Rumpf bei axialer Anstromung

9.521 Druckverteilung. Der rotationssymmetrische Rumpf bei axialer Anstromung mit Gberschallgeschwindigkeit laBt sich nach Th. v. Kar – man und N. B. Moore [18] mit Hilfe einer Quell-Senkenbelegung auf der Rumpfachse in ahnlicher Weise behandeln, wie es in Кар. 9.22 fur die inkompressible Stromung erlautert wurde. Die Dbertragung der Quell- Senkenmethode von der inkompressiblen auf die Gberschallstromung
wurde in Кар. 8.415 fur den Tragfltigel ausfiihrlich dargelegt und kann hier fur den Rumpf entsprechend ubernommen werden.

Fur eine auf der я-Achse angeordnete linienformige Verteilung von raumlichen Quellen q(x) lautet das Potential Ф(х, г) der induzierten Stromung nach Gl. (9.7), vgl. auch Gl. (8.102):

Xo

1 Г Q(x’) dx’

J V(x – x’f – (Ma^ – 1 )r2

о

Dabei bedeutet x0 die EinfluBstrecke nach Gl. (9.87). Die Geschwindig- keitskomponenten im ganzen Raum erhalt man in bekannter Weise zu:

Bei der Ausfiihrung dieser Differentiationen ist zu beachten, daB im Gegensatz zu Gl. (9.7) in Gl. (9.88) die obere Grenze des Integrals noch von x und r abhangig ist, und daB bei x = ж0, das ist auf dem Mach – Kegel, der Nenner des Integranden verschwindet; man vergleiche hierzu die Bemerkung von Кар. 8.415.

HR*) dx

Fiir die Bestimmung des Zusammenhanges zwischen der Quell- verteilung q(x) und der Rumpfkontur R(x) kann man die gleichen Gberlegungen durchfiihren wie bei inkompressibler Strdmung. Dies fiihrt nach Gl. (9.10) zu:

wobei C/qo die Anstromungsgeschwindigkeit und FR(x) = nR2(x) den orthchen Rumpfquerschnitt bedeutet.

Fur die Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung auf der Rumpf – oberflache benotigt man die Werte der induzierten Geschwindigkeiten fiir kleine radiale Abstande r; man vergleiche hierzu die Gin. (9.11a) und (9.11b). Man erhalt aus Gl. (9.88) und (9.89):

u(x, r -> 0) =

(9.91b)

1 d(R*) є dx

Da nach der kinematischen Stromungsbedingung fur r = R die radiale Geschwindigkeitskomponente wT = XJdR/dx zu setzen ist, folgt aus Gl. (9.91b) ebenfalls Gl. (9.90). Fuhrt man Gl. (9.90) in Gl. (9.91a) und Gl. (9.91b) ein, so erhalt man die induzierten Geschwindigkeitskompo – nenten in der endgiiltigen Form:

(9.92)

wT(x) dR(x)

XJ oo d x

Fur die Ermittlung der Druckverteilung aus den induzierten Geschwindigkeiten haben die Formeln der inkompressiblen Stromung, namlich die Gleichungen (9.15) fur die erste Naherung und (9.16) fur die zweite Naherung, hier unverandert Gultigkeit.[43] Unter Beachtung der Gin. (9.92) und (9.93) ergibt sich damit fur axial angestromte Riimpfe bei Uberschallgeschwindigkeit in Analogie zu Gl. (9.17) die folgende Abhangigkeit der Druckverteilung vom Rumpfdickenverhaltnis dR und von der Mach-Zahl:

cp(x) = [/іИ + 01 (я) In (<5я ІMat ~ 0] 6%. (9.94)

Dabei sind die Funktionen fx{x) und gx(x) zwar von der Rumpfgeometrie, aber nicht vom Dickenverhaltnis des Rumpfes abhangig. Diese Glei – chung ist analog zu Gl. (9.82) fur die Untetschallstromung. Wahrend die Funktionen fx(x) und f(x) fur Uberschall – bzw. Unterschallgeschwin – digkeit verschieden sind, stimmen die Funktionen gx(x) und g(x) iiberein. Es ist somit nach Gl. (9.18):

Die Gl. (9.94) fur die Druckverteilung laBt sich noch in der folgenden Form schreiben:

Cp = (Cp)Ma. VI – – In І Mai – 1 • (9.96)

00 л dx

Diese Gleichung ist analog zu Gl. (9.83) fur Unterschallgeschwindigkeit.

Aus Gl. (9.96) ist zu ersehen, daB fur Uberschallgeschwindigkeit der KompressibilitatseinfluB auf die Druckverteilung durch ein additives

Glied gegeben wird, welches zu der Druckverteilung bei Ma^ — ^2 hin – zukommt. Dies bestatigt die Ahnlichkeitsregel in Кар. 9.32, wonach man die Berechnung der Dberschallstromung fur eine beliebige Mach – Zahl zuriickfiihren kann auf die Berechnung fur Ma^ = ]/2.

Beispiele. Rotationsparaboloid: Das vorstehende Berechnungsver – fahren fur die Druckverteilung an axial angestromten Rumpfkorpern bei Dberschallgeschwindigkeit moge jetzt an einigen Beispielen erlautert werden. In Abb. 9.27 ist fur das Rotationsparaboloid nach Gl. (9.22)

Abb. 9.27. Druckverteilung an cinein
axial angestrbmten Itotationspara-
boloicl mifc dem Dickenvcrhaltnis
dR = 0,1 bei Maoo = ^2 und
Ma oo = 0.

Kurve 1: Singularitatenmethode:

zweite NSherung nach Gl. (9.94) und (9.97);

Kurve 2: Charakteristikenverfahren nach [38].

vom Dickenverhaltnis dR = 0,1 der Druckbeiwert fur Ma^ = }f 2 dar – gestellt (zweite Naherung). In diesem Fall ergeben sich die in Gl. (9.94) auftretenden Funktionen /x und gx mit X = x/lR zu:

fx(X) = —4(22X2 — 16X + l)-8(6X2-6X + l)ln(l-X), 9i(X) — —8(6X2 — 6X + !)•

Zum Vergleich ist auch die Druckverteilung nach dem linearen Cha­rakteristikenverfahren von R. Sauer und C. Heinz [38] eingetragen. Die Gbereinstimmung der beiden Rechenverfahren ist fur dieses Bei – spiel sehr gut. Ferner ist in Abb. 9.27 auch die Druckverteilung fiir inkompressible Stromung (Ma^ — 0) nach Abb. 9.5 mit eingetragen.

Bemerkenswert ist, daB bei der Oberschallstromung das Druckminimum hinter der Mitte liegt, obgleich der Korper zu X = 0,5 symmetrisch ist. Ferner sei darauf hingewiesen, daB im rotationssymmetrischen Fall die Druckverteilung bei gleicher Form des Querschnittes des umstromten Korpers einen vollig anderen Charakter hat als im ebenen Fall, wie man durch Vergleich mit Abb. 8.14a erkennt.

Kegel: Fur den Kreiskegel mit dem halben Offnungswinkel coQ nach Abb. 9.28 ist R = x tanco0. Damit ergibt sich fur die Quellverteilung aus

Abb. 9.28. Druckbeiwerte von axial ange – stromten Kreiskegeln in AbMngigkeit vom Offnungswinkel co0 ftir Maoo = ]/ 2. Kurve 1: exakt nach [22];

Kurve 2: N&herung, Gl. (9.100); Kurve 3: Newtonsche Nftherung,

Gl. (9.100 a).

Gl. (9.90): q(x) = 2nU(X)xtanco0. Fiir das Potential findet man hiennit aus Gl. (9.88):

Ф(х, r) = U^x ІІ – In 2x – tan2caQ. (9.98)

r – 1 /

Fur die axiale Geschwindigkeitskomponente erhalt man hieraus:

= tan2w„ In Г ^M^°° ~ 1. (9.99)

U oo

Fur die Druckverteilung nach der zweiten Naherung nach Gl. (9.16) wird mit r = R = x tanco0:

Cp = tan2o)0 [2 In 2 – 1 – 2 In (^Ma’i – 1 tan<o0)]. (9.100)

Die Druckverteilung ist langs des Kegelmantels konstant. In Abb. 9.28 ist fiir Maoo = ]/ 2 der hiernach berechnete Druckbeiwert in Abhangig – keit vom halben Offnungswinkel co0 des Kegels aufgetragen. Zum Ver-
gleich sind auch die Druckbeiwerte nach der exakten Losung von Z. Kopal [22] eingetragen. Fur kleine Werte des Offnungswinkels co0 stimmt die Naherungslosung sehr gut mit der exakten Losung uberein, wahrend fur groBere Werte von co0 die Naherungstheorie etwas kleinere Werte ergibt als die exakte Losung.

In Abb. 9.29 ist der Druckbeiwert von axial angestromten Kreis – kegeln mit den halben Offnungswinkeln co0 = 5° und 7,5° in Abhangig-

Abb. 9.29. Druckbeiwerte von axial angestromten Kreiskegeln bei tlberschallgeschwindigkeit. Offnungswinkel co0 = 5° und 7,5°. Kurve 1: exakt nach [22];

Kurve 2: nach NAherung, Gl. (9.100);

Kurve 3: Umrechnung nach der Prandtl-Glauert-Ackeret-Regel,

ausgehend von M«оо = І 2 unter Verwendung von Abb. 9.28.

keit von der Mach-Zahl Ma^ dargestellt. Die ausgezogenen Kurven stellen die exakte Losung nach [22] dar. Die gestrichelten Kurven er – geben sich nach dem Singularitatenverfahren (Naherungslosung), Gl. (9.100). Mit wachsender Mach-Zahl wird die Abweichung der Nahe­rungslosung von der exakten Losung groBer. AuBerdem ist noch die – jenige Naherungslosung eingetragen (strichpunktiert), die sich durch An – wendung der Prandtl-Glauert-Ackeretschen Regel nach Кар. 9.32 ergibt, wenn man hierbei die exakten Werte fur Ma= У 2 nach Abb. 9.28 zugrunde legt. Es ist bemerkenswert, daB die so konstruierte Naherungslosung der exakten Losung sehr nahe kommt und insbesondere auch die Abhangigkeit des Druckbeiwertes von der Mach-Zahl gut wiedergibt. Man vgl. hierzu [44]. Untersuchungen liber den EinfluB einer Abrundung der Kegelnase wurden von H. Koster [21a] durchgefuhrt.

AbschlieBend moge noch die Newtonsche Naherung angegeben werden; sie lautet nach Gl. (3.195):

cp = 2sin2co0. (9.100 a)

Dieses Ergebnis ist in Abb. 9.28 als Kurve 3 eingetragen.

9.522 Wellenwiderstand. Bei einem rotationssymmetrischen Rumpf – korper, der mit Oberschallgeschwindigkeit axial angestromt wird, ergibt sich ebenso wie beim Tragfliigel aus der Druckverteilung uber die ge – samte Oberflache eine von Null verschiedene Kraft in Stromungs – richtung. Wir nennen sie ebenso wie beim Tragfliigel den Wellenwider­stand. Dieser Widerstand wird verursacht durch die vom Korper aus- gehenden Machschen Wellen. Die Berechnung dieses Wellenwiderstandes kann entweder mit Hilfe des Impulssatzes oder durch unmittelbare Integration der Druckverteilung uber die Oberflache ausgefiihrt werden. Im folgenden soli nur das letztere Berechnungsverfahren beschrieben werden.

Aus der Integration der Druckverteilung liber die Oberflache (Kom – ponente der Druckkraft in #-Richtung) ergibt sich fur den Wellen­widerstand des axial angestromten Rotationskorpers:

Ir, Ir

Ws = 2ng00J cpR^£dx = qaoJ cp^dx. (9.101)» 0 0

Um die Abhangigkeit des Wellenwiderstandes von der Mach-Zahl zu erkennen, fiihren wir in Gl. (9.101) fur cp die Gl. (9.96) ein. Dabei ergibt sich nach Ausfiihrung einer partiellen Integration

Wegen dFRldx = 2jzRdRIdx erkennt man aus Gl. (9.102), daB der Wellenwiderstand von der Mach-Zahl unabhangig und gleich dem Wert bei Maoo = ]/2 ist, wenn am Heck der Rumpfradius gleich Null ist, oder wenn dort dRjdx = 0 ist.

Es ist zweckmaBig, noch den auf die Stirnflache FRmSLX bezogenen Beiwert des Wellenwiderstandes einzufuhren:

Fur die Falle H(lR) = 0 oder dRjdx = 0 bei x = lR ergibt sich fur den Beiwert des Wellenwiderstandes von Riimpfen aus den Gin. (9.102) [44]

und (9.103) unter Beachtung von Gl. (9.94):

cwr — {cwr)mci^=}2 = Zahl • 6R. (9.104)

Dabei hangt die „Zahl“ zwar von der Geometrie des Rumpf korpers, aber nicht vom Dickenverhaltnis ab. Hiernach ist also der auf die Stirn – flache bezogene Beiwert des Wellenwiderstandes proportional zu d^.1

Beispiele. Paraboloide: Die Auswertung der vorstehenden Formeln fur das Paraboloid nach Gl. (9.22) ergibt, wenn man cv(x) nach Gl. (9.94) in Verbindung mit Gl. (9.97) einsetzt:

oo

cWR = — d% = 10,67 (5| (Paraboloid). (9.105)

3

Die Beiwerte des Wellenwiderstandes von abgeschnittenen Paraboloiden nach F. Wegener und F. Kowalke [49] sind in Abb. 9.30 angegeben.

Fur das in der Mitte abgeschnittene Paraboloid (lRllRo = t) ist:

cwr = v = 4,67 (Parabelspitze). (9.106)

t)

1 In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dafi fur Tragfliigel endlicher Dicke der auf die GrundriBflache bezogene Beiwert des Wellenwiderstandes eben – falls proportional zum Quadrat des Dickenverhaltnisses ist (Кар. 8.131).

19 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

In diesem Widerstandsbeiwert ist der Beitrag aus dem Unterdruck auf der abgeschnittenen Heckflache (sog. „base pressure") nicht ent – halten.

In Abb. 9.31 sind die nach der Methode der Quellbelegung ermittelten Widerstandsbeiwerte verglichen mit denjenigen nach dem Charakte-

Abb. 9.31. Beiwerte des Wellenwiderstandes fur Rotationsparaboloide vom Dickenverhaltnis дЕ = 0Д und 0,2. Yergleich der Singularitatenmethode 1, nach Gl. (9.105), mit dem Charakteristikenverfahren 2 nach [38].

ristikenverfahren [38], und zwar fur die Paraboloide mit den Dicken- verhaltnissen <5Л = 0,1 und 0,2. Wahrend bei dR = 0,1 die Abweichungen der Beiwerte nach diesen beiden Methoden sehr gering sind, sind sie bei 6R — 0,2 nicht mehr vernachlassigbar.

Kegel: Fur die axial angestromte Kegelspitze ist nach Abb. 9.29 der Druckbeiwert langs der Erzeugenden konstant. Deshalb ist der auf die

Stirnflache bezogene Widerstandsbeiwert gleich dem Druckbeiwert, also

cwr = cp (9.107)

mit cp nach Gl. (9.100).

Quadraturformel. Fur den allgemeinen spitzen Rotationskorper erhalt man eine Formel fiir den Wellenwiderstand, welche seine Abhangigkeit von der Geometrie des Korpers zum Ausdruck bringt, wenn man in Gl. (9.101) den Ausdruck fiir cp(x) nach Gl. (9.94) einsetzt. Nach Th. v. Karman [18] und G. N. Ward [48] ergibt sich, man vergleiche die Herleitung in [4] und [41]:

f Ir

Wr = І ^І fF* ln i1 ~i)dx~

[ 0

Ir Ir

~jf /Fr (*’) Щ (*) In dx’ dx –

0 0

– I [Fit (h)f In (^ plai – l)|. (9.108)

Hierbei bedeutet F’R = dFR/dx und FR — d2FRldx2 mit FR(x) als Rumpfquerschnittsflache. Nach dieser Formel kann man bei vor- gegebener Korperform den Wellenwiderstand durch verhaltnismaBig einfache Quadraturen ermitteln.

Messungen. AbschlieBend seien noch einige MeBergebnisse iiber den Wellenwiderstand von Rotationskorpern angegeben. Die Auswertung von Widerstandsmessungen im Hinblick auf die Ermittlung des Wellen – widerstandes ist mit einer erheblichen Unsicherheit behaftet, da in den gemessenen Gesamtwiderstanden auBer dem Wellenwiderstand noch der Reibungswiderstand und bei abgeschnittenem Heck auch noch der Heckwiderstand enthalten ist. Messungen, bei denen diese drei Wider – standsteile gesondert ermittelt wurden, stammen von D. R. Chapman und E. W. Perkins [6] sowie von A. J. Evans [8]. In Abb. 9.32 sind die MeBergebnisse von [8] fiir ein abgeschnittenes Paraboloid angegeben, wobei die Widerstandsbeiwerte in Abhangigkeit von der Mach-Zahl auf – getragen sind. Der Vergleich dieser Messungen mit der Theorie wurde so ausgefiihrt, daB zu dem gemessenen Heckwiderstand der theoretische Reibungswiderstand nach Abb. 4.43 und der Wellenwiderstand nach Abb. 9.30 hinzugeschlagen wurde. Die Dbereinstimmung der so er – rechneten Widerstandsbeiwerte mit der Messung ist recht gut. Doch sei vermerkt, daB in anderen Fallen groBere Abweichungen zwischen Mes­sung und Theorie auftreten. Weitere MeBergebnisse sind in Abb. 9.33
angegeben, namlich die Beiwerte des Druckwiderstandes cWR von vier schlanken Riimpfen bei axialer Anstromung in Abhangigkeit von der Mach-Zahl MaIn diesen Widerstandsbeiwerten ist der Heckwider-

stand nicht enthalten. Rumpf I ist der Rumpf mit minimalem Wellen – widerstand bei vorgegebenem Volumen und vorgegebener Lange nach W. Haack [12] und W. R. Sears [40]. Rumpf II ist ein Rotations – paraboloid. Rumpf III und IV haben ein zylindrisches Heckteil. Fur die Rumpfe II und III sind die theoretischen Werte nach Gl. (9.108) mit angegeben.

Eine andere optimale Rumpfform mit spitzer Nase und stumpfem Heck wurde von Th. v. Karman [19 a] angegeben. Eine Zusammen- stellung von weiteren MeBergebnissen und Vergleiche mit der Theorie findet man bei D. Fiecke [9].

Einen tieferen Einblick in die Stromung um einen mit tjberschall – geschwindigkeit axial angestromten Rumpfkorper erhalt man aus der

Abb. 9.33. Widerstandsbeiwerte (Druckwiderstand ohne Heckwiderstand) von schlanken Rumpfen in Abh&ngigkeit von der Mach-Zahl Ma, oo nach Messungen von [3]. (Rumpfkontur uberhoht gezeichnet.) I: Optimal-Rumpf nach Haack-Sears, йдтахДд = 0,086; II: Rotationsparaboloid йдтах/^д == 0,091; III: Zylinderrumpf йдтахДд = 0,08; IV: Zylinderrumpf mit Einschnurung dnmax/lR = 0,08.

Stromungsaufnahme in Abb. 9.34. Diese Abbildung zeigt besonders deutlich die Kopf – und Heckwelle bei einer Mach-Zahl von Ma^ = 3,5.

Fur die transsonische Stromung um Rotationskorper liegen bisher noch keine voll befriedigenden Losungen vor. Es sei jedoch in diesem Zusammenhang auf die umfangreichen Untersuchungen von F. Keune und K. Oswatitsch [21] hingewiesen.