Rumpf bei unsymmetrischer Anstromung

9.231 Allgemeines. Wir betrachten jetzt die unsymmetrische rei – bungsfreie Stromung um einen angestellten Rumpf korper nach Abb. 9.11. Eine erste wichtige Feststellung hierzu ist, daB der angestellte Rumpf in reibungsloser Stromung keine resultierende Kraft, sondern nur ein Moment erfahrt. Dieses kommt dadurch zustande, daB wegen der Umstromung des Hecks an der Oberseite des Bugs und an der Unterseite des Hecks Unterdriicke und entsprechend an der Unterseite des Bugs und an der Oberseite des Hecks Gberdriicke vorhanden sind. Aus dieser 17*

Druckverteilung ergibt sich ein Moment MR, welches den Rumpfkorper quer zu stellen bestrebt ist (instabiles Moment). Fiir kleine Anstell – winkel ос ist dieses Moment proportional zum Anstellwinkel.

Abb. 9.11. Reibungslose Stromung um einen angestellten Rumpfkorper.

Durch das Zusammenwirken mit dem Fliigel wird die GroBe dieses instabilen Momentes erheblich geandert (vgl. hierzu Кар. X). Hier moge jedoch zunachst das Moment des Rumpfes allein behandelt werden, und zwar zuerst in reibungsloser Stromung und spater mit Beriicksichtigung der Reibung. Es sei bereits hier vermerkt, daB der EinfluB der Reibung auf die aerodynamischen Eigenschaften des Rumpfes betrachtlich ist. Das Moment in reibungsloser Stromung kann aus einer einfachen Impulsbetrachtung ermittelt werden. Die Berechnung der Druckverteilung auf der Rumpfoberflache erfordert potentialtheoretische Methoden, wobei in ahnlicher Weise wie beim axial angestromten Rumpf exakte Losungen und Naherungslosungen nach der Singularitatenmethode bekannt sind. Der ReibungseinfluB schlieBlich kann mit Hilfe der Grenzschichttheorie erfaBt werden.

9.2B2 Rumpfmoment nach der Impulsmethode von Munk. Fiir die Berechnung des Momentes schragangestromter Rumpfkorper hat M. Munk [32] schon friih – zeitig ein einfaches Verfahren angegeben, das auf der Anwendung des Impuls – satzes beruht (vgl. Кар. 2.6). Bei der Bewegung eines Korpers mit konstanter

Abb. 9.12. Eriauterungsskizze zur Berechnung des Luffckraffcmomentes eines angestellten Rumpf – korpers mit Hilfe des Impulssatzes nach Munk [32].

Geschwindigkeit in reibungsloser Fliissigkeit bleibt weit hinter dem Korper der Impuls ungeandert, und somit erfahrt der Korper keine resultierende Kraft. Dies schlieBt aber das Vorhandensein eines freien Kraftepaares (Momentes) am Korper nicht aus. Um dieses zu ermitteln, betrachten wir nach Abb. 9.12 einen Rumpf – korper, der sich mit der Geschwindigkeit U00 durch die ruhende Fliissigkeit bewegt, wobei die Bewegungsrichtung mit der Korperachse den Winkel oc bildet. Durch das Mitbewegen der Fliissigkeit in der Umgebung des Korpers entstehen die Impuls- komponenten Js in Richtung der Bewegung und Jn senkrecht dazu. In der Zeit dt bewege sich der Korper aus der Lage I in die Lage II, wobei der Weg da = U^dt zuriickgelegt wird. Bei der Fortbewegung muB der Impuls am Ort I geloscht und am Ort II neu gebildet werden. Hierbei entsteht das Impulsmoment (Drall) um die y-Achse:

dD = Jn ds. (9.29)

Dabei bringt die Impulskomponente J8 keinen Beitrag zum Moment. Die zeit – liche Anderung dieses Dralles ist gleich dem Moment:

= = = UooJn – (9-30)

Es ist Jn der sogenannte Kelvinsche Impuls der mitbewegten Fliissigkeitsmasse senkrecht zur Bewegungsrichtung. Fiir seine Ermittlung fiihrt man zweckmaBig die korperfesten Komponenten Jx und Jz ein. Es gilt

Jn = —Jx sin a + Jz cos a •

Fiir Jx und Jz hat man:

Jx = ^(cos (x Uoo) VX9 Jz = e(sin a Uco) Vz,

wobei Vx und Vz die mitbewegten Flussigkeitsvolumina bei Bewegung des Korpers in x – bzw. z-Richtung sind. Ihre genauen Werte konnen nur aus der vollstandigen Berechnung der Potentialstromung fiir den vorgelegten Korper ermittelt werden. Setzt man fiir Jn die zuletzt angegebenen Beziehungen in Gl. (9.30) ein, so erhalt man

MR = U%{VZ – F.) sin 2a. (9.31)

Es ist zweckmaBig, die Volumina der mitbewegten Fliissigkeitsmassen zum Korper – volumen VR ins Verhaltnis zu setzen durch

Vx = kxVR und Vz = kzVR. Somit wird schlieBlich aus fiir kleine Anstellwinkel a: 61. (9.31) mit dem Staudruck q<x> = te/2) Ulo und Dabei ist noch MR = 2kq00VR(x. (9.32) eingefiihrt worden. ** 1 II (9.33) Die Werte von к bestimmt M. Munk fiir Rotationsellipsoide aus exakten Losungen von H. Lamb [24]. Fiir dreiachsige Ellipsoide sind die Werte von к von A. F. Zahm [51] angegeben und von F. Vandrey [46] dargestellt worden. In

Abb. 9.13 sind fiir dreiachsige Ellipsoide, deren Volumen VR = (4/3) nabc ist, die Beiwerte к in Abhangigkeit von den beiden Achsenverhaltnissen cja und b/c an – gegeben. Man entnimmt aus Abb. 9.13, daB fiir schlanke Rotationsellipsoide (b — c nnd cja < 0,2) der Beiwert к nur wenig von Eins yerschieden ist. Damit

c_ CL Abb. 9.13. Beiwert к zur Berechnung des Momentes eines angestellten dreiachsigen Ellipsoides nach Gl. (9.32), nach [46].

ergibt sich fiir das Moment von schlanken Rotationskorpem aus Gl. (9.32) die einfache Naherungsformel:

MR = 2qooVR<x. (9.34)

Es ist bemerkenswert, daB das instabile Luftkraftmoment von angestellten schlan­ken rotationssymmetrischen Rumpfkorpem proportional ist zum Anstellwinkel a und zum Rumpfvolumen VR nach Gl. (9.1).

9.233 Druckverteilung nach der Methode der Dipolbelegung. Das

Stromungsfeld eines angestellten Rotationskorpers kann nach der Singu – laritatenmethode berechnet werden. Dabei wird im einfachsten Fall auf der Achse des Korpers eine raumbche Dipolbelegung nach Abb. 9.14 angeordnet.[38] Die Achsen der Dipole sind parallel zur z-Achse. Sei m(x) die Dipolstarke, so ist das Potential der Dipolverteilung:

Man vergleiche hierzu die Ausfiihrungen iiber die Stromungen um die Kugel in Кар. 2.35.11. Fiir schlanke Rotationskorper werden die Werte
des Potentials nur fur kleine Abstande r von der Achse benotigt. Die Entwicklung von Ф (x, r, &) fiir kleine r liefert:

= (9.36)i

2 л r

Aus Gl. (9.36) ergeben sich die Geschwindigkeitskomponenten in axialer, radialer und Umfangsrichtung fiir kleine r zu:

1 cos # 2n r*

дФ 1 cos# dm(x) dx 2 nr dx ’

Die Dipolstarke ist aus der kinematischen Stromungsbedingung zu bestimmen, welche erfordert, daB auf der Rumpfoberflache die resul – tierende Normalgeschwindigkeit verschwindet. Legen wir hierbei in Verallgemeinerung von Abb. 9.14 sogleich einen Rumpf mit gewolbter

Skelettlinie nach Abb. 9.15 zugrunde, so lautet die kinematische Stro­mungsbedingung[39] [40] :

tx(x) Uqq cosi? + wr(x) = 0 fiir r = R. (9.38)

Hierin bedeutet oc(x) den ortlichen Anstellwinkel der Skelettlinie gegen die Anstromrichtung von U^. Dieser ist

«(*) = «- (9.39)

ax

Abb. 9.15. Eriauterungsskizze zur Theorie des gewolbten, angestellten Rumpfes.

wobei a der Anstellwinkel der Rumpfachse und zR(x) die Skelettlinie des Rumpfes ist. Fuhrt man wr nach Gl. (9.37 b) in Gl. (9.38) ein, so erhalt man fur die Dipolverteilung:

m(x) — 2nU00 a(x)R2(x) =2U00<x(x)FR(x). (9.40)

Dabei bedeutet FR(x) die Querschnittsflache des Rumpfes. Fuhrt man Gl. (9.40) in (9.37 a) ein, so ergibt sich fur die axiale Geschwindigkeits – komponente auf der Rumpfoberflache:

u(x, ft) cos# d г M шмп /Л лч

Druckyerteilung. Die durch die Anstellung des Rumpfes verursachte Druckverteilung auf der Rumpfoberflache ergibt sich nach Gl. (9.15) in erster Naherung zu cp(x,&) = —2и(х, Щиоо, Nach Einsetzen von Gl. (9.41) erhalt man:

cp(*, #) = – 2 ^ ~ [*(*)R2(X)]. (9.42)

Fiir langs der Rumpfachse konstanten Anstellwinkel vereinfacht sich dies zu:

Cp = —4a cos #. (9.43)

doc

Als Beispiel sind in Abb. 9.16 die Druckverteilungen angestellter Rota – tionsellipsoide vom Dickenverhaltnis dR = dRmax/lR = 0,1 und 0,2

dargestellt. Es ergibt sich fur die Druckverteilung durch Einfuhren von Gl. (9.19) in Gl. (9.43) die Beziehung:

і ___ о x

ft-=-2* cos# A – (9.43a)

VX(1 – X)

Auftriebsverteilung. Aus der Druckverteilung erhalt man durch Inte­gration die Auftriebsverteilung. Ein Rumpf stuck der Lange dx hat die Auftriebskraft dARi und es gilt:

2 n

dAR = —■q00E{x)dx j cpcos#d$. (9.44)

о

Unter Beachtung von Gl. (9.42) ergibt sich nach Ausfiihrung der Inte­gration iiber & fur die Auftriebsverteilung:

Fur konstanten Anstellwinkel ist:

dAR dm

Diese Beziehung wurde von H. Multhopp [31] auch aus einer Impuls – betrachtung hergeleitet.

Aus Gl. (9.46) erkennt man sofort, daB die gesamte Auftriebskraft verschwindet, denn es gilt

Ir

Ar= j<^dx = Znq^x [RHxtf* = 0, (9.46a)

0

wenn am Bug und am Heck des Rumpfes R (x) = 0 ist.

Nickmoment. Fur das Nickmoment des Rumpfes bei konstantem Anstellwinkel erhalt man aus Gl. (9.46):

Ir Ir

MR = — xdx = 2nqOQoc JR2(x)dx. (9.47)

Unter Beachtung von Gl. (9.1) wird das Moment:

MR = 2qQOVR(x,

wobei VR das Volumen des Rumpfes ist. Hiermit ist die Munksche Naherungsformel fur das Moment schlanker Rotationskorper, Gl. (9.34),

Abb. 9.17.

Auftriebsverteilung eines Rota-
tionseUipsoides vom Dicken-
verMltnis 6R = 1/7.

1 N&herungs theorie nach Gl. (9.49);

2 Exakte Theorie (reibungslos);

3 Theorie mit Reibung nach [13];

Messungen aus [13].

auch aus der Singularitatenmethode erhalten worden. Wegen AR = 0 ist das Rumpfmoment von der Lage des Bezugspunktes unabhangig. Es ist also ein sogenanntes „freies Moment

Als Beispiel ist in Abb. 9.17 die aus [13] entnommene Auftriebs­verteilung eines angestellten Rotationsellipsoides vom Dickenverhaltnis

dR — nach Theorie und Messung angegeben. Die theoretische Auf- triebsverteilung ergibt sich aus Gl. (9.46) mit (9.19) zu:

^ = 2*^*4^ (1-2X). (9.49)

Die hiernach berechnete Naherung ist in Abb. 9.17 als ausgezogene Gerade 1 eingetragen. Die Messungen stimmen im vorderen Teil des Rumpfes mit der Theorie gut uberein, wahrend sich im hinteren Teil einige Abweichungen ergeben. Man vergleiche hierzu Кар. 9.235.

Rumpfe mit nichtkreisfdrmigem Querschnitt: Die vorstehenden Be – trachtungen gelten fur Rotationskorper. Um auch fur Korper mit nichtkreisformigen Querschnitten bei konstantem Anstellwinkel das Moment zu erhalten, kann man sich uberlegen, daB im wesenthchen nur die Rumpfbreitenverteilung bR(x) fur das durch die Anstellung hervorgerufene Moment maBgebend ist. Man kann deshalb Gl. (9.47) auch fur Rumpfe mit nichtkreisformigem Querschnitt ubernehmen, wenn man 6д/2 an Stelle von R setzt und iiberdies einen Korrektur – faktor k* einfuhrt, also setzt:

MR = 2k*qooV%oc. (9.50)

Dabei ist VR das Volumen des Rotationskorpers, welcher die Rumpf – breite als Durchmesser hat, also

n = ^ fbl(x)dx. (9.51)

0

Der Korrekturfaktor kann durch Vergleich von Gl. (9.50) mit der exakten Gleichung (9.32) fur dreiachsige Ellipsoide erhalten werden. Wegen VR = (blc)VR ergibt sich k* = kc/b, wobei к in Abb. 9.13 an­gegeben ist. Die hiernach berechneten Werte von к* sind in Abb. 9.18 in Abhangigkeit vom Rumpfbreitenverhaltnis dR = bRm&x/lR und vom Rumpfquerschnittsverhaltnis XR = hRm&xlbRm&x dargestellt, vgl. Abb. 9.1. Hieraus ergibt sich, daB fur schlanke Rumpfe fur alle ge – brauchlichen Rumpfquerschnittsverhaltnisse XR der Faktor к* nahezu gleich Eins ist. Die vorstehende Betrachtung hat also gezeigt, daB bei der Berechnung des Momentes fur schlanke Rumpfe von nichtkreis­fdrmigem Querschnitt mit guter Naherung in Gl. (9.47) der Radius R durch die halbe Rumpfbreite bRl2 ersetzt werden kann.

Um auch fur den Rumpf mit veranderlichem Anstellwinkel <x(x) das Moment zu erhalten, setzen wir in Gl. (9.45) an Stelle von R die halbe Breite bRl2 ein. Damit ergibt sich durch Integration uber die Rumpf-

lange fiir das Nickmoment nach Gl. (9.47):

Ir

Mr = j qxj <x(x) b{x) dx. (9.52)

0

Diese Gleichung findet Anwendung fiir den Rumpf mit gekriimmter Skelettlinie nach Gl. (9.39) sowie fur den Rumpf in gekriimmter Stro-

Abb. 9.18. Beiwert k* zur Berechnung des Momentes eines angestellten Bumpfes mit nichtkreisformi – gem Querschnitt, nach Gl. (9.50).

mung, wie er bei Drehbewegungen um die Querachse, vgl. Gl. (7.190), vorliegt. Weiterhin ist diese Beziehung von Bedeutung fiir die Berechnung des Rumpfmomentes, wenn der Rumpf mit einem Fliigel kombiniert wird (vgl. Кар. X).

Die vorstehenden Betrachtungen iiber die Auftriebsverteilung und das Moment liefern fiir den schiebenden Rumpf sinngemaB auch die Seitenkraftverteilung und das Schiebegiermoment.

9.234 Exakte Losungen. Es mogen jetzt noch einige Angaben iiber exakte Losungen fiir angestellte RotationselUpsoide gemacht werden. Nach K. Maruhn [28] gilt fiir die Druckverteilung des angestellten Rotationsellipsoides bei kleinem Anstellwinkel oc:

Hierin bedeutet bja = dR das Rumpfdickenverhaltnis. Fur die GroBe C gilt:

2 + ^0

mit oc0 nach Gl. (9.27b). Mit A nach Gl. (9.27a) ist:

In Abb. 9.16 ist die vom Anstellwinkel abhangige Druckverteilung nach dieser exakten Losung fur dR = 0,2 dargestellt. In der Nahe von Bug und Heck gibt die exakte Losung etwas kleinere Werte fiir den Druck – beiwert als die Naherungslosung von Кар. 9.233. Dies ist gleichbedeutend damit, daB der Korrekturfaktor 1c* fiir das Moment in Gl. (9.50) etwas kleiner als Eins ist. Auch in Abb. 9.17 ist die exakte Losung fiir die Auf- triebsverteilung mit eingetragen, (Kurve 2). In der Nahe von Bug und Heck ist die exakte Losung von der Naherungslosung etwas verschieden. In der Nahe der Nase stimmen die Messungen mit der exakten Losung sehr gut uberein, wahrend in der Nahe des Hecks groBere Abweichungen verbleiben. Diese sind auf den EinfluB der Reibung zuruckzufiihren, der im nachsten Abschnitt behandelt wird.

Die Werte fiir das Moment nach der exakten Losung wurden bereits in Кар. 9.232 angegeben. Nach Gl. (9.50) ergibt sich fiir den theoreti- schen Momentenbeiwert cMR = MRjqVR:

cmr — 21c* oc. (9.54)

In Abb. 9.3 ist dieser theoretische Wert mit 1c* — 0,95 mit einer Mes – sung verglichen. Der Momentenanstieg dcMRjd(x ist nach der Theorie betrachtlich groBer als nach der Messung. Dieser Unterschied ist auf den EinfluB der Reibung zuruckzufiihren. DaB der Auftrieb nach der Messung von Null verschieden ist, wie Abb. 9.3 zeigt, riihrt ebenfalls von der Reibung her.

9.235 EinfluB der Reibung. Bei dem angestellten Rumpf nach Abb. 9.11 wirkt sich der EinfluB der Reibung qualitativ so aus, daB wegen der Abdrangung der AuBenstromung durch die Grenzschicht am Heck die Driicke abgebaut werden. Infolgedessen ist der negative Auftrieb des Heckteiles etwas kleiner als der positive Auftrieb des Bugteiles. Im ganzen ergibt sich somit durch den ReibungseinfluB ein positiver Auftrieb, den man auch als Reibungsauftrieb bezeichnet. Dieser Sachverhalt ist auch aus Abb. 9.17 fur die Auftriebsverteilung zu ersehen. Der Reibungsauftrieb bewirkt eine Anderung des Momentes, und zwar, bezogen auf die Querachse durch die Rumpfmitte, ein zusatz- liches kopflastiges Moment.

Einen Weg zur naherungsweisen Berechnung dieses Reibungseinflusses mit Hilfe der Grenzschichttheorie hat X. Hafer [13] angegeben. Man ermittelt den Verlauf der Grenzschichtverdrangungsdicke langs der Rumpfoberflache bei axialer Anstromung. Dabei ergibt sich in der Nahe des Hecks ein ziemlich starkes Anwachsen der Grenzschichtdicke, wie es in Abb. 9.19 angegeben ist. Dies wirkt sich auf die Druckverteilung so

b*——————————— lR

Abb. 9.19. Erlauterungsskizze zum ReibungseinfluB auf die Umstromung yon Rumpfkorpern.
<5X (x) = Verdrangungsdicke der Grenzschicht.

aus, daB in Gl. (9.42) an Stelle des orthchen Rumpfradius R(x) der um die Verdrangungsdicke <5X(#) vergroBerte Radius [R(x) – f йі(ж)] zu setzen ist. Aus dieser reibungskorrigierten Druckverteilung ermittelt man durch Integration iiber den Umfang die Auftriebsverteilung. In Abb. 9.17 ist die so nach [13] berechnete Auftriebsverteilung mit ein-

getragen. Durch die Reibungskorrektur wird besonders in der Nahe des Hecks eine bessere Gbereinstimmung mit der Messung erzielt.

Aus der Auftriebsverteilung erhalt man durch weitere Integrationen den Auftrieb, das Nickmoment sowie die Neutralpunktlage. In Abb. 9.20 ist fur mehrere rotationssymmetrisehe Riimpfe, die in [43] vermessen wurden, der Auftriebsanstieg dcARjdot, der Momentenanstieg dcMRld(x

und die Neutralpunktlage xNRjlR fiber dem reziproken Rumpfdicken – verhaltnis ^/4max aufgetragen. Die Kurven I gelten fur die Theorie ohne Reibung, die Kurven II fur die Theorie mit Reibung nach X. Hafer [13]. Die Theorie mit Berucksichtigung der Reibung stimmt recht gut mit den Messungen uberein.