Tragfltigel endlicher Spannweite bei Nullauftrieb

8.331 Allgemeine Formeln

Druckverteilung. In diesem Abschnitt soli jetzt der Tragfltigel end­licher Spannweite im Unterschallbereich fiir Nullauftrieb betrachtet werden. Die Druckverteilung eines solchen Tragfliigels endlicher Dicke interessiert besonders im HinbUck auf die Ermittlung der kritischen Mach-Zahl bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten. Der Begriff der kritischen Mach-Zahl wurde fiir das ebene Problem in Кар. 3.221 und 8.121 bereits erlautert. Die zur kritischen Mach-Zahl gehorende An – stromungsgeschwindigkeit gibt die untere Grenze fiir das Auftreten von

VerdichtungsstoBen, welche das gesamte Stromungsbild erheblich ver- andern und insbesondere mit einem starken Anstieg des Widerstandes verbunden sind, Abb. 3.20.

Die Druckverteilung eines raumlichen Tragfliigels im Unterschall- bereich erhalten wir aus derienigen des transformierten Fliigels nach Gl. (8.73) zu:

V-Y (Cp)ik (8 = 8ik). (8.84)

yi – Male

Dabei ist (cp)ik die Druckverteilung des transformierten Fliigels, fur welchen die Druckverteilung bei inkompressibler Stromung zu be – rechnen ist. Das Rechenverfahren hierfur wurde in Кар. 7.6 angegeben. Die Transformation des Flugelgrundrisses geschieht nach den Gin. (8.70) bis (8.72); das Dickenverhaltnis bleibt hierbei ungeandert (II. Fassung der Prandtl-Glauertschen Regel nach Кар. 8.22).

Kritische Machsche Zahl. Beim raumlichen Tragfliigel liegt im Gegensatz zum ebenen Problem sehr haufig der Fall vor, daB die Fltigel- vorderkante oder die Fliigelhinterkante nicht senkrecht zur Anstro- mungsrichtung ist. Der einfachste Fall dieser Art ist der gepfeilte Fliigel konstanter Tiefe und unendlicher Spannweite, der bereits in Кар. 7.63 bei inkompressibler Stromung behandelt wurde. Die Pfeilung hat einen erheblichen EinfluB auf die GroBe der kritischen Machschen Zahl, weil bei einem solchen Fliigel endlicher Dicke fur die groBte t)ber – geschwindigkeit auf der Kontur nur die Geschwindigkeitskomponente normal zur Vorderkante maBgebend ist. Aus Gl. (8.4) erhalt man fur den kritischen Druck p* des senkrecht zur Vorderkante angestromten ungepfeilten Fliigels nach Multiplikation mit U^l2 und mit Ma^

= 0*0. :

P* – Poo

P*-Poo goo rr*2

~ U CO

Fiihrt man nun hier gemaB Vorstehendem U^coscp als wirksame Ge – schwindigkeit an Stelle von ein, und geht man wieder zur dimensions – losen Schreibweise iiber, so erhalt man fur den kritischen Druckbeiwert des gepfeilten Fliigels:

Dabei wird auch fiir den gepfeilten Fliigel der Druckbeiwert auf den Staudruck der Anstromung bezogen. Dieser Zusammenhang ist in Abb. 8.29 dargestellt. In der gewahlten Auftragung ist diese Abbildung identisch mit Abb. 3.9.

8.332 Pfeilfliigel

Im folgenden soil jetzt das vorstehend erlauterte Verfahren zur Be- rechnung der kritischen Machschen Zahl an einigen einfachen Beispielen erlautert werden.

Gepfeilter Fliigel unendlicher Spannweite. Um die kritische Mach-

lie Kurve cpmin einzutragen und mit der Kurve c* zum Schnitt zu bringen, vgl. Abb. 8.2. Bei der Ermittlung des Druckunterschiedes p — p^ eines gepfeilten Fliigels ist zu beachten, daB dieser proportional zu dem mit der wirksamen Geschwindigkeit ge – bildeten Staudruck (£^/2) cos2 <p und proportional zum Dickenver – haltnis bzw. zum Anstellwinkel, ge – messen in der Ebene der wirksamen Anstromung, d. h. proportional zu (d/l)lcos(p bzw. cc/cosy ist. Hieraus folgt bei inkompressibler Stromung:

P~ Poo ={.P – Poo)V=0 COS<p.

Bezogen auf den Staudruck der An­stromung (poo/2) erhalt man fiir den Zusammenhang der Druck – beiwerte also:

(Cpmin)ik = COS9^г’Аг {Cpmin)ik, q>=0 •

Unter Beachtung von Gl. (8.84) wird:

COS (p^jg / i

cpmin = A………………………….. ^pmin)ik, q>=0 •

У1 Mai,

Der Pfcilwinkel cp ist zu transformieren nach Gl. (8.72c). Dieses ergibt:

11 1 – Male

COS <Pih = /——- 7Л———- — COS 99.

r ]/ 1 — Male cos V

Durch Einsetzen in die vorige Gleichung ergibt sich schlieBlich:

cpmln = C0Sf r (Cpmin)it>p=0 • (8-86)

Vl – Male cos*y

In Abb. 8.30 ist das vorstehend erlauterte Verfahren auf ein Beispiel angewendet worden. Gewahlt wurden ein ungepfeilter Fliigel unend-
licher Spannweite nnd ein solcher mit dem Pfeilwinkel cp = 45°. Fur den ungepfeilten Fliigel ist (cpmin)l^9,=0 = —0,2 angenommen worden. Der ungepfeilte Fliigel ergibt eine kritische Mach-Zahl von (lfa^)9?=0

Abb. 8.30. Bestimmung der kritischen Mach-Zahl fur einen ungepfeilten und einen gepfeilten

Fliigel unendlicher Spannweite.

(cpmin)(p=0,MaOQ**0 = ~

= 0,83. Durch den EinfluB des Pfeilwinkels verschiebt sieh die kritische Mach-Zahl zu einem wesentlich groBeren Wert, namlich

(^ato)<p= 45° — U3.

Fur diese Verschiebung sind drei Umstande maBgebend. Erstens: die Kurve c* riickt durch den PfeilungseinfluB nach rechts; zweitens: durch die Pfeilung wird cpmin bei Ma^ = 0 kleiner und drittens: der Anstieg von cpmin mit der Mach-Zahl ist beim gepfeilten Fliigel erheblich schwacher als beim ungepfeilten Fliigel.

Diese Erhohung der kritischen Machschen Zahl infolge der Pfeilung hat im Flugzeugbau eine sehr bedeutungsvolle praktische Anwendung gefunden. Wie schon oben erwahnt wurde, hat die Erhohung der kri­tischen Machschen Zahl eine Verschiebung des Widerstandsanstieges infolge des Kompressibilitatseinflusses nach groBeren Machschen Zahlen zur Folge (Abb. 3.20). Damit muB erwartet werden, daB sich infolge der Pfeilung in den Kurven des Profilwiderstandsbeiwertes iiber der Mach-Zahl, cWp(MaOQ), der starke Anstieg nach groBeren Mach-Zahlen verschiebt. Diese Tatsache hat zuerst A. Betz [5] 1939 erkannt, und sie ist von H. Ludwieg [46] in der Aerodynamischen Versuchsanstalt Gottingen (AVA) experimentell nachgepriift worden. Abb. 8.31 gibt einige Messungen hierzu wieder, die von H. Ludwieg [46] ausgefiihrt wurden.[35] Die Polaren fiir einen ungepfeilten und einen gepfeilten Trapez- fliigel (<p = 45°) zeigen folgendes: Beim ungepfeilten Fliigel ist bei Ma{go — 0,9 der Profilwiderstand (cA = 0) um ein Mehrfaches groBer als

Abb. 8.31. Polaren, Auftriebsbeiwert cA und Widerstandsbeiwert cw bei hohen TJnterschallgeschwindig – keiten; Mach-Zahl Ma^ = 0,7 und 0,9, fiir einen geraden Fliigel und einen gepfeilten Fliigel vom Profil G6 623, nach Gottinger Messungen von H. Ludwieg [46].

a) Gerader Fliigel, b — 80 mm, ^ = 22,5 mm; b) Pfeilfliigel, q> = 45°, b’ = 57 mm, = 32 mm;

Re = U^hlv = 3,0 • 10» bei Ma^ = 0,7, Re = U^k/v = 4,2 • 10» bei Ma^ = 0,7,

= 3,5 • 10» bei Ma^ = 0,9. = 5,0 • 10» bei Ma^ = 0,9.

bei Maoo = 0,7. Fiir diesen Fliigel liegt also die kritische Mach-Zahl zwischen Ma^ = 0,7 und 0,9. Fiir den Pfeilfliigel dagegen ist bei Ma^ = 0,9 der Profilwiderstand nur unwesentlich groBer als bei Ma^ = 0,7. Mit anderen Worten, fiir diesen Fliigel liegt die kritische Mach-Zahl ober – halb Ma^ — 0,9. Einen weiteren Beitrag zu diesem wichtigen Pfeil – fliigeleffekt zeigt Abb. 8.32. ffier sind nach [57] die Kurven cWp iiber Ma^

Abb. 8.32. Profilwiderstandsbeiwerte in AbMngigkeit von der Machschen Zahl fiir einen ungepfeilten und einen gepfeilten Fliigel (q> = 45°) nach [57]. dll = 0,12; Л = 4.

fiir einen ungepfeilten und einen gepfeilten (<p = 45°) Fliigel aufgetragen Durch den PfeilungseinfluB wird der Beginn des starken Widerstands- anstieges von etwa Ma^ = 0,8 auf 0,95 verschoben. Diesen giinstigen Pfeilfliigeleffekt hat sich der Flugzeugbau nach dem zweiten Weltkrieg sehr zunutze gemacht. Unter den in Abb. 5.9 dargestellten Fliigelgrund- rissen befindet sich eine groBe Zahl von Pfeilfliigeln. Die in Abb. 5.10b gegebene Darstellung, namlich Pfeilwinkel in Abhangigkeit von der Flug-Machzahl, zeigt sehr deutlich, daB bei Annaherung an Ma^ = 1 der Pfeilwinkel der ausgefiihrten Fliigelformen stark anwachst.

Eine Erweiterung von Abb. 8.30 ist in Abb. 8.33 a angegeben, indem dort die kritischen Mach-Zahlen von Pfeilfliigeln unendlicher Spann­weite in Abhangigkeit von (cpmin)^>9,=0 dargestellt sind. In Abb. 8.33b sind zu denWerten von (cpmin)ik>9,=0 noch das Dickenverhaltnis d — dfl und die Dickenriicklage Xd gezeigt, wie man sie fiir die erweiterten Parabelprofile nach 61. (5.24) bei cA = 0 erhalt. Entsprechend dem ein – getragenen Beispiel wurde in Abb. 8.33c der Pfeilwinkel in Abhangigkeit von der kritischen Machzahl fiir verschiedene Dickenverhaltnisse (Dickenriicklage Xd = 0,5) ausgewertet. Fiir d/l — 0 gilt

Bei sehr diinnen Profilen kann somit durch die Pfeilung die kritische Machzahl betrachtlich groBer als Eins werden.

Abb. 8.33. a) Kritische Mach-Zahl
von Pfeilfliigeln unendlicher
Spannweite in Abhangigkeit von
(‘cpmin)ik,(p=0’>

b) Druckbeiwert (^min)^>gJ=0 in Abhangigkeit von Dicken – verhaitnis 6 = d/l und Dicken – rticklage X# fiir die erweiterfcen Parabelprofile nach Gl. (5.24);

Der Mittelschnitt des Pfeilfliigels. Die bisherigen Betrachtungen iiber den Pfeilfliigeleffekt gelten nur fiir den geraden Pfeilfliigel unendlicher Spannweite, vgl. Abb. 8.30. Beim geknickten Pfeilfliigel (Abb. 7.80) kommt der giinstige Pfeil – fliigeleffekt (Erhohung der kritischen Machschen Zahl) in der Umgebung des Mittelschnittes nicht voll zur Geltung, weil der mittlere Teil des Fliigels etwa wie ein ungepfeiltes Fliigelstiick wirkt.

Um die kritische Mach-Zahl fiir den Mittelschnitt des geknickten Pfeil – fliigels zu berechnen, gehen wir folgen- dermaBen vor: Fiir inkompressible Stromung hat man im Mittelschnitt eine Geschwindigkeitsverteilung nach Gl.(7.241). Die maximale Geschwindig – keit im Mittelschnitt liefert den groB – ten Unterdruck (cpmin)ik = -2 (мтах/

Uoo)ik. Der Wert von (umax[Uoo)ik ist in Abb. 7.82 fiir Parabelprofile in Ab­hangigkeit vom Pfeilwinkel (pik auf – getragen. Die Umrechnung von (Cpmin)ifc auf Smin in Abhangigkeit von der Machschen Zahl ilf «с» geschieht nach Gl. (8.84), wobei auch der Pfeil­winkel nach Gl. (8.72 c) umzurechnen ist. Die kritische Mach-Zahl wird nach Abb. 8.30 als Schnittpunkt der Kurven Cpmin unde* ermittelt, wobei jetzt fiir den Mittelschnitt die c*-Kurve fiir <p — 0 zu nehmen ist. Das Ergebnis dieser Rechnung ist in Abb. 8.34 dar – gestellt, und zwar fiir die Pfeilwinkel (p — 0°, 45° und —45° und fiir ver – schiedene Dickenriicklagen Xd. Die

gestrichelte Kurve fiir <p = ±45° gibt die Werte des geraden Pfeilfliigels. Diese gelten fiir den geknickten Pfeilfliigel fiir die Schnitte in groBem Abstand von der Mitte. Man erkennt deutlich, daB beim riickwartsgepfeilten Fliigel (q> = +45°) die kritische Mach-Zahl des Mittelschnittes am giinstigsten bei Dickenriicklagen um 30%, dagegen beim vorwartsgepfeilten Fliigel bei Dickenriicklagen um 70% ist. Die dargestellten Ergebnisse zeigen, daB im Mittelschnitt des geknickten Pfeil­fliigels die kritische Mach-Zahl im allgemeinen erheblich geringer ist als im AuBen- schnitt. Daraus folgt, daB der giinstige Pfeileffekt, wie er fiir den geraden Pfeil­fliigel errechnet wird, beim geknickten Pfeilfliigel nicht voll zum Tragen kommt.

Weitere Rechenergebnisse fiir die kritische Mach-Zahl im Mittelschnitt des geknickten Pfeilfliigels sind in Abb. 8.35 mitgeteilt. Dort ist fiir drei Dickenriick­lagen Xd = 0,2; 0,3 und 0,5 das zulassige Dickenverhaltnis, bei dem am Profil noch keine Schallgeschwindigkeit auftritt, in Abhangigkeit von der kritischen Mach-Zahl fiir verschiedene Pfeilwinkel aufgetragen. Nach diesem Bild konnen bei vorgegebenen Pfeilwinkeln und vorgegebener Entwurfsmachzahl die Profilparameter (Dicken­verhaltnis und Dickenriicklage) im Mittelschnitt des Pfeilfliigels ermittelt werden.

Mit der Untersuchung der kritischen Mach-Zahl an geknickten Pfeilfliigeln hat sich S. Neumark [52] beschaftigt. Dabei wurde auch der EinfluB des endlichen

mit Ma^ = U^/doo gilt. Der soeben erlauterte Sachverhalt kann nach Abb. 8.36 auch so gedeutet werden, daB ein vorgegebener Punkt in einer Uberschallstromung, > a^, nur den vom Nachkegel um – schlossenen Raum beeinflussen kann, wahrend er selbst nur aus dem Raum des Vorkegels her beeinfluBt werden kann. Die Anwendung dieser Grundtatsache der Dberschallstromung auf einen Tragflugel end­licher Spannweite ist in Abb. 8.37 gezeigt. Der Stromungszustand

fi = Machscher Winkel

in einem Punkt x, y, z = 0 auf der Tragflache kann nur beeinfluBt werden von dem schraffierten Bereich F’ der Tragflache, welchen der Vorkegel aus der Tragflache herausschneidet. Falls die Mach-Linie M. L. sich vor der Fliigelvorderkante befindet wie in Abb. 8.37, so bringt auch der Bereich zwischen dieser Mach-Linie und der Vorderkante einen Beitrag zum EinfluB im Punkt x, y, z = 0. Der EinfluBbereich wird stromabwarts begrenzt durch die beiden durch den Punkt x, y, z = 0 hindurchgehenden Machschen Linien.

Unterschall – und tlberschallkante. Die in Abb. 8.36 dargestellten Ver – haltnisse finden eine wichtige Anwendung bei der schragen Anstromung einer Fltigelkante. Liegt nach Abb. 8.38a die Machsche Linie vor der Fltigelkante, so ist die Komponente vn der Anstromungsgeschwindigkeit normal zur Kante kleiner als die Schallgeschwindigkeit a^. Eine solche Kante nennt man Unterschallkante. Liegt dagegen nach Abb. 8.38b die Machsche Linie hinter der Fliigelkante, so ist vn groBer als a^. In

diesem Fall bezeichnet man die Kante als Vberschallkante. Es gilt somit

Unterschallkante: ft > у, vn < I

[ (8.88) Uberschallkante: ju < у, vn > . J

Dabei bedeutet у den Winkel der Kante gegentiber der Anstromungs – richtung. Der Sonderfall у = 0 ist fiir alle Uberschall-Machzahlen

b

Abb. 8.38. Zum Begriff der IJnter – und Uberschallkante.

a) Unterschallkante; b) Uberschallkante.

eine Unterschallkante und der Fall у = 90° eine Uberschallkante. Der Begriff der Unterschall – und Uberschallkante hat nicht nur fur die Vorderkanten, sondern auch fiir die Hinterkanten und Seitenkanten eines Tragfliigels Bedeutung. In Abb. 8.39 ist dieser Sachverhalt er – lautert. Dabei sind die Unterschallkanten gestrichelt und die Uber – schallkanten ausgezogen. Es sind fiir den gleichen FliigelgrundriB die Mach-Linien fiir drei verschieden groBe Mach-Zahlen gezeichnet. Bei der kleinsten Mach-Zahl (Abb. 8.39a) sind samthche Kanten Unter­schallkanten, wahrend bei der groBten Mach-Zahl (Abb. 8.39 c) die Vorder – und Hinterkante Uberschallkanten, aber die Seitenkanten noch Unterschallkanten sind.

Die Unterscheidung zwischen Unterschall – und Uberschallkanten ist bedingt durch das verschiedene Verhalten der Stromung in der Umgebung dieser Kanten.

In Abb. 8.40 sind die verschiedenen Stromungstypen dargestellt, wobei die Stromlinienbilder als Schnitte senkrecht zur Vorderkante bzw. zur Hinterkante aufzufassen sind. In einer kleinen Umgebung der Schnittebene dtirfen wir die Stromung als naherungsweise zwei – dimensional ansehen. Der grundsatzlich verschiedene Charakter der

Unterschall – und der tFberschallstromung um eine angestellte ebene Platte wurde in Abb. 8.13 angegeben. Hiervon ausgehend ist in Ab – bildung 8.40a die Unterschallvorderkante dargestellt, bei welcher wie bei inkompressibler Stromung nach Abb. 2.59 eine Umstromung der Vorder­kante von unten nach oben stattfindet. Ein wesenthches Merkmal dieser Stromung ist das Auftreten einer nach vorn gerichteten Saugkraft an der umstromten Nase, vgl. Abb. 8.13a. Abb. 8.40b zeigt die Unter­schallhinterkante mit dem glatten AbflieBen nach der Kuttaschen

AbfluBbedingung, vgl. Кар. 6.12. An einer solchen Hinterkante ist die Druckdifferenz zwischen Unter – und Oberseite gleich Null (Abb. 8.13a). Es tritt also voller Druckausgleich zwischen Unter – und Oberseite ein. In Abb. 8.40 c und d ist die Uberschallvorderkante bzw. Uberschall-

Abb. 8.41. Druckverteilungen fiber Flfigeltiefe (schematisch) ftir einen Schnitt eines angestellten

Pfeilfltigels.

a) Unterschallvorder – und – hinterkante;

b) Unterschallvorder – und Uberschallhinterkante;

c) t)berschallvorder – und – hinterkante.

hinterkante gezeigt. In beiden Fallen tritt weder ein Umstromen noch ein glattes Abstromen ein, sondern es gehen von der Kante Machsche Linien aus, langs welcher alle StromungsgroBen sich unstetig andern. Zwischen Unter – und Oberseite besteht ein endlicher Druckunterschied, ygl. Abb. 8.13b.

Zum AbschluB sind in Abb. 8.41 die Druckverteilungen langs eines Flugelschnittes schematisch dargestellt, und zwar fur die drei ver-
schiedenen in Abb. 8.39 angegebenen Falle. Bei dem Schnitt mit Unter- schallvorder – und – hinterkante (Abb. 8.41 a) ist die Druckverteilung erwartungsgemaB ahnlich wie die bei inkompressibler Stromung. Die hintere Mach-Linie erzeugt jedoch einen Knick in der Druckverteilung. Bei dem Schnitt mit Dberschallvorderkante und – hinterkante (Ab – bildung 8.41 c) hat der Druck an Vorder – und Hinterkante endlich groBe Werte. Die vordere Mach-Linie gibt wiederum einen Knick in der Druckverteilung.

8.412 KegelsymmetrischetJberschallstrOmung. Bevor in den folgenden Abschnitten die allgemeine Theorie der raumlichen Tragfliigelstromung bei Dberschallgeschwindigkeit be – handelt wird, soil vorweg ein ein – facher Sonderfall besprochen wer – den, der insbesondere fur den Trag – fhigel endlicher Spannweite groBe Bedeutung hat. Wir betrachten nach Abb. 8.42 die Stromung um eine dreieckformige ebene Flache.

Von der Spitze A0 des Dreiecks gehen zwei Mach-Linien aus, wo* bei in dem vorhegenden Beispiel die rechte Dreieckskante eine Unterschallkante und die linke Kante eine ‘Oberschallkante ist.

Weiterhin betrachten wir den Stro – mungszustand auf einem von der

Dreieckspitze ausgehenden Strahl. Der Stromungszustand im Punkt Ax dieses Strahles wird ausschlieBlich bestimmt durch dasjenige Flachen – stiick, welches der Vorkegel in aus der Dreieckflache heraus- schneidet, gegebenenfalls zuziighch des Flachenstiickes zwischen der Mach-Linie M. L. und der Fltigelvorderkante (EinfluBbereich von Ax). Der Stromungszustand in A2 wird ebenso ausschlieBlich durch den Ein­fluBbereich von A2 bestimmt. Die beiden EinfluBbereiche von Ax und A2 sind geometrisch ahnlich. Hieraus folgt, daB die Stromungszustande in Ax und A2 gleich sein miissen. Somit haben wir gefunden, daB auf dem ganzen von A0 ausgehenden Strahl der Stromungszustand (Druck, Dichte, Geschwindigkeit und Temperatur) konstant ist. Dieses gilt fur jeden behebigen Strahl durch A0. Das hiermit beschriebene Stromungs – feld nennt man nach A. Busemann [10] ein kegelsymmetrisches (koni – sches) Strdmungsfeld. Eine notwendige Voraussetzung fur die vorstehende Betrachtung besteht darin, daB die Kanten der dreieckformigen Flache geradhnig sind; sie stellen zwei spezielle Strahlen des kegel – symmetrischen Stromungsfeldes dar.

Einige Anwendungsbeispiele fiir solche kegelsymmetrischen Stro- mungen sind in Abb. 8.43 zusammengestellt. Abb. 8.43 a stellt einen Dreieckfltigel (Deltafliigel) dar, der im Schnitt senkrecht zur Anstrom- richtung ein Doppelkeilprofil hat. Es ist dieses ein Beispiel fur einen Fliigel endlicher Dicke bei Nullauftrieb. Abb. 8.43b stellt die dreieckige

ebene Platte mit Anstellwinkel (Auftriebsproblem) dar. Abb. 8.43 c zeigt die Stromung an der Seitenkante einer angestellten reehteekigen Platte. In dem durch die Mach-Linie begrenzten dreieckigen Stuck der Platten – flache ist der Stromungszustand jeweils auf den Strahlen durch die Ecke A0 konstant. Auf dem ganzen iibrigen ТеД der Platte ist das Stromungs – feld konstant, weil hier in den Schnitten senkrecht zur Plattenvorder – kante zweidimensionale Gberschallstromung herrscht, vgl. Abb. 3.22 und 8.13b.

Losungsansatz. Fiir die vorstehend besprochene kegelsymmetrische Stromung vereinfacht sich naturgemaB die dreidimensionale Potential – gleichung. Um dieses zu zeigen, gehen wir von der linearisierten drei – dimensionalen Potentialgleichung in kartesischen Koordinaten nach Gl. (8.40) aus. Wahlt man fiir die kegelsymmetrische Stromung das Koordinatensystem nach Abb. 8.44, so hangt das Stromungsfeld nur von den beiden dimensionslosen Koordinaten

я =-2- und C = — (8.89)

X X

ab. Fiihrt man fernerhin fiir das Potential der Storbewegung Ф den Ansatz

ein, so ist die Bedingung, daB die Geschwindigkeitskomponenten nach Gl. (8.37) auf den Strahlen durch die Kegelspitze A konstant sind, er – fiillt. Setzt man die Gin. (8.89) und (8.90) in (8.40) ein, dann erhalt man

Abb. 8.44. Kegelsymmetrische Stromung bei Uberschallgeschwindigkeit.

fiir f(rj, 0 die folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(to„v – Л J£ – + (tan2 ft – P> = 0. (8.91)

Hierin bedeutet nach Gl. (8.87) tan/г = 1/yJfa^ — 1. Diese Gleichung fiir die neue Funktion / hangt nur von den zwei Ortsvariablen r] und £ in der Ebene senkrecht zur Anstromungsrichtung (x = const) ab, vgl. Abb. 8.44. In den Querebenen x = const ergeben die v – und w – Komponente eine quasi-ebene Stromung. ZweckmaBigerweise lost man Gl. (8.91) fur tan^ = 1, d. h. fur die Machsche Zahl Ma^ = У 2, und transformiert diese Losung auf beliebige andere Mach-Zahlen nach der Prandtl-Glauert-Ackeretschen AhnUchkeitsregel, Кар. 8.22.

Die Losung der Differentialgleichung (8.91) wird in zahlreichen Lehr – biichern beschrieben, vgl. hierzu das Literaturverzeichnis von Кар. III.

8.413 Grundlosungen der kegelsymmetrischen tlberschallstromung. Die Anwendung der kegelsymmetrischen Gberschallstromung ist auf Fliigel mit geraden Kanten beschrankt. Sie wurde zuerst von A. Buse – mann [10] angegeben und spater auf,,quasi-kegelsymmetrischeu Stro – mungen ausgedehnt, vgl. [29].

An Hand von Abb. 8.45 moge die Anwendung dieses Verfahrens beim gleichen Fliigel fiir verschiedene Machzahlen gezeigt werden. Der als Beispiel gewahlte unverwundene, zugespitzte Pfeilfliigel hat in Abb. 8.45a nur Unterschallvorderkanten und in Abb. 8.45b nur СЛЬег – schallvorderkanten. In Abb. 8.45a hat man in dem Bereich I kegel­symmetrische Stromung mit der Fliigelspitze A als Kegelzentrum.

13 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

In den iibrigen schraffierten Bereichen liegt keine Kegelsymmetrie in bezug auf die Zentren В und C vor, da auf den Mach-Linien, die von В

A

Abb. 8.45. Stromungstypen an ange – stellten Tragfltigeln endlicher Spann – weite bei tlberschallgeschwindigkeit. Beispiel eines unverwundenen zuge – spitzten Pfeilfliigels, M. L. = Mach – Linien.

a) Fltigel mit Unterschallvorderkante, /* > Yl

b) Fltigel mit tjberschallvorderkante, /л < y.

Nicht schraffiert = Druck kon – stant;

einfach schraffiert = Druckvertei – lung kegelsymmetrisch; doppelt schraffiert = Druckvertei – lung nicht kegelsymmetrisch.

und C ausgehen, der Druck mit Rucksicht auf den Bereich I nicht kon- stant sein kann. In Abb. 8.45b herrscht im ganzen Bereich II konstanter Druck, wie noch naher gezeigt wird. Im Bereich III hat man eine kegel-

symmetrische Stromung mit der Fliigelspitze A als Kegelzentrum, da auf den vom Punkt A ausgehenden Mach-Linien der Druck mit Riick – sicht auf den Bereich II konstant ist. Auch der Bereich IV hat kegel – symmetrische Stromung in bezug auf das Zentrum B. In den doppelt schraffierten Flachen dagegen liegt keine Kegelsymmetrie vor.

Tragfliigel mit tlberschallvorderkante. Der einfachste Fall eines Trag – fliigels mit Gberschallvorderkante ist die ebene Platte mit senkrecht ange – strdmter Vorderkante. Diese Stromung wurde als ebenes Problem bereits in Кар. 3.52 und 8.131 behandelt (vgl. Abb. 8.13b). Die konstante Druckverteilung langs der Tiefe einer unter dem Anstellwinkel oc ange – stellten Platte ist nach Gl. (8.14):

p — Poo __ – p 2<x

jp і Male — 1

2 00

Dabei soil der Index eb bei cp das ebene Problem bedeuten. Das obere Vor – zeichen gilt fur die Oberseite und das untere Vorzeichen fur die Unter – seite der Platte.

Fur die gepfeilte ebene Platte, deren Vorderkante mit der Anstrom – richtung den Winkel у bildet (Abb. 8.46), erhalt man die Druckver­teilung aus der Gberlegung, daB lediglich die Komponente der An – stromungsgeschwindigkeit senkrecht zur Vorderkante, also U^ siny, fiir die Auftriebserzeugung von Bedeutung ist, vgl. Abb. 7.44. In dem Schnitt senkrecht zur Vorderkante hat die Platte den Anstellwinkel oc* = a/siny, wobei oc der Anstellwinkel in der Ebene ist, welche die Geschwindigkeit U0о enthalt. Somit hat man fur die Druckverteilung der gepfeilten an – gestellten ebenen Platte:

СГ = = q= __,2«8іпУ ^ (8 93)

g°° jj‘l0 У Maiо sin2 у — 1

Die gepfeilte Platte hat ebenfalls eine iiber die Tiefe konstante Druck verteilung. Wir bilden jetzt noch das Verhaltnis des Druckbeiwertes der gepfeilten Platte zu demjenigen der ungepfeilten Platte. Hierfur fuhren wir die GroBe

m = = tany УMa^ — 1 (8.94)

tan [л

ein. Es bedeutet somit:

m < 1: Unterschallvorderkante,

m > 1: Gberschallvorderkante,

wobei die vorstehende Rechnung voraussetzungsgemaB jedoch nur fur m > 1 Gultigkeit hat. Man erhalt aus den Gin. (8.92), (8.93) mit (8.94):

m

cpe ь )m2 — 1

Es ist sehr bemerkenswert, daB cp/cPeb > 1 ist, was bedeutet, daB die gepfeilte Platte bei gleichem in der Anstromungsrichtung gemessenen Anstellwinkel groBeren Auftrieb pro’ Flacheneinheit erfahrt als die nngepfeilte Platte.

Fiir у = я/2, d. і. ш = oo, erhalt man erwartungsgemaB ср/сЛь = 1. Fiir у = //, d. i. m = 1, ergibt sich cp/cPeb = oo. In diesem Fall fallt die Mach-Linie in die Vorderkante, und es ist somit die Anstromungskompo – nente normal zur Vorderkante gleich der Schallgeschwindigkeit. Infolge – dessen versagt die lineare Dberschalltheorie.

Die hier mitgeteilten Ergebnisse fiir die zweidimensionale Stromung um eine gepfeilte ebene Platte lassen sich auch auf den Tragfliigel endlicher Spannweite iibertragen. Wir betrachten zu diesem Zweck einen ange – stelltenDreieckfliigel mit Uberschall vorderkante (m > 1) nach Abb. 8.47 a. Dabei ist m nach Gl. (8.94) gegeben, und es bedeutet

tan y’ tan fi

Die Geraden t = const sind Strahlen durch die Fliigelspitze, wobei t von 0 bis m > 1 lauft; t = ± 1 stellt die Mach-Linien und t = ± m die Vorder – kanten dar. Auf dem Fliigel hat man nun die beiden Bereiche II und III nach Abb. 8.45b zu unterscheiden. Zwischen der Mach-Linie und der Vorderkante ist der Druck konstant und durch G. (8.95) gegeben. Es ist im

Bereich II (1 < t < m): , m. (8.96a)

Cpeb yW — 1

Hierin ist cPeb durch Gl. (8.92) gegeben. Ohne auf Einzelheiten der Rech­nung einzugehen, sei auch das Ergebnis fur den Bereich III angegeben, vgl. Abb. 8.45b. Fiir die Druckverteilung in einem Schnitt quer zur An – stromung ergibt sich im

Bereich III (0 < t < 1): – Sb – = – , m – (arccos V 4^) •

Seb « im* – 1 – <7

(8.96 b)

Die Gin. (8.96a) und (8.96b) beschreiben zwei Grundlosungen der kegel – symmetrischen Gberschallstromung. In Abb. 8.47 b ist die Druckver­teilung fiir einen Schnitt quer zur Stromungsrichtung dargestellt. Berner –

kenswert ist, daB die Flachenteile vor den von der Spitze ausgehenden Machschen Linien groBere und die Flachenteile hinter diesen Mach-Linien

«■I

Abb. 8.47. Angestellter Tragfliigel mifc ttberschallvorderkante (m > 1). a) FliigelgrundriB (Dreieckfliigel);

b) Druckverfceilung in einem Schnifcfc quer zur Sfcrdmungsrichfcung, m = 1,5.

im wesentlichen kleinere Dnicke als bei senkrecht angestromter Vorder – kante haben. Der Mittelwert von cp iiber die Breite ist

cp — cpeb• (8.97)

Tragfliigel mittlberschallvorderkante und Seitenkante. Nachdem bisher der Tragfliigel mit tJberschallvorderkante behandelt wurde, soil jetzt als weitere Grundlosung der Fliigel mit Uberschallvorderkante und Seiten­kante besprochen werden. Dabei verstehen wir nach Abb. 8.48 a unter einer Seitenkante eine solche Kante, die im GrundriB parallel zur Anstrom – richtung ist. Vom Punkt В der Seitenkante aus erstreckt sich nach hinten

ein keilformiger Bereich IV mit kegelsymmetrischer Stromung, vgl. Abb. 8.45 b. Dieser Bereich wird begrenzt durch die Seitenkante desFlugels und die beiden von A und В ausgehenden Machschen Linien. Die Rand – bedingungen fur die Druckverteilung in dem Bereich IV sind cp = 0 auf der Seitenkante und cp = cm = const auf der Machschen Linie.

Die Losung fiir die Druckverteilung des Bereiches IV mit dem Ко – ordinatensystem x, у nach Abb. 8.48 a ist, vgl. [32]:

(8.98)

Hierin ist сль durch Gl. (8.92) und m durch Gl. (8.94) gegeben. Ferner ist :

und somit t — 0 fur die Seitenkante und t = —1 fiir die Mach-Linie. Man liberzeugt sich leicht, daB fur t — 0 sich cp = 0 und fiir t = — 1 sich cp = Cpn = (m/ym2 — l) cPeb nach Gl. (8.95) ergibt.

Tragfliigel mit Unterschallvorderkante. Fiir einen Fliigel mit Unter – schallvorderkante (Bereich I in Abb. 8.45 a) moge hier, ohne auf die

Uco

Abb. 8.49. Angestellter Tragfliigel mit Unterschallvorderkante (0 < m < 1). a) FltigelgrundriB (Dreieckflilgel); b) Druckverteilung in einem Schnitt quer zur Strdmungsrichtung, m = 0,6.

Einzelheiten der Rechnung einzugehen, das Ergebnis angegeben werden. Man erhalt fiir die Druckverteilung in einem Schnitt durch den Fliigel quer zur Anstromungsrichtung, vgl. z. B. [16] und [63]:

Bereich I (0 < rj < 1): fL = —Ц. (8.99)

среЬ А m) yl —

Dabei ist m durch Gl. (8.94) gegeben, und E'(m) bedeutet das voll –

standige elliptische Integral zweiter Gattung.1 Im vorliegenden Fall nimmt m die Werte 0 < m < 1 an. Es ist naeh Abb. 8.49 a:

— cot у ==

X

Auf dem Fliigel lauft r von —1 bis +1,. wobei rj = — 1 und r) = – f 1 die Vorderkanten sind.

Tabelle 8.5. Grundlosungen fiir die Druckverteilung der angestellten ebenen Platte bei Uberschallgeschwindigkeit fiir die Bereiche (I), (II), (III) und (IV) nach Abb. 8.45. Cp^ nach Gl. (8.92); m nach Gl. (8.94).

(I) Tragfliigel mit Unterschallvorderkante.

(II) Tragfliigel mit tlberschallvorderkante, Bereich vor der Mach-Linie.

(III) Tragfliigel mit Uberschallvorderkante, Bereich hinter der Mach-Linie.

(IV) Tragfliigel mit Uberschallvorderkante und Seitenkante.

СрІСр.

E’(m) yi _ fp

я/2

E'(m) = J Уі — (1 — m2) sin2(pd(p. Es ist ^'(0) = 1. 0

Ferner ist cPeb die konstante Druckverteilung der angestellten ebenen Platte bei Dberschallgeschwindigkeit nach Gl. (8.92).

In Abb. 8.49b ist die Druckverteilung nach Gl. (8.99) dargestellt. An den beiden Kanten ist cp unendlich groB, wie es fur die Umstromung einer scharfen Unterschallvorderkante erwartet werden muB, vgl. Abb. 8.40a und 8.41a und b. Der Mittelwert des Druckes iiber die Breite ist:

(8.99 a)

SchlieBlich sollen die oben behandelten Grundlosungen in Tab. 8.5 noch einmal zusammengestellt werden. Dabei sind die Beziehungen fur die Druckverteilung der angestellten ebenen Platte wiedergegeben. Die Giil- tigkeitsbereiche fur die Losungen I, II, III und IV sind aus den bei – gegebenen Skizzen zu ersehen. Eine besonders umfangreiche Zusammen – stellung von weiteren Grundlosungen ist von R. T. Jones und D. Cohen [32] angegeben worden.

E

8.414 tlberlagerungsprinzip. Mit den obigen Grundlosungen laBt sich die Auf – triebsverteilung bei Uberschallgeschwindigkeit fur eine beliebige Fliigelform noch nicht ermitteln. In solchen Bereichen des Fliigels, die von den Machschen Kegeln mehrerer Storzentren iiberdeckt werden, wie z. B. die doppelt schraffierten Gebiete in Abb. 8.45, sind die Grundlosungen nicht ohne weiteres anwendbar. Jedoch kann man auch fur diese Gebiete die Losungen nach einem einfachen t)berlagerungs – verfahren erhalten, das im folgenden kurz skizziert werden soil:

Gesucht sei die Auftriebsverteilung eines unverwundenen, zugespitzten Pfeil – fliigels ABGD nach Abb. 8.50. Wir erganzen diesen Flugel zu einem spitzen Flugel AED. Fiir diesen Ausgangsfliigel ist die Auftriebsverteilung aus den obigen Grund­losungen nach Tab. 8.5 bekannt. Um aus dem Flugel AED den vorgelegten Flugel ABGD zu erhalten, denkt man im Punkt В ein Storzentrum angebracht. Von diesem gehen zwei Machsche Linien unter dem Winkel [Л zur Seitenkante BC aus. Die linke Mach-Linie trifft die Hinterkante des vorgelegten Fliigels im Punkt F. In dem Ge – biet ABFD des vorgelegten Fliigels verursacht das Storungszentrum В keine Ande – rung der Auftriebsverteilung. Um nun aus der bekannten Auftriebsverteilung des

Fliigels AED diejenige des vorgelegten Fliigels ABCD zu erhalten, hat man zu der Losung des ersteren Fliigels folgende Losung hinzuzufiigen: Fur den Bereich BEF ist eine Losung mit folgenden Eigenschaften zu finden (sog. Kompensationsflugel). Im Teilgebiet ВЕС muB der Auftrieb des Kompensationsfliigels entgegengesetzt gleich dem des Fliigels AED sein, damit in dem ersteren nach t)berlagerung der Gesamtauftrieb verschwindet (Auftriebsloschung). In dem Teilgebiet BCF darf

I

der Kompensationsflugel keine Normalkomponente der Geschwindigkeit haben, damit in diesem Gebiet nach Uberlagerung der ortliche Anstellwinkel ungeandert bleibt. Auf die Einzelheiten der Berechnung eines solchen Kompensationsfliigels konnen wir hier nicht naher eingehen. Jedoch findet man eine ausfiihrliche Zusam – menstellung der wichtigsten Kompensationsflugel mit den zugehorigen Geschwindig – keitsverteilungen bei R. T. Jones und D. Cohen [32]. Uber die Grundlagen der Theorie vgl. man auch H. Mirels [51].

Beispiel. Das vorstehende Verfahren moge auf ein einfaches Beispiel angewendet werden, namlich auf den Bereich V der angestellten ebenen rechteckigen Platte nach Abb. 8.51 a. Dieser Bereich liegt im EinfluBgebiet der beiden Mach-Kegel, die
von den vorderen Ecken ausgehen. Im vorliegenden Fall ist der Ausgangsfliigel die unendlich breite angestellte ebene Platte mit der bekannten Druckverteilung cp^. Wir wahlen jetzt zwei Kompensationsfliigel 1 und 2 nach Abb. 8.51, die die oben angegebenen Bedingungen, namlich cPi = ~cpeb und cPs = —°реЪ links und rechts von den Seitenkanten, sowie w1 = 0 und w2 = 0 in den beiden von den Machschen Linien auf dem Rechteckfliigel abgeschnittenen Dreiecken erfiillen. In den letzteren Bereichen auf dem vorgelegten Fliigel liefem die Kompensationsfliigel die zusatz – lichen Driicke cPi und cp^. Durch Uberlagerung erhalt man somit die Druckver – teilungen in den verschiedenen Bereichen zu:

% = Чь’

V = 4b + % ’ CPlV = CPeb + S ’

CPv = CPeb ”’ CPl + CP2-

Beriicksichtigt man jetzt, daB die Stromung in den Bereichen III und IV kegel – symmetrisch ist, so laBt sich der Druck in einem beliebigen Punkt des Bereiches V aus den Driicken сРш und cPiv erhalten, wenn man hierfiir die Werte auf den beiden Strahlen nimmt, die durch den vorgegebenen Punkt des Bereiches V hindurchgehen. Eliminiert man cPi und cp^ aus den obigen Gleichungen, so erhalt man fur den Druck im Bereich V das bemerkenswerte Ergebnis

CPv_CPin + CPlV CPeb ’

Hierbei bedeuten cPm und cp^ die in den Bereich V fortgesetzten kegelsymmetri – schen Druckverteilungen der Bereiche III und IV nach Abb. 8.51 e.

ё*Ф

8y2

8.415 Singularitatenmethode fur tlberseballstromung. Wahrend die kegelsymmetrische Stromung der vorigen Abschnitte nur fiir Sonderfalle anwendbar ist, besitzt man in der Singularitatenmethode auch fiir tTber- schallstromungen ein allgemein anwendbares Berechnungsverfahren. Die Grundziige des Singularitatenverfahrens wurden fiir inkompressible Stromungen in Кар. 7.2 und 7.6 erlautert. Die dort angegebenen Losungs – ansatze lassen sich in analoger Weise auf lineare Gberschallstromun – gen iibertragen. Die inkompressible und die kompressible Potential – gleichung lauten nach Gl. (8.40) fiir die dreidimensionale Stromung:

Quellbelegung. In Кар. 7.62 wurde gezeigt, daB man eine Losung der Potentialgleichung fiir Мах = 0 durch eine Quellbelegung in der x, t/-Ebene erhalten kann. Ist q(x y’) das an der Stelle x’, y’ befindliche Quellelement, so gilt nach Gl. (7.223) fiir den Beitrag dieses Elementes

4:1 V(* – x’f – (.MaI – 1) [(y – y’f + г2]

zum Geschwindigkeitspotential der Storbewegung:

Man kann leicht nachweisen, daB dieser Ansatz eine Losung von Gl. (8.100 b) ist. Der Wurzelausdruck hat reelle Werte nur innerhalb der beiden

Machschen Kegel des Punktes x’} y z’ = 0 (Vor – und Nachkegel, vgl. Abb. 8.36) mit dem Offnungswinkel /и, wobei tanp = Ma^ — 1

ist. Das Quellelement im Punkt xуz’ = 0 bringt aus physikalischen Grtinden jedoch nur fur solche Aufpunkte x, y, z einen Beitrag zum Potential, die im Nachkegel des Quellelementes liegen. DaB inGl. (8.101) fur die Dberschallstromung der Faktor vor dem Quellelement doppelt so groB ist wie bei inkompressibler Stromung, ruhrt daher, daB nach Abb. 8.52 bei Dberschallgeschwindigkeit ein Punkt P von zwei Stellen
aus erreicht wird, wahrend er bei Unterschallgeschwindigkeit nur von einer Stelle erreicht werden kann.

Um jetzt das gesamte Potential in einem Aufpunkt x, у, z zu erhalten, ist fiber die Beitrage der Quellelemente in der x’} y’-Ebene zu integrieren. Hierbei werden nur die Nachkegel der Quellelemente beriicksichtigt, wahrend die Vorkegel unberiicksichtigt bleiben. Es gilt somit:

Hierin bedeutet F’ den EinfluBbereich des Punktes x, y,z. Dieser ist fur z = 0 in Abb. 8.37 dargestellt. Fur z 4= 0 wird derEinfluBbereich durch eine Hyperbel begrenzt, vgl. Abb. 8.53.

Die Geschwindigkeitskomponenten in x – und z-Richtung am Ort des Flugels z = 0 ergeben sich aus Gl. (8.102), vgl. hierzu auch Gl. (7.226), zu:

wobei das obere Vorzeichen fur z > 0 und das untere Vorzeichen fur z < 0 gilt.

Die in Gl. (8.103) auszuftihrende partielle Differentiation nach x er – fordert besondere Sorgfalt, da an den Grenzen des von den Machschen Linien gebildeten Integrationsbereiches, die von x und у abhangig sind, der Integrand unendlich wird. Am besten behandelt man solche Integrate mit der Hadamardschen,,Methode der endlichen Bestandteile diver – genter Integrate". Im einzelnen werde verwiesen auf die Arbeit von J. C. Evvard [15], vgl. Кар. 8.424.

Im folgenden moge die Anwendung der Methode der Quellbelegung auf den angestellten Flugel mit VberschallvorderJcante gezeigt werden:

Weil die Anstromungskomponente senkrecht zur Vorderkante groBer als die Schallgeschwindigkeit ist und daher die Vorderkante nicht umstromt wird (Abb. 8.40 c), gibt die Losung fur die Unter – oder Ober – seite eines Keilprofils mit linear zunehmender Dicke zK(x) gleichzeitig die Losung fur die angestellte ebene Platte (vgl. Abb. 8.43a und b). Die Quellverteilung q(x, y) bestimmt sich aus der kinematischen Stro – mungsbedingung, Gl. (7.37), und mit Gl. (8.104) zu:

dx’ dy’

V(* – x’f – (Mai, – 1) (y – yT

Wegen dzKldx=—oc nach Abb. 8.19 ist somit g(#, y) = — 2 Damit ergibt sich fiir den Druckbeiwert cp = —2и/ nach Gl. (8.103):

Der fiir den Punkt x, у auf der Tragflache vorgeschriebene Integrations – bereich ist in Abb. 8.37 schraffiert eingetragen.

Wirbelbelegung. Der angestellte Tragfliigel mit Unterschallvorderkante laBt sich nach der besprochenen Methode der Quellbelegung nicht ohne weiteres behandeln, weil in diesem Fall eine Umstromung der Vorder – kante stattfindet. Ein Verfahren, den Fltigel mit Unterschallvorderkante dennoch nach der Quellmethode zu berechnen, wird in [14] und [15] an – gegeben. Statt der Quellbelegung empfehlen sich besonders auch die Dipolbelegung nach [29] sowie eine Wirbelbelegung von der Art, wie sie fiir inkompressible Stromung bereits in Кар. 7.2 dargelegt wurde.

In Кар. 7.241 wurde gezeigt, daB man eine Losung der inkompres – siblen Potentialgleichung durch eine Wirbelbelegung in der x, i/-Ebene erhalten kann. Ist k(x’, yf) das an der Stelle x’, y’ befindhche Wirbel – element (Abb. 7.13), so gilt nach Gl. (7.48) fiir den Beitrag dieses Ele – mentes zum Geschwindigkeitspotential:

Г = i(x — x’Y + (y — y’f + Z2.

Die entsprechende Losung fiir Cberschalistromung lautet analog zu Gl. (8.101):

mit

r = i(x – X’f – (Mai – 1) 1(3/ – У’? + z2] •

Beim Ubergang vom Potential der inkompressiblen Stromung zu dem – jenigen der Uberschallstromung ist in der vorigen Gleichung das GUed mit 1 in der Klammer auszuscheiden, da es im ganzen Raum reell ist und somit bei Uberschallgeschwindigkeit physikahsch keinen Sinn hat. Das GUed mit 1/r im Potential der inkompressiblen Stromung geht in das nur im Mach-Kegel reelle Potential der Uberschallstromung iiber. Dieses GUed erhalt jedoch fiir die Uberschallgeschwindigkeit einen zusatzUchen Faktor 2 ausGriinden, die im AnschluB an Gl. (8.101) erlautert wurden.

Um jetzt das gesamte Potential in einem Aufpunkt x, y, z zu erhalten, ist wieder uber die Beitrage der Wirbelelemente in der x’, y’-Ebene zu integrieren. ffierbei werden nur die Nachkegel der Wirbelelemente be- riicksichtigt, wahrend die Vorkegel unberiicksichtigt bleiben. Damit ergibt sich fiir das Potential der Wirbelbelegung:

ф(х, = (y _ yT + z2 Q{x, У, г; У’) dy’ (8.108)

V(* – *’)2 – (Ma% – 1) [(y – y’)2 + z2]

mit

Dabei ist in Gl. (8.108) in Spannweitenrichtung йЬег die Breite des Vor – kegels zu integrieren, vgl. Abb. 8.53. In Gl. (8.109) ist iiber x’ im Vor-

Abb. 8.53. ErlSuterungsskizze zum Integrationsbereich ftir das Potential eines Tragfldgels bei Anstromung mit Uberschallgeschwindigkeit nach Gl. (8.108) und (8.109).

kegel des Punktes x, y, z von der Vorderkante xv(y’) bis zum Mach-Kegel x0(y’) zu integrieren. Es ist

Ч(у’) = X – ^(Ma% – 1) [{y – y’)2 – f – z2]. (8.110)

Die Geschwindigkeitskomponenten in x – und z-Richtung am Ort des Fliigels z = 0 ergeben sich aus den Gin. (8.108) und (8.109), vgl. hierzu die Gin. (7.34) und (7.38):

V(* – *’)a – – 1) (y – y’f

mit

Aus der Geschwindigkeitskomponente и erhalt man wie nach Gl. (7.41) fur die Druckdifferenz zwischen Unter – und Oberseite des Fliigels:

(8.114)

Um die Gleichung fiir die Wirbeldichte к (x, у) zu erhalten, ist noch die kinematische Stromungsbedingung zu beriicksichtigen. Diese lautet nach Gl. (7.37) fiir den unverwundenen Fliigel:

UooOC + w(x, y) = 0.

Nach Einfiihrung von Gl. (8.112) in Gl. (8.115) ist die letztere Gleichung bei vorgegebener Flugelform eine Integralgleichung fur die Ermittlung der Wirbeldichte k(x, y). Die L5sung dieser Integralgleichung bereitet ebenso wie bei inkompressibler Stromung erhebhche Schwierigkeiten, vgl. hierzu [11], [15], [29].

Eine verhaltnismaBig einfache Losung fur die Singularitatenmethode fiir einige Beispiele wurde schon friihzeitig von L. Pbandtl [59] und H. Schlichting [64] angegeben.

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