Category Aerodynamik des Flugzeuges

Um die Gleichung fiir die Berechnung der Zirkulationsverteilung aufzustellen, muB zunachst die Bedingung dafiir angegeben werden, daB die mit Wirbeln belegte tragende Flache eine Stromflache ist,
d. h., daB auf ihr die Normalkomponente der resultierenden Geschwindig – keit gleich Null ist. Dieses ist die sogenannte kinematische Stromungs – bedingung. In Abb. 7.14 ist ein Flugelschnitt у der tragenden Flache

I z

(Skelettflache) z^(x, y) dargestellt. Dieser wird mit der Geschwindig – keit Uoq angestromt, die mit der Sehne den geometrischen Anstell – winkel ocg(y) = <xF + e(y) bildet. Es ist <xF der Anstellwinkel, gemessen gegen die #-Achse, und e(y) der Verwindungswinkel. Bedeutet w(x, y) die in einem Punkt der x, y-Ebene vom gesamten Wirbelsystem in – duzierte Geschwindigkeit in z-Richtung (w > 0 in Richtung der posi – tiven z-Achse), dann lautet die kinematische Stromungsbedingung in Analogie zu Gl. (6.62):

(7.37)

Hierbei stellt die eckige Klammer den Winkel zwischen der Anstrom – richtung und der Skelett-Tangente dar. Es muB Gl. (7.37) in alien Punkten x, у der tragenden Flache erfiillt sein.

Weiterhin muB nun zunachst aus der vorgegebenen Wirbelverteilung k(x, y) die induzierte Geschwindigkeit w(x, y) auf der tragenden Flache ermittelt werden. Der Einfachheit halber berechnen wir jedoch die indu­zierte Geschwindigkeit in der Projektion der tragenden Flache auf die x, y-Ehene, die mit der Wirbelflache identisch ist. Die induzierte Ge­schwindigkeit w (x, у) in einem behebigen Punkt der x, y-Ebene wird erhalten, indem man zunachst den Beitrag eines Hufeisenwirbels eines Elementarflugels nach dem Biot-Savartschen Gesetz, Кар. 2.46, er­mittelt, Abb. 7.15. Die gesamte induzierte Geschwindigkeit w(x, y) ergibt sich daraus, daB man zuerst in der ^-Richtung uber einen Elementarfliigel und danach in der у-Richtung liber die Gesamtheit aller Elementarfliigel integriert. Die Ausfuhrung dieser Integrationen liefert,

wie in [73] im einzelnen dargestellt ist, folgendes:

mit

0(x, y y) = 2 J k(x’, y) dx’.

xv{y)

Bei der Herleitung der Gin. (7.38) und (7.39) ist das Biot-Savartsche Gesetz in der Weise anzuwenden, daft man den Aufpunkt, in welchem

Dabei hangt в(х, у; у’) nach Gl. (7.39) mit k(x, y) zusammen. Gl. (7.40) ist bei vorgegebenem Anstellwinkel ocF und vorgegebener Form der Tragflache (x, y) eine Integralgleichung fur die Zirkulationsver-

teilung k(x, y) der tragenden Flache (zweite Hauptaufgabe). Damit fur die Tragflache die Kuttasche AbfluBbedingung erfiillt ist, muB die Wirbeldichte к (x, y) an der Hinterkante x = xh (y) verschwinden, vgl. Gl. (6.64). Nachdem aus Gl. (7.40) die Wirbeldichte k(x, y) ermittelt worden ist, erhalt man die resultierende Druckverteilung von Unter – und

Oberseite in einem Punkt x, у nach Gl. (6.65) in der Form:

= (7.41)

Я. оо U oo

Hierin ist qoo = q t/^/2 der Staudruck der Anstromung. Der ortliche Auftriebsbeiwert ca(y) eines Fliigelschnittes у ergibt sich durch Inte­gration der Druckverteilung liber die Fliigeltiefe analog zu Gl. (6.66):

Xh(y)

ca(y) = Лср(х, у) dx. (7.42)

xv{y)

Den Gesamtauftriebsbeiwert cA = A/Fq^ des Fliigels erhalt man schlieBlich zu

s

cA = jJJ Acpdxdy = j J ca(y) l(y) dy. (7.43)

(F) – t

Man vergleiche hierzu Gl. (5.42).

Wie bei der Prandtlschen Traglinientheorie (Кар. 7.13) lafit sich bei vorgegebener Fliigelflache und vorgegebener Wirbelverteilung k(x, y) die Fliigelgeometrie (Verwindung und Wolbung) nach Gl. (7.40) ermit – teln. Diese Entwurfsaufgabe (erste Hauptaufgabe) erfordert Quadra – turen nach GL (7.39) und (7.40). Einige Beispiele hierzu wurden erst – malig von H. Blenk [4] angegeben.

Bei vorgegebener Fliigelgeometrie (GrundriB und Anstellwinkel) liefert Gl. (7.40) die Wirbelverteilung uber die Fliigelflache. Diese Nach – rechnungsaufgabe (zweite Hauptaufgabe) fiihrt auf eine Integralgleichung fur die Wirbelverteilung k(x, y), welche erhebliche mathematische Schwie – rigkeiten bereitet. Man ist deshalb fur die Losung dieser Integralgleichung auf Naherungsverfahren angewiesen, die in verschiedener Weise an – gesetzt werden konnen.

Eine erste Moglichkeit, Naherungslosungen zu gewinnen, besteht darin, daB man die Form der Wirbelverteilung k(x, y) in Spannweiten – richtung у vorgibt. Wahlt man fur k(y) einen Ansatz mit m Gliedern, von denen das erste z. B. die elliptische Verteilung darstellt, so kann die Integralgleichung (7.40) nicht mehr auf der ganzen tragenden Flache, sondern nur noch in m Schnitten in Richtung der Fliigeltiefe erfiillt werden.

Eine zweite Moglichkeit zur Beschaffung von Naherungslosungen besteht darin, die Form der Wirbelverteilung k(x, y) in Richtung der Fliigeltiefe x vorzugeben, z. B. durch die Birnbaumschen Normalvertei – lungen nach Gl. (6.71). Wahlt man fur k(x) einen Ansatz mit n Gliedern, so kann die Integralgleichung nur auf n Linien langs der Spannweite
erfullt werden. Solche Verfahren wurden fiir n — 1 (1. Birnbaumsche Verteilung) von J. Weissinger [83] und fiir n — 2 (1. und 2. Birn­baumsche Verteilung) von H. Multhopp [58] und E. Truckenbrodt [75] sowie fiir n = 5 von S. Wagner [80] ausgearbeitet.

Eine dritte Moglichkeit besteht darin, dab man gleichzeitig Vertei – lungen iiber die Spannweite mit m Gliedern und Verteilungen iiber die Tiefe mit n Gliedern vorgibt. In diesem Fall kann man die Integral – gleichung in m • n Punkten erfiillen, die in Spannweiten – und Tiefen – richtung geeignet zu verteilen sind. Ein solches Verfahren hat schon friihzeitig H. Blenk [4] angewendet.

7.21 Wirbelsystem der tragenden Flache

In Кар. 7.1 war der Einfachheit halber angenommen worden, daB die den Tragfliigel darstellende Zirkulation auf einer Linie kon – zentriert ist (Traglinientheorie), Abb. 7.2. Diese Vorstellung ist nur dann eine einigermaBen gute Annaherung fiir einen wirklichen Tragfliigel, wenn seine Tiefenerstreckung sehr viel kleiner ist als seine Spann­weite nerstreckung (Tragfliigel von groBem Seitenverhaltnis). Ist die Fliigeltiefe nicht mehr sehr viel kleiner als die Spannweite, so muB man von der Vorstellung der Traglinie zu derjenigen einer flachenhaften Verteilung der tragenden Wirbel iiber die Fliigeltiefe iibergehen. Eine solche kontinuierliche Wirbelverteilung iiber die Fliigeltiefe war bereits in Кар. 6.32 bei der Skelett-Theorie zugrunde gelegt worden. Im vorigen Abschnitt waren die freien Wirbel bereits flachenhaft verteilt ange­nommen worden. Ubertragt man diese Vorstellung der kontinuier – lichen Zirkulationsverteilung sinngemaB auf den Tragfliigel endlicher Spannweite, so ergibt sich fiir diesen eine in Tiefen – und Spannweiten – richtung veranderliche flachenhafte Wirbelverteilung (Tragfldchen – theorie). Diese Tragflachentheorie soil im vorliegenden Abschnitt in ihren Grundziigen entwickelt werden. Sie ist praktisch besonders wichtig fiir Tragfliigel von kleinem Seitenverhaltnis, fiir Pfeilfliigel und Delta – fliigel so wie fiir den schiebenden Fliigel.

Diese flachenhafte Wirbelbelegung kann aufgefaBt werden als eine Singularitatenbelegung im Sinne von Кар. 6.32. In der spateren Ent – wicklung der Tragflachentheorie wird anstelle der Wirbelbelegung ge – legenthch auch eine Dipolbelegung verwendet, vgl. z. B. L. Prandtl

[63] .

Die Tragflachentheorie mit Hilfe der Wirbelbelegung ist im AnschluB an die bekannte Prandtlsche Arbeit [61] zuerst von H. Blenk [4] weiter ausgebaut worden, indem er die Birnbaum-Ackermannsche Theorie [3] vom ebenen Fall auf den raumlichen Fall tibertrug.

Die Verteilung der Wirbelstarke iiber eine vorgegebene Flache kann in verschiedener Weise erfolgen. Es sei eine Tragfltigelflache von beliebiger Gestalt vorgegeben. Wir wahlen ein rechtwinkliges, fltigelfestes Koordi- natensystem so, daB die y-Achse senkrecht zur Anstromrichtung steht.

Eine erste Moglichkeit, diesen Trag – fliigel durch eine Wirbelbelegung zu ersetzen, besteht darin, daB diese Flache mit zwei flachenhaften Wirbel – verteilungen kx(x, y) und ky(pc, у) be – legt wird, Abb. 7.11. Die erstere Wirbelverteilung hat Wirbellinien parallel zur a;-Achse und die letztere solche parallel zur y-Achse. Die ky- Wirbel sind von der Art, wie sie bereits bei der ebenen Tragfltigel­theorie, vgl. Abb. 6.14, zugrunde ge – legt wurden, wahrend die AvWirbel von der Art der freien Wirbel in der Wirbelflache hinter der Tragflache

sind, vgl. Abb. 7.5. Bei Anstromung in a;-Richtung bringen ftir den Auftrieb der Tragflache nur die A^-Wirbel einen Beitrag. Die Gesamt – zirkulation ftir einen Fltigelschnitt у betragt

4

Г(у) = j kv(x, y) dx.

Hierin bedeuten xv(y) und xh(y) die a;-Koordinaten der Vorder – bzw. Hinterkante des Schnittes y. Die Wahl der beiden Wirbelverteilungen kx(x, y) und ky(x, y) kann nicht willktirlich sein, sondern muB so be – stimmt werden, daB die von der Wirbelflache induzierten Geschwindig – keiten die Gleichung der Drehungsfreiheit du/dy — dv/dx = 0 erftillen, Gl. (2.32). Entsprechend Gl. (6.60a) ist in der Nahe der Wirbelschicht (z -> 0):

и = ih ky, v = – p kx, (7.34)

2 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

wobei die oberen Vorzeichen oberhalb und die unteren Vorzeichen unterhalb der Wirbelschicht gelten. Mithin folgt dann:

= 0.

Man nennt diese Beziehung auch die Bedingung der Quellfreiheit der Wirbelbelegung. Da nach Gl. (2.135) kx ~ cox und ky ~ a)y ist, kann man die vorstehende Gleichung auch aus Gl. (2.150) ableiten.

Eine zweite Mdglichkeit, den Tragfliigel durch eine Wirbelbelegung darzustellen, besteht darin, daB man nach einem Vorschlag von H. Glauert [18] den Tragfliigel nach Abb. 7.12 durch sogenannte Elemen-

tarfliigel der infinitesimalen Spannweite dy und der Fliigeltiefe l(y) er – setzt. Jedem Elementarfltigel ist im Gesamtverband des Fliigels ein ganz bestimmter, durch die Geometrie des Fliigelgrundrisses gegebener Platz zugeordnet. Das Wirbelsystem jedes Elementarfliigels besteht aus einer Reihe hintereinander Uegender Wirbellinien parallel zur y-Achse und zwei Wirbellinien parallel zur x-Achse, somit aus einer Schar von hinter­einander angeordneten Hufeisenwirbeln, wie sie in Кар. 7.1 eingefiihrt wurden. Diese Darstellung wurde fur einen beliebigen FliigelgrundriB u. a. von E. Truckenbrodt [73] angegeben. In Abb. 7.13 ist fur das Beispiel eines schiebenden Pfeilfltigels das soeben Gesagte noch einmal genauer dargestellt. Zu diesem Bild moge bemerkt werden, daB die freien Wirbel der einzelnen Hufeisenwirbel nur der Deutlichkeit halber nebeneinander

gezeichnet wurden, wahrend sie tatsachlich auf zwei parallelen Linien mit dem Abstand dy liegen. Der Elementarflugel hat in der Richtung der Flxigeltiefe (ж-Richtung) eine Zirkulationsverteilung mit der Dichte

k(x) pro Langeneinheit. Fur ein Flachenelement des Elementarfliigels mit der Spannweite dy und der Tiefenerstreckung dx ist die Zirkulation

dT{x, y) — k(x, y) dx. (7.35)

Im Vergleich mit der Darstellung von Abb. 7.11 entspricht к dem dort verwendeten ky. Somit ist nach Gl. (7.33) die Gesamtzirkulation der gebundenen Wirbel des Elementarfliigels

%h(y)

Г(у) = f k(x, y)dx. (7.36)

xvU>)

Die gleiche Zirkulation haben auch die beiden von der Hinterkante des Elementarfliigels abgehenden freien Wirbel.

Im Rahmen der linearen Tragflachentheorie, d. h. bei Beschrankung auf kleine Profilwolbungen der einzelnen Fliigelschnitte und auf kleine Anstellwinkel, kann angenommen werden, daB die gebundenen und die freien Wirbel aller Elementarfliigel in einer Ebene (ж, y-Ebene) liegen. Dieses wurde auch bei der Profiltheorie in Кар. 6.32 vorausgesetzt.

Die vorstehend abgeleiteten Ergebnisse iiber den EinfluB des Seiten­verhaltnisses auf Auftrieb und Widerstand sind von L. Prandtl und A. Betz [62] einer experimentellen Nachpriifung unterzogen worden.

Vergleicht man die Polaren von zwei Fliigeln mit den Seitenver – haltnissen Лх und Л2bei gleichem Auftriebsbeiwert, so gilt nach Gl. (7.26b)

cWp2 — CWpl:

Cw2 = Cwi + ^(j2~j)- (7-31)

In Abb. 7.9a sind fur eine Reihe von Rechteckfliigeln mit den Seiten – verhaltnissen Л1 — 1, 2, . . ., 7 die gemessenen Polaren dargestellt. Abb. 7.9b zeigt das Ergebnis der Umrechnung dieser Polaren nach

Abb. 7.9. Zur experimentellen Nachprlifting der Umrechnungsformel ftir den Widerstand nach [62].

a) Gemessene Polaren fur Rechteckflugel vom Seitenverhaitnis Л = 1 bis 7;
b) auf Л = 5 umgerechnete Polaren und Vergleich mit der Theorie des induzierten Widerstandes,

Gl. (7.31).

Gl. (7.31) auf das Seitenverhaltnis Л2 = 5. Die umgerechneten Polaren fallen sehr gut in einen Kurvenzug zusammen, womit die Gtiltigkeit von Gl. (7.31) experimentell bestatigt ist. In Abb. 7.9b ist noch die theoretische Polare des induzierten Widerstandes fur Л = 5 mit ein – getragen.

Vergleicht man andererseits die Auftriebskurven cA(<xg) von zwei Fliigeln mit den Seitenverhaltnissen Лх und Л2, so gilt bei gleichem Auftriebsbeiwert nach Gl. (7.28):

Abb. 7.10. Zur experimentellen Nachprttfung der Umrechnungsformel fflr den Auftrieb in Abhdngig-

keit vom Anstellwinkel nach [62J.

a) Gemessene c^(a^)-Kurven fur Rechteckfliigel vom Seifcenverh&lfcnis Л = 1 bis 7;
b) auf Л = 5 umgerechnete c^(a^)-Kurven, Gl. (7.32).

In Abb. 7.10a sind fur die gleichen Fliigel wie in Abb. 7.9 die gemessenen Auftriebskurven dargestellt. Abb. 7.10b zeigt das Ergebnis der Umrech – nung dieser Auftriebskurven nach Gl. (7.32) auf das Seitenverhaltnis Л2 = 5. Auch hier fallen die umgerechneten Kurven in einen Kurvenzug zusammen. Damit ist auch die Giiltigkeit von Gl. (7.32) experimentell bestatigt.

Die beiden Gin. (7.31) und (7.32) konnen somit verwendet werden, um die bei einem bestimmten Seitenverhaltnis Лх gemessene Wider – standspolare cw(cA) und Auftriebskurve cA(ocg) auf einen Tragfliigel mit einem anderen Seitenverhaltnis Л2 umzurechnen, wenn beide Fliigel das gleiche Profil besitzen. Aus diesem Grunde nennt man diese Gleichun – gen auch die Umrechnungsfor mein des Tragfliigels endlicher Spannweite.

Die wichtigste Folge aus der Bildung dieser freien Wirbel besteht darin, daB im Gegensatz zum Fliigel unendlicher Spannweite der Trag – fliigel endlicher Spannweite auch in reibungsloser Stromung einen Wider­stand erfahrt [induzierter Widerstand). Physikalisch laBt sich dieser induzierte Widerstand durch das Einrollen der Trennungsflache zu den

beiden freien Wirbeln erklaren: In jedem Zeitabschnitt muB ein Stuck dieser beiden freien Wirbel neu gebildet werden. Hierftir muB dauernd

Arbeit geleistet werden, die als kinetische Energie in den Wirbelzopfen enthalten ist. Das Aquivalent fur diese Arbeit steckt in der tlberwindung des Widerstandes bei der Vorwartsbewegung des Tragfliigels.

Andererseits laBt sich das Zustandekommen des induzierten Wider­standes auch mittels des Kutta-Joukowskyschen Satzes folgender – maBen einsehen:

Die nach hinten abgehenden freien Wirbel erzeugen hinter dem Tragfliigel und am Ort des Tragfliigels nach Biot-Savart eine Ab-

wartsgeschwindigkeit wh Abb. 7.3. Am Ort des Fliigels setzt sich so – mit die resultierende Anstromungsgeschwindigkeit des Fliigelprofils aus der Anstromgeschwindigkeit V und dieser induzierten Abwartsge-
schwindigkeit zusammen. Die resultierende Anstromrichtung am Ort des Fliigels ist gegeniiber der ungestorten Anstromrichtung somit um den Winkel oc( nach abwarts geneigt, wobei ist. Es ist im allgemeinen V und somit ос( ^ sin#* ^ tan at*.

Nach dem Satz von Kutta-Joukowsky, Кар. 6.11, ist die re­sultierende Luftkraft dR am Fliigelschnitt у (Abb. 7.3) senkrecht zur resultierenden Anstromrichtung. Sie hat somit senkrecht zur ungestorten Anstromrichtung die Auftriebskomponente dA — dR cosoq ^ dR und parallel zur ungestorten Anstromrichtung die Widerstandskomponente dWі = dR sin oc( ^ dR a,-. Letzteres ist der induzierte Widerstand des Fliigelschnittes y. Mit Beriicksichtigung von Gl. (7.1) ist

dWi = dAoci — dA ^r.

Den gesamten induzierten Widerstand erhalt man hieraus durch Inte­gration liber die Fliigelspannweite von у = —6/2 bis у — +6/2, somit

6/2

Wt = yfjiw‘Mdy – <7-3>

—6/2

Dabei bedeutet dAjdy den Auftrieb pro Langeneinheit der Spannweite und Wi(y) die im allgemeinen langs Spann weite veranderliche Ver – teilung der induzierten Abwartsgeschwindigkeit. Fur das einfache Modell des Hufeisenwirbels (Abbildung 7.2) ergibt sich fur die durch die beiden freien Wirbel hervorgerufene Verteilung der Abwartsgeschwindigkeit am Ort des Tragfliigels durch Anwendung des Biot-Savartschen Gesetzes, Кар. 2.46:

u>i(y) =

Diese Abwindverteilung ist in Abb. 7.4 dargestellt. Hierbei hat die indu­zierte Abwartsgeschwindigkeit in Fliigelmitte ein Minimum, wahrend sich an den Fliigelenden у — + 6/2 bei Annaherung an die freien Wirbel unendhch groBe Werte ergeben.

Das stark vereinfachte Wirbelmodell nach Abb. 7.4 mit konstanter Zirkulationsverteilung langs Spannweite und zwei freien Einzelwirbeln an den beiden Fliigelenden reicht jedoch noch nicht aus, um den indu­zierten Widerstand nach Gl. (7.3) quantitativ zu ermitteln. Vielmehr ist es daftir erforderlich, das Modell der vom Tragfliigel abgehenden

freien Wirbel zu verfeinern. Der oben erwahnte Druckausgleich um die Fliigelenden herum bewirkt, daB der Auftrieb und damit auch die Zirkulation in der Nahe der Fliigelenden starker abgemindert wird als in der Fliigelmitte. An den Fliigelenden selbst tritt sogar vollkommener

Ausgleich des Druckunterschiedes zwischen Unter – und Oberseite und damit ein Abfall der Zirkulation auf Null ein. Die wirkliche Zirkulations- verteilung ist von der Art, wie in Abb. 7.5 dargestellt; sie ist mit der Spannweitenkoordinate veranderlich, Г — Г (у). Zwischen dem Auftrieb dA eines Fliigelstuckes der Breite dy und dessen Zirkulation Г{у) besteht nach Kutta-Joukowsky der Zusammenhang, vgl. Gl. (6.1),

dA = qV Г (y) dy. (7.5)

Damit ergibt sich aus Gl. (7.3) fur den induzierten Widerstand:

6/2

= qJ Г(у) Wi(y)dy.

— bj%

Den gesamten Auftrieb erhalt man durch Integration von Gl. (7.5) zu:

6/2

(7.7)

Die veranderliche Zirkulationsverteilung T(y) nach Abb. 7.5 kann man sich durch eine treppenformige Verteilung ersetzt denken. Fur letztere

entsteht jeweils am Ort der Treppenstufe ein nach hinten abgehender freier Wirbel der Starke А Г. Im Grenziibergang von der treppenformigen Zirkulationsverteilung zur stetigen Zirkulationsverteilung ergibt sich dann fiir die freien Wirbel eine flachenhafte Verteilung (Wirbelflache). Ein Streifen dieser Wirbelflache der Breite dy hat dabei die Zirkulations – starke dr = (dTjdy) dy. Somit gibt die Neigung der Zirkulationsver­teilung Г(у) des gebundenen Wirbels die Verteilung der Wirbelstarke in der freien Wirbelflache an.

Die Verteilung der induzierten Abwartsgeschwindigkeit langs Spannweite erhalt man durch Anwendung des Biot-Savartschen Gesetzes auf die vom Fliigel abgehenden freien Wirbel. Der Beitrag des Wirbel – streifens dy’ an der Stelle y’ zur Abwartsgeschwindigkeit am Ort der tragenden Linie у (Abb. 7.5) betragt nach Gl. (2.163):

Hieraus findet man durch Integration iiber die Wirbelflache fur die induzierte Geschwindigkeit am Ort des Fliigels :[1]

6/2

1 r dr dy’

4 n J dy’ у — у’ —6/2

Nach dieser Gleichung kann die induzierte Abwartsgeschwindigkeit w{(y) am Ort der tragenden Linie berechnet werden, wenn die Zir- kulationsverteilung Г(у) vorgegeben ist. Damit kann man den indu – zierten Widerstand nach Gl. (7.6) ermitteln.

Es sei hier bereits angemerkt, daB sehr weit hinter dem Fliigel die induzierte Abwartsgeschwindigkeit doppelt so groB ist wie die induzierte Abwartsgeschwindigkeit am Ort des Fliigels nach Gl. (7.8), vgl. Кар. XI:

Лу) = -2 Wi{y). (7.8a)

Die Geschwindigkeit wird positiv in Richtung der positiven z-Achse gerechnet, Ygl. Abb. 7.19.

7.13 Prandtlsche Integralgleichung fiir die Zirkulations – verteilung

Die obigen Vorstellungen sollen jetzt dazu benutzt werden, um eine Gleichung aufzustellen, mittels derer fiir einen vorgegebenen Tragfliigel endhcher Spannweite die Zirkulationsverteilung langs Spannweite er – mittelt werden kann.

Die in Abb. 7.3 erlauterte Anderung der Anstromrichtung infolge der von den freien Wirbeln induzierten Abwartsgeschwindigkeit fiihrt dazu, daB ein Tragflugelschnitt у des Tragfliigels endhcher Spann­weite beim geometrischen Anstellwinkel ocg einen geringeren Auftrieb erfahrt als der gleiche Tragfliigelschnitt bei unendhcher Spannweite. Fiir ein Flachenelement dy eines Tragfliigels endhcher Spannweite be – tragt der Auftrieb:

dAz= 2 dy C“^ = 2 V4^ dy C®°° (7-9)

Dabei bedeutet l(y) die Fliigeltiefe an der Stelle у {Abb. 7.5) und ca(y) — c’aoo&eiy) den ortlichen Auftriebsbeiwert des Flachenelementes dF = l(y)dy. Man bezeichnet oce(y) als den effektiven Anstellwinkel (Abb. 7.3) und c’ go = (dcaldoc)00 als den Auftriebsanstieg fur den Trag – fliigel unendlicher Spannweite. Letzterer ist nach der Theorie diinner Profile nahezu gleich 2л, vgl. Кар. VI. Fur die angestellte ebene Platte gilt exakt c’aoo = 2л. Der Gl. (7.9) liegt die Vorstellung zugrunde, daB der Profilschnitt des Tragfliigels endlicher Spannweite sich so verhalt wie ein solcher beim Fliigel unendlicher Spannweite, der mit dem An­stellwinkel oce angestromt wird.

Zwischen dem von der Nullauftriebsrichtung aus gemessenen geo – metrischen Anstellwinkel <xg(y), diesem effektiven Anstellwinkel oce(y) und dem in Gl. (7.1) erlauterten induzierten Anstellwinkel ос{(у) besteht nach Abb. 7.3 der Zusammenhang

<Xg{y) = *e(y) + OCi(y).

Ersetzt man in Gl. (7.9) dA durch Gl. (7.5), dann ergibt sich fur den effektiven Anstellwinkel

Weiterhin gilt fur den induzierten Anstellwinkel mit =■ w{V nach Gl. (7.8):

(7.12)

Dieses ist die Prandtlsche Integralgleichung fur die Zirkulationsverteilung des Tragfliigels endhcher Spannweite, wie sie von Prandtl zuerst im Jahre 1918 angegeben wurde [61]. Sie ist eine hneare Integralgleichung fur die Zirkulationsverteilung Г(у), wobei Г hnear vom Anstellwinkel ocg abhangt. Der Profilbeiwert c’aoo ist aus der Profiltheorie (Кар. VI) bekannt.[2]

Bei vorgegebener Fliigelgeometrie [Fliigeltiefenverteilung l(y) und Anstellwinkelverteilung <xg(y)] laBt sich aus Gl. (7.13) die Zirkulations –

verteilung Г(у) ermitteln. Dieses ist die sog. Nachrechnungsaufgabe (zweite Hauptaufgabe) der Tragfliigeltheorie.

Ist dagegen die Zirkulationsverteilung Г(у) bekannt, so laBt sich aus Gl. (7.13) entweder bei vorgegebener Tiefenverteilung l(y) die Anstellwinkelverteilung (Verwindungswinkel) ocg(y) oder bei vor­gegebener Anstellwinkelverteilung ocg(y) die Tiefenverteilung l(y) er­mitteln. Dieses ist die sog. Entwurfsaufgabe (erste Hauptaufgabe) der Tragfliigeltheorie.

In beiden Fallen ergibt sich der Auftrieb nach Gl. (7.7) und der indu – zierte Widerstand nach Gl. (7.6) aus der Zirkulationsverteilung Г(у). Vom mathematischen Standpunkt aus ist die zweite Hauptaufgabe wesentlich schwieriger als die erste Hauptaufgabe, da bei der zweiten Hauptaufgabe eine Integralgleichung zu losen ist, wahrend bei der ersten Hauptaufgabe nur Quadraturen auszufiihren sind.

7.14 Elliptische Zirkulationsverteilung

Eine besonders einfache Losung von Gl. (7.13), die auch groBe prak – tisehe Bedeutung hat, ergibt sich fiir die elliptische Zirkulationsver-

teilung langs Spannweite.

Г(у) = Г0^1-(^-) (7.14)

wobei Г0 die Zirkulation in Fliigelmitte у – 0 bedeutet, Abb. 7.6. Nach Gl. (7.7) erhalt man fiir den Auftrieb:

A = y gbVГ0.

Die induzierte Abwartsgeschwindigkeit ergibt sich nach Gl. (7.8) zu

______ dy’

^y’J y-yr

Die Ausrechnung dieses Integrals liefert fur Punkte innerhalb der Spannweite, y < 6/2 d

wdy) = (7.16)

Man findet das bemerkenswerte Ergebnis, daB bei elliptischer Zir- kulationsverteilung die induzierte Abwartsgeschwindigkeit w{ und da – mit auch der induzierte Anstellwinkel oc{ langs der Spannweite konstant ist (Abb. 7.6).

Setzt man die Gin. (7.14) und (7.16) in Gl. (7.6) ein, dann erhalt man Mr den induzierten Wider stand:

Wi = f oFfy

Mit jT0 nach Gl. (7.15) ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen dem induzierten Widerstand und dem Auftrieb:

Dabei bedeutet q = (p/2) V2 den zur Anstromgeschwindigkeit V ge – horigen Staudruck (Geschwindigkeitsdruck). Es ist der induzierte Widerstand proportional dem Quadrat des Auftriebes sowie umgekehrt proportional dem Staudruck und dem Quadrat der Spannweite.

Fur den induzierten Anstellwinkel ос і = w^V erhalt man nach den Gin. (7.16) und (7.15):

<*dy) = = const. (7-19)

nqbй

1 Zur Auswertung des Integrals macht man zweckmaBigerweise die Substitu­tion 2y’/b = cos Damit laBt sich das Integral iiberfuhren in die Form

/

vgl. Gl. (6.73).

Durch Vergleich der Gin. (7.18) und (7.19) bestatigt man die friiher in Gl. (7.2) angegebene Beziehung W( — ос(А.

Die Geometrie des zugehorigen Fliigels ergibt sich besonders einfach, wenn man einen unverwundenen Fliigel zugrunde legt, ag(y) = ocg = = const. Da nach Gl. (7.19) der induzierte Anstellwinkel <%* (y) = const ist, folgt nach Gl. (7.10), daB auch der effektive Anstellwinkel langs Spannweite konstant sein muB, ae(y) = const. Daraus ergibt sich nach den Gin. (7.11) und (7.14), daB die Fliigeltiefe langs der Spannweite elliptisch verteilt ist:

%) = *ij/l – (y)2- (7-20)

Der elhptische FlugelgrundriB ist in Abb. 7.6 dargestellt.[3] Somit ist gezeigt, daB die elhptische Zirkulationsverteilung bei einem unver­wundenen Ellipsenfliigel vorliegt. Fiir diesen ist nach Gl. (7.9) dann auch der orthche Auftriebsbeiwert ca(y) langs der Spannweite konstant.

Beiwerte. SchlieBlich mogen die wichtigen Ergebnisse fur den indu- zierten Anstellwinkel nach Gl. (7.19) und fiir den induzierten Widerstand nach Gl. (7.18) noch durch die dimensionslosen Beiwerte fiir den Auf – trieb und den induzierten Widerstand ausgedriickt werden. Diese sind wie folgt definiert:

A = cAqF, (7.21)

W і = cwiqF

mit F als FliigelgrundriBflache.

Damit ergibt sich aus den Gin. (7.19) und (7.18):

Hierin bedeutet

das Seitenverhaltnis des Fliigels nach Gl. (5.4). Das wichtige Ergebnis fiir den Beiwert des induzierten Widerstandes nach Gl. (7.24) ist in Abb. 7.7 fiir einen Fliigel vom Seitenverhaltnis Л = 5 mit MeBergeb – nissen verglichen. Man sieht, daB die theoretische Kurve fiir den indu­zierten Widerstandsbeiwert die gemessene Polare im ganzen c^-Bereich recht gut wiedergibt. Der Unterschied der beiden Kurven ist iiber dem
ganzen c^-Bereich nahezu konstant. Er riihrt her von dem in der vor – liegenden Theorie vernachlassigten EinfluB der Reibung. Abb. 7.7 legt

Abb. 7.7. Gemessene Polare eines Tragfltigels vom Seitenverhaltnis /1 = 5 und theoretische Kurve fur den induzierten Widerstand, cWi = /яЛ.

es nahe, den Widerstandsbeiwert aufzuteilen in einen vom Auftriebs – beiwert nahezu unabhangigen Anteil, den man als Beiwert des Profil – widerstandes cWp bezeichnet, und in einen vom Auftriebsbeiwert abhan – gigen Anteil, den Beiwert des induzierten Widerstandes cwi:

cw = cWp – f – cwi (7.26a)

oder wegen Gl. (7.24):

cw = cWp + (7.26 b)

Fiir den geometrischen Anstellwinkel ergibt sich nach den Gin. (7.10) und (7.23):

^ = Ле + й – (7-27)

Dabei ist nach Gl. (7.9) oce = cAJc’Aoo, weil der konstante ortliche Auf­triebsbeiwert ca(y) = const und der Gesamtauftriebsbeiwert cA im vor – liegenden Fall gleich sind.

Die letztere Gleichung gestattet es, den Auftriebsanstieg des Trag- fliigels endlicher Spannweite in seiner Abhangigkeit vom Seitenverhalt-

nis zu ermitteln. Aus Gl. (7.27) ergibt sich

Fur cAoo = 2л folgt:

c’a = л c’a oo Л. – J – 2

wobei c’A = dcAldocg ist. Gl. (7.30) gibt an, urn wieviel der Auftriebs – anstieg und damit auch der Auftrieb bei gleichem Anstellwinkel infolge des endlichen Seitenverhaltnisses abgemindert wird. In Abb. 7.8 ist

dieses Verhaltnis der Auftriebsanstiege in Abhangigkeit vom Seiten­verhaltnis dargestellt.

Wie spater noch genauer gezeigt werden wird, sind die hier fxir den elliptischen Tragfliigel gefundenen Formeln fiir den induzierten Wider – stand und den Auftriebsanstieg auch fiir andere Fliigelformen mit sehr guter Naherung giiltig. Dieses gilt insbesondere auch fiir Rechteck – fliigel, wie A. Betz [1] gezeigt hat, vgl. Abb. 7.30 und Abb. 7.55.

VII. Tragfliigel endlicher Spannweite
bei inkompressibler Stromung

7.1 Grundzuge der Prandtlschen Tragfliigeltheorie

7.11 Wirbelsystem des Tragfliigels endlicher Spannweite

Beim Tragfliigel unendlicher Spannweite ist die Stromung in alien Schnitten senkrecht zur Fliigelquerachse gleich. Diese ebene (zwei- dimensionale) Stromung wurde in der Profiltheorie, Кар. VI, ein – gehend behandelt. Beim Tragfliigel endlicher Spannweite (Abb. 7.1) ist jedoch die Stromung dreidimensional, da die Druckunterschiede zwischen Unter – und Oberseite des Fliigels sich an den Fliigelenden aus – gleichen und dadurch eine Umstromung der Fliigelenden hervorrufen. Dieser Druckausgleich um die Fliigelenden, der in Abb. 7.1b schematisch dargestellt ist, bewirkt fiir die Stromfaden oberhalb des Fliigels eine Ab – lenkung nach innen und fiir diejenigen unterhalb des Fliigels eine solche nach auBen (Abb. 7.1a). Somit haben die Stromfaden, welche hinter dem Tragfliigel wieder zusammentreffen, einen Richtungsunterschied. Sie bilden eine sogenannte Trennungsflache mit Einwartsstromung auf der Oberseite und Auswartsstromung auf der Unterseite (Abb. 7.1c). Die Trennungsflache hat das Bestreben, sich weiter stromabwarts aufzurollen (Abb. 7.Id) und zwei diskrete Wirbel mit entgegenge – setztem Drehsinn zu bilden, deren Achsen nahezu mit der Anstro- mungsrichtung zusammenfalien (Abb. 7.1e und f). Diese beiden Wirbel haben die Zirkulationsstarke Г. Auf diese Weise erhalt man hinter dem Tragfliigel zwei sogenannte freie Wirbel, die von den Fliigelenden abgehen und nach Abb. 7.2 zusammen mit dem gebundenen Wirbel den,,Hufeisenwirbel“ bilden. Dabei ersetzt der gebundene Wirbel die Zirkulation des Tragfliigels, wie sie beim ebenen Problem (Кар. VI) zur Berechnung des Auftriebes zugrunde gelegt wird. Bei der Zuordnung des tragenden Wirbels zur Geometrie des Tragfliigelgrundrisses legt man zweckmaBigerweise den gebundenen Wirbel in die Verbindungslinie

1 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

H. Schlichting et al., Aerodynamik des Flugzeuges © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

der Einviertelpunkte der ortlichen Fliigelsehne. Ein ungepfeilter, sym – metrisch angestromter Fliigel wird somit durch eine senkrecht zur An-

stromrichtung verlaufende gebundene Wirbellinie dargestellt. Das Modell des Hufeisenwirbels hatte sich auch bereits in Кар. 2.443 nach dem Helmholtzschen Wirbelsatz fur reibungslose Stromungen ergeben (Abb. 2.47). Die Aufklarung der dreidimensionalen Stromungsvorgange an Tragfliigeln endlicher Spannweite ist auf Grund dieser Vorstellung in quantitativer Form zuerst von L. Prandtl [61] gegeben worden, nachdem schon vorher F. W. Lanchester [47] einige qualitative tlber – legungen hierzu gemacht hatte.