenannten Storgeschwindigkeiten sind, so gelte:

и < ; v <^U oo; w^U^.

(1 + ™ dx2 dy2 dz2

Man erhalt dann aus Gl. (8.32) unter Beibehaltung nur der groBten Glieder (Linearisierung):

Dabei bedeutet Ma — U/a die ortliche Machsche Zahl.

Fiihrt man aueh fiir das Potential die Aufteilung in die Grund­stromung mit dem Potential x und die iiberlagerte Storungs­

bewegung ein, so ist sofort klar, daB Gl. (8.36) aueh fur die Storungs­bewegung gilt, wobei Ф jetzt das Potential der Storungsbewegung be­deutet. Es ist somit im folgenden:

If)’ = 1 – (* – 1 )Mal aoo/

Ma2

Bei den weiteren Betrachtungen der linearisierten Gl. (8.36) erfordert das erste Glied eine besondere Aufmerksamkeit, da es beim Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit (Ma = 1) sein Vorzeichen wechselt, womit sich der mathematische Charakter der partiellen Differential – gleichung andert. Um die ortliche Mach-Zahl Ma durch die Mach-Zahl der Grundstromung Ma^ auszudriicken, fiihren wir zunachst Gl. (8.35) in (8.33) ein und vernachlassigen die GUeder von zweiter Ordnung in den Storgeschwindigkeiten. Damit ergibt sich:

Fiihrt man dieses in Gl. (8.36) ein, so erhalt man die linearisierte Poten – tialgleichung in der Form:

к li/r 9 ч д2Ф, д2Ф, д2Ф 2 L, УС — 1 – щщ – о ц/г 9

(1 – _ + _+ _= _(1+ МаЦшІ

Diese Gleichung ist verwendbar fur Unterschall-, Schall – und Gber – schallanstromung des Tragfliigels. Sie ist in dem Geschwindigkeits – potential nichtlinear. Das Glied auf der rechten Seite von Gl. (8.39) ist nur bei Machschen Zahlen nahe Eins (transsonische Stromungen) von Bedeutung. Fur Machsche Zahlen in groBerer Entfernung von Eins kann dieses Glied vernachlassigt werden.

/< 2 ч д*Ф, д2ф. д2ф (1 – Maт* + w +1?

Somit hat man fiir die reine Unterschallstromung und die reine Vber – schallstrdmung die folgende einfachere Potentialgleichung[33]

Diese Differentialgleichung fiir Ф ist jetzt linear. Fiir reine Unter- schallstrdmung ist sie vom elliptischen Typus wie die Potentialgleichung bei inkompressibler Stromung. Fiir reine Gberschallstromung dagegen ist sie vom hyperbolischen Typus.

Ist die Anstromungsgeschwindigkeit gleich der Schallgeschwindigkeit (Маж = 1), dann nimmt Gl. (8.39) die Form an:

Diese Differentialgleichung fiir Ф ist nichtlinear. Deshalb ist die Berechnung der transsonischen Stromung wesentlich schwieriger als die Berechnung der reinen Unterschall – und der reinen Gberschallstromung.

Die vorstehend hergeleiteten Potentialgleichungen (8.40) und (8.41) sollen im folgenden dazu verwendet werden, Ahnlichkeitsregeln fiir die raumliche Tragfliigeltheorie bei Unterschall-, Uberschall – und trans – sonischer Stromung herzuleiten, die verwandt sind mit der in Кар. 3.34 besprochenen Prandtl-Glauert-Regel fiir ebene Unterschallanstromungen und mit der in Кар. 3.62 angegebenen v. Karmanschen Ahnlichkeits – regel fiir ebene transsonische Stromungen.