Rumpf bei axialer Anstromung

9.221 Druckverteilung nach der Method© der Quell-Senkenbelegung.

Die Methode der Quell-Senkenbelegung fur axial angestromte Rotations – korper wurde zuerst von G. Fuhrmann [10] eingehend dargestellt. Die Grundlagen dieses Verfahrens wurden bereits in Кар. 2.35.12 angegeben. Auch wurde dort an Hand eines Beispieles gezeigt, daB die theoretisch berechnete Druckverteilung gut mit Messungen ubereinstimmt, vgl. Abb. 2.31.

Die Stromung um einen axial angestromten Rotationskorper kann nach Abb. 9.4 durch eine raumliche Quellverteilung q(x) auf der Rumpf –

achse, der eine Translationsstromung iiberlagert ist, erzeugt werden. Man vergleiche hierzu die Ausfuhrungen fiir den ebenen Fall in Кар. 6.33. Die Quellverteilung q (x) muB die Schliejiungsbedingung

h

jq(x)dx = 0 (9.6)

о

erfiillen, damit sich eine geschlossene Rumpfkontur ergibt.

Das Geschwindigkeitspotential der Quell-Senkenverteilung ist unter Verwendung von Zylinderkoordinaten x und r nach Gl. (2.130):

h

1 Г q(x’) dx’

4я J у (x — x’)2 + r2 о

Fur die induzierten Geschwindigkeitskomponenten in axialer und radialer Richtung erhalt man hieraus:

Ir

, x дФ 1 C V(x’) (x — x’)dx’ tf o

u(x, r) = — = — f — v (9.8)

8x 4я J _ x’)2 + г*3

h

• Г q(x’) dx’

71 J i(x — x’)2 – j – r2

Den Zusammenhang zwischen der Quellverteilung q (x) und der Rumpf – kontur R(x) findet man durch Anwendung der Kontinuitatsgleichung auf das in Abb. 9.4 angegebene Volumenelement ABCD zu:

(Uoo + у) nR2 + qdx = w ^ •

Hieraus folgt fur die Quellverteilung:

«(*) = я J – [(C/co + *) 2Р].

Fur schlanke Rumpfe ist и £7^, mithin also:

Dabei bedeutet FR(x) — nR2(x) den ortlichen Rumpf querschnitt. Diese Beziehung fur die Quellverteilung erfiillt die SchlieBungsbedingung Gl. (9.6) von selbst, wenn am Bug und Heck FR = 0 ist.

Fiir die Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung auf der Ober – flache von schlanken Rumpfkorpem benotigt man die Werte der indu­zierten Geschwindigkeiten и und wr nach Gl. (9.8) und (9.9) fiir kleine Werte von r. Die Ermittlung dieser Werte erfordert besondere Sorgfalt, da auf der Rumpfachse selbst die induzierten Geschwindigkeiten singular sind. Die Entwicklung von и und wr fiir kleine Werte von r ergibt unter der Annahme, daB dqjdx in der Umgebung des Punktes x’ = x stetig ist:

u(x, r -> 0) =

wr(x, r ->• 0) = (9.11b)1

Aus diesen beiden Gleichungen erkennt man, daB auf der Rumpfachse (r = 0) die beiden Komponenten der induzierten Geschwindigkeit un – endlich groB werden. Hierin besteht ein grundlegender Unterschied gegemiber dem ebenen Fall (Profiltheorie), vgl. Gl. (6.118).

Es moge an dieser Stelle fur die radiale Geschwindigkeitskomponente noch der Grenzwert (Randbedingung) auf der Rumpfachse angemerkt werden; es gilt

lim(r«>r)= UXR^, (9.12)

r—>0 ax

was sich sofort ergibt, wenn man Gl. (9.10) in (9.11b) einsetzt.

1 d*m вы 2 dx2 lR ’

Somit erhalt man schlieBlich fur die induzierten Geschwindigkeiten auf der Oberfldche des schlanken Rumpfes (r = R(x)) aus den Gin. (9.11 a) und (9.11b) die folgenden Werte, wenn noch fur die Quellverteilung q(x) die Beziehung (9.10) eingesetzt wird:

wr(x) dR(x)

TJ о© dx

Die letztere Gleichung ist gleichbedeutend mit der kinematischen Stromungsbedingung, welche aussagt, daB auf der Oberflache des Rumpfes die Geschwindigkeitsrichtung tangential zur Oberflache ist.

Druckverteilung. Fur die Druckverteilung auf der Oberflache des Rumpfes erhalt man aus der Bernoullischen Gleichung:

d2(R2) = Г(d2(R2) (d*(R2) 1

dx2 ~ 2 [ dx2 Д-о+ dx2 )x+oy

Hierin bedeutet W = (f/oo + u)2 + die Geschwindigkeit auf der Rumpfkontur.

Fur schlanke Rtimpfe kann man ebenso wie in der Profiltheorie des Tragflugels die in den induzierten Geschwindigkeiten quadratischen Glieder vernachlassigen. Damit erhalt man aus dieser Gleichung als erste Naherung:

cp(x) = — 2 (erste Naherung). (9.15)

U OO

Eine genauere Formel fur die Druckverteilung ergibt sich durch Beriick – sichtigung des Gliedes w2r, weil nach Gl. (9.14) wr proportional zur Neigung dR/dx ist, und deren EinfluB damit besser erfaBt wird. Somit ist in zweiter Naherung:

Die Gin. (9.15) und (9.16) gestatten zusammen mit Gl. (9.13) anzugeben, in welcher Weise der Druckbeiwert vom Rumpf dickenverhaltnis SR — dRm3iXllR abhangt. Man findet den Zusammenhang:

Cp(x) = U(x) + g(x) Іпдл] 8%, (9.17)

wobei die Funktionen / (x) und g(x) nur von der Form des Rumpfes, aber nicht von dem Dickenverhaltnis abhangig sind. Insbesondere gilt

Beispiele. Im folgenden sollen einige Beispiele zu dieser Methode der Quell-Senkenbelegung besprochen werden.

Rotationsellipsoid: Fur ein Rotationsellipsoid mit dem Dickenver­haltnis dR — dRm&JlR ist mit X = x/lR:

j – =3*Уі(1 – X). (9.19)

lR

Damit ergibt sich fiir die induzierte Geschwindigkeit u(x) nach Gl. (9.13) :

In Abb. 9.5 ist die Druckverteilung fiir das RotationselUpsoid mit dem Dickenverhaltnis dR = 0,1 dargestellt, und zwar sowohl fur die erste Naherung nach Gl. (9.15) als auch fiir die zweite Naherung nach Gl. (9.16). Zum Vergleich ist auch die exakte Losung eingetragen, liber die im nachsten Abschnitt berichtet wird. Die zweite Naherung stimmt mit der
exakten Losung langs der ganzen Kontur gut xiberein, wahrend die erste Naherung im vorderen und hinteren Teil Abweichungen aufweist.

Abb. 9.5. Druckverteilung an axial angestrCmten RotationskOrpern (Ellipsoid, Paraboloid) bei in – kompressibler Strdmung. Rumpfdickenverhaitnis dB — 0,1. 1 Exakte LOsung nach Gl. (9.26) bzw. [25]; 2 zweite Naherung nach Gl. (9.16); 3 erste Naherung nach Gl. (9.15).

Fur die maximale Obergeschwindigkeit auf dem Rotationsellipsoid, die bei X = liegt, ergibt sich aus Gl. (9.20):

^ = -(l + lnf)4- (9.21)

In Abb. 9.6 ist dieser Wert in Abhangigkeit vom Rumpfdickenverhaltnis dargestellt. Auch hier ist die exakte Losung zum Vergleieh mit einge – tragen. Bei groBem Dickenverhaltnis ergibt die exakte Losung groBere Werte als die Naherungslosung nach der Quell-Senkenmethode bei An – ordnung der Quellen auf der Achse. Ferner ist in Abb. 9.6 auch noch die tFbergeschwindigkeit fur das ebene Problem des Ellipsenprofils nach Abb. 6.29 mit eingetragen. Hierfiir gilt umax/= S(= дд). Man er – kennt aus dem Vergleieh der Kurven „ЕШрзепргоШ“ und „Ellipsoid", daB beim Rotationskorper die maximale t)bergeschwindigkeit erhebhch kleiner ist als beim Fliigelprofil gleichen Dickenverhaltnisses.

Rotationsparaboloid: Fiir ein Rotationsparaboloid ist

■p = 2<5ЛХ(1 – X). (9.22)

Abb. 9.6. Maximale tlbergeschwindigkeit axial angestrbmter Rotationskorper in AbMngigkeit vom DickenverMltnis 6 R- 1 Exakte Lbsungnach Gl. (9.27) bzw. [25]; 2 NAherung nach Gl. (9.21) bzw. (9.24).

Fur die induzierte Geschwindigkeit u(X) ergibt sich aus Gl. (9.13):

^ = 2 [1 – 6X (1 – X)] [3 + lnX(l – X) + 2In<5д] d%. (9.23)

u 00

Die hiernach berechnete Druckverteilung (zweite Naherung) ist in Abb. 9.5 fur dR — 0,1 als Kurve 2 dargestellt. Fur die maximale t)ber – geschwindigkeit, die wieder bei X = liegt, ergibt sich aus Gl. (9.23):

^ = – (з + 21п|)4. (9.24)

Auch dieser Wert ist in Abb. 9.6 als Kurve 2 dargestellt.

Die bisherigen Rechnungen gelten fiir die Anordnung der Quellver- teilung auf der Rumpfachse. In Abb. 9.5 und 9.6 sind auch Ergebnisse fiir die Anordnung von Quellringen auf der Korperoberflache jeweils als Kurve 1 eingetragen. Diese Losungen konnen als, exakt‘ angesehen werden. Die betrachtliche Verbesserung der Theorie bei der Oberflachen – belegung gegeniiber der Achsbelegung ist aus Abb. 9.6 ersichtlich.

Andere Rotationskorper: In Abb. 9.7 ist noch die Druckverteilung fiir einen Rotationskorper angegeben, der aus einem halben Rotations – ellipsoid und einem daran angesetzten unendlich langen zylindrischen Stiick besteht. An der Stelle des Krummungssprunges х/1Ко = ist bei der Auswertung von Gl. (9.13) die dazu angegebene Fufinote zu beriicksichtigen. Hier ergibt sich der besonders gekennzeichnete Wert von Cp.[37] SchlieBlich ist noch in Abb. 9.8 die Druckverteilung eines Rotationskorpers angegeben, der vorn aus einem halben Ellipsoid, hinten aus einem halben Paraboloid und einem zylindrischen Mittel-

Abb. 9.7. Druckverteilung an einem rotationssymmetrischen Halbkorper femaxfeo = 0,1) bei axialer Anstromung (Quellbelegung auf der Achse).

Abb. 9.8. Druckverteilung an einem Rotationskorper mit zylindrischem Mittelstuck, 6R = dRmaxIlR = 0,09 (Quellbelegung auf der Achse).

stuck besteht. Fur die beiden besonders gekennzeichneten Punkte an den Stellen des Kriimmungssprunges gilt das bereits zu Abb. 9.7 Gesagte.

9.222 Exakte Losungen. Es m5gen jetzt noch einige Angaben uber exakte Losungen fur axial angestromte Riimpfe gemacht werden. Solche exakte Losungen der raumlichen Potentialgleichung lassen sich in geschlossener Form nur fur wenige Falle angeben. Wir be – schranken uns auf einige Angaben fur das axial angestromte drei – achsige Ellipsoid, das zuerst von L. B. Tuckermann [45] und A. F. Zahm [51] und spater ausfuhrlicher von K. Maruhn [28] behandelt worden ist. Sind а, b und c nach Abb. 9.9 die Halbachsen des Ellipsoids, das in

cp = 1 — A2

Richtung der x-Achse angestromt wird, so gilt fur die Druckverteilung auf der Oberflache des Ellipsoids nach [28]:

Dabei liegt der Koordinatenursprung im Mittelpunkt des Ellipsoids. Die GroBe A hangt von den beiden Achsenverhaltnissen а/с und b/c ah ; sie ist nach [28] in Abb. 9.10 angegeben.

Den Sonderfall des axial angestromten Rotationsellipsoids erhalt man fur b = c. Hierfur ergibt sich aus Gl. (9.25):

(9.26)

Es bedeutet hierbei b/a = dR das Dickenverhaltnis des Rotationskorpers. Die Auswertung von Gl. (9.26) ist in Abb. 9.5 als exakte Losung ein – getragen. Das Druckminimum liegt bei x — 0 und hat den Wert cpmin = 1 — A2. Somit ergibt sich fur die groBte Gbergeschwindigkeit:

(9.27)

17 ScWichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

258	IX. Aerodynamik des Rumpfes	[Lit. S. 297
Dabei ist
mit		(9.27 a)
	«о – * 3 (artanh – 6% – |/l – й|). VI — or	(9.27b)
Der Zusammenhang zwischen und dR ist in Abb. 9.6 als exakte Losung fiir das Rotationsellipsoid eingetragen. Fiir kleine Werte von

dR ergibt sich aus den drei vorstehenden Gleichungen die bereits nach der Singularitatenmethode gefundene Beziehung (9.21).

9.223 EinfluB der Reibung. Bei den bisherigen Betrachtungen dieses Kapitels wurde durchweg das stromende Medium als reibungslos und inkompressibel angenommen. tlber den EinfluB der Kompressibilitat auf die aerodynamischen Eigenschaften eines Rumpfes wird in den folgenden Abschnitten dieses Kapitels noch berichtet werden. Hier mogen zunachst nur einige Angaben iiber den EinfluB der Reibung bei inkompressibler Stromung gemacht werden (EinfluB der Reynoldsschen Zahl). Beim axial angestromten Rotationskorper ist der EinfluB der Reibung auf die Druckverteilung bei einigermaBen groBen Reynolds – Zahlen (Re > 105) recht klein. Dies erkennt man z. B. aus Abb. 2.31, wo die reibungslos gerechnete Druckverteilung mit Messungen ver – glichen ist. Die geringe Abweichung zwischen der potentialtheoretischen und der in der Stromung mit Reibung vorhandenen Druckverteilung

bedingt den Druckwiderstand des Rotationskorpers. Zu diesem kommt der durch die Wandschubspannung verursachte Reibungswiderstand hinzu, vgl. Кар. 4.16.

Will man den EinfluB der Reibung bei der Umstromung von Rumpf- korpern bestimmen, so hat man fur diese Korper die Berechnung der Grenzschicht in ahnlicher Weise wie fur Tragfliigelprofile durchzufiihren. Wahrend beim Tragfliigelprofil die Grenzschichten zweidimensional sind, liegen bei den axial angestromten Rumpfkorpern mit Kreisquerschnitten rotationssymmetrische Grenzschichten vor. Die Berechnungsverfahren fur die letzteren sowohl bei laminarer als auch bei turbulenter Stromung sind denjenigen der ebenen Grenzschichten ahnlich, welche in Кар. 4.45 und 4.8 erlautert wurden. Die Berechnung der Grenzschicht fur einen vorgegebenen Korper Uefert die Verteilung der Grenzschichtdicken (Impulsverlustdicke und Verdrangungsdicke) und die eines Formpara – meters der Grenzschichtprofile langs der Kontur, die den Widerstand und die Lage des Ablosungspunktes bestimmen. Mit der Berechnung des Widerstandes von Rotationskorpern haben sich A. D. Young [50] und N. Scholz [39] eingehend befaBt. Dabei hat sich ergeben, daB der durch die Wandschubspannung hervorgerufene Widerstand von Rotations­korpern im allgemeinen gleich ist demjenigen der langsangestromten ebenen Platte gleicher Oberflache und gleicher auf die Rumpflange bezogener Reynoldsscher Zahl. Fur vollturbulente Stromung laBt sich der Rumpfwiderstand infolge Reibung WRr naherungsweise aus dem Plattenwiderstand WP nach folgender Formel ermitteln:

WRr=WP(l + cdR) (9.28)

mit c ^ 0,5. Dabei bedeutet WP den Widerstand der langsangestromten ebenen Platte, welche die gleiche Oberflache 0R und die gleiche Lange lR wie der Rotationskorper hat. Es ist also WP = cfORqwobei fur die glatte Oberflache der Beiwert cf aus Abb. 4.41 entnommen werden kann. Weitere Angaben liber Rumpfwiderstande findet man bei S. F. Hoerner

[15] .