Grundlagen der Rumpftheorie bei kompressibler Stromung

9.31 Geschwindigkeitspotential

In diesem Abschnitt soil das Problem der dreidimensionalen kom- pressiblen Stromung um rotationssymmetrische Rumpfkorper be – handelt werden. Man vergleiche hierzu die entsprechenden Ausfuhrungen fur den Tragfliigel endlicher Spannweite in Кар. 8.2.

Fur die dreidimensionale kompressible stationare Stromung mit den Geschwindigkeitskomponenten V, Wr und W$ im Zylinderkoordi – natensystem x, r, & nach Abb. 9.1 d lautet die Kontinuitatsgleichung:

ЩУ) , 1 8(erWr) 1_ d(QW») = 0 dx r dr r d&

Fxir das Geschwindigkeitsfeld kann ein Potential Ф(х, r, #) eingefiihrt werden durch die Gleichungen:

[37] ):

/і _ El і?® і (i _ Er ^ , (i _ K J_ ^ _ о ILEr 82ф

a2) dx2 a2) dr2 a2 / r2 d&2 a2 dx dr

о VW* * д2Ф 2WrW# 1 d20 / П±_ЭФ_ =

a2 r dxdft a2 r dr d& ^ ^ a2 ] r dr ’

Fiir das Umstromungsproblem eines Korpers, welcher sich in einer Parallelstromung mit der konstanten Geschwindigkeit befindet, gilt die folgende Beziehung zwischen der ortliehen Sehallgeschwindig – keit a und der Schallgeschwindigkeit der ungestorten Stromung, vgl. Gl. (8.33):

mit

Ma^ = —. (9.58)

(loo

Linearisierung. Fur schlanke Riimpfe, die unter einem kleinen Winkel zur Rumpfachse angestromt werden, ist die ortliche Geschwindigkeit nach GroBe und Richtung nur wenig von der Anstromungsgeschwindig – keit verschieden. Deshalb ist es zweckmaBig, in diesem Fall die Gesamtstromung in eine Grundstromung und eine iiberlagerte Storungs – bewegung aufzuteilen:

U^U^+u, Wr = wr, W& = w&, wo bei и, wr, die Storungsgeschwindigkeiten sind. Dabei gilt:

/^<U00, wr<t U^, UTO.

±i*+±«!± v ‘ dx2 ‘ dr2 ‘ r dr ^ r2 d&2

Unter Beibehaltung nur der groBten Glieder (Linearisierung) erhalt man aus Gl. (9.56):

Dabei bedeutet Ma = Ufa die ortliche Mach-Zahl. In Gl. (9.59) kann jetzt Ф(х, г,&) auch als das Potential der Storungsbewegung aufgefaBt werden. Mithin gilt:

Fur reine Unterschall – und reine Uberschallstromungen kann in Gl. (9.59) die ortliche Mach-Zahl Ma naherungsweise durch die Mach-Zahl Ma^ nach Gl. (9.58) ersetzt werden. Fur die transsonische Stromung (Ma ^ 1) erfordert jedoch das erste Glied in Gl. (9.59) besondere Aufmerksamkeit; man vergleiche hierzu die Ausfiihrungen in Кар. 8.21. Driickt man die ortliche Mach-Zahl Ma nach Gl. (8.38 a) durch die Mach-Zahl der An – stromung Ma^ aus, so erhalt man aus Gl. (9.59) die folgende verein – fachte Potentialgleichung in ZyUnderkoordinaten:

(1 – Mai

Diese Gleichung ist das Analogon zu Gl. (8.39); sie ist verwendbar fur Unterschall-, Schall – und Uberschallanstromung des Rumpfes.

Fur reine Unterschallstromung und reine Vberschallstrdmung er – halt man in Analogie zu Gl. (8.40) die folgende lineare Differential – gleichung fur das Potential Ф:

Fur Schallanstrdrnung wird in Analogie zu Gl. (8.41):

Im Gegensatz zu Gl. (9.62) ist diese Differentialgleichung fur das Poten­tial nichtlinear.

Die vorstehend hergeleiteten Potentialgleichungen (9.62) und (9.63) sollen im folgenden in analoger Weise wie beim Tragfliigel endlicher Spannweite in Кар. 8.22 und 8.23 dazu verwendet werden, Ahnlich – keitsregeln fur die Rumpftheorie bei Unterschall-, Uberschall – und transsonischer Stromung herzuleiten, welche der Prandtl-Glauert – Ackeretschen Regel bzw. der v. Karmanschen Regel der Tragfliigel – theorie entsprechen.