Category Aerodynamik des Flugzeuges

Fur inkompressible Stromung laBt sich die vom Anstellwinkel verursachte Druckverteilung nach Gl. (9.42) in der Form angeben :

Durch Einsetzen der Gin. (9.79), (9.80) und (9.81) in diese Gleichung erhalt man fur die Druckverteilung bei kompressibler Stromung:

(9.85)

Durch Vergleich mit Gl. (9.42) stellt man fest, daB die durch den An – stellwinkel hervorgerufene Druckverteilung von der Mach-Zahl unab – hangig ist. Hieraus folgt, daB die in Кар. 9.23 fur die Auftriebsver – teilung, den Auftrieb und das Moment bei inkompressibler Stromung angegebenen Beziehungen fur kompressible Unterschallstromung un – verandert Giiltigkeit haben.[42]

Druckverteilung. Fur inkompressible Stromung laBt sich der Druck – beiwert nach Gl. (9.17) in der Form angeben:

(cp)ik — U(x) + 9(x) ln <5дг&] $Rik-

Dabei sind die Funktionen f(x) und g(x) nicht vom Dickenverhaltnis des Rmnpfes abhangig, vgl. Кар. 9.221. Durch Einsetzen der Gin. (9.80c) und (9.81) in die vorstehende Gleichung erhalt man:

cp(x) = [/ (*) + 9(X) ln (fc 1/1 – Mai)] 4 • (9.82)

Dies laBt sich auch in folgender Form schreiben:

<V = (cP)Maoo=о In}/! – Mai. (9.83)

1 d? F

Dabei wurde beriicksichtigt, daB nach Gl. (9.18) g(x)d% =————— —~

71 ttX2

ist mit PR = otR2 als Rumpfquerschnitt. Aus Gl. (9.83) ist zu ersehen, daB der KompressibilitatseinfluB auf die Druckverteilung durch ein additives

Glied gegeben wird, welches zur Druckverteilung bei inkompressibler Stromung hinzukommt und der zweiten Ableitung der Rumpfquer – schnittsverteilung proportional ist. Da diese im allgemeinen negativ ist, stellt das Zusatzglied eine Erhohung des Unterdruckes dar. Dies be – statigt die in Кар. 9.32 besprochene Ahnlichkeitsregel, nach der man die Berechnung der Unterschallstromung fiir eine beliebige Mach-Zahl zuriickfiihren kann auf die Berechnung fiir Ma^ = 0.

In Abb. 9.22 sind fiir das Rotationsparaboloid mit dem Dicken­verhaltnis dR = 0,1 die Druckverteilungen fiir verschiedene Mach – Zahlen dargestellt. Nur in der Umgebung der Rumpfmitte ergibt sich eine groBere Anderung der Druckverteilung durch den Kompressibilitats – einfluB. Hierzu vgl. man F. Krause [23].

Kritische Machsche Zahl. Die kritische Mach-Zahl der Anstromung Ma^ bei der am Korper ortlich die Schallgeschwindigkeit erreicht wird, erhalt man nach Gl. (8.5) aus dem groBten Unterdruck am Korper cpmin zu:

_ __ 2 Cpmin – x + i

In Abb. 9.23 ist die Ermittlung der kritischen Mach-Zahl fiir Rotations – paraboloide von verschiedenem Dickenverhaltnis dR angegeben. Dabei

werden die Kurven cpmln iiber Ma^ der verschiedenen Rotationspara – boloide nach Gl. (9.83) mit der Kurve nach Gl. (9.84) zum Schnitt gebracht. Man vergleiche hierzu auch Abb. 8.2. Die hieraus ermittelte kritische Mach-Zahl ist in Abb. 9.24 in Abhangigkeit vom Dicken­verhaltnis des Rumpfes angegeben. Dabei sind auch die kritischen

Mach-Zahlen fur Rotationsellipsoide mit angegeben. Fur die Ellipsoide sind die kritischen Machschen Zahlen etwas groBer als fur die Para- boloide.

Der Vergleich dieser kritischen Mach-Zahlen der Rotationskorper mit denjenigen von Tragflugelprofilen in Abb. 8.3 zeigt, daB bei gleichem Dickenverhaltnis (SR = d) die kritische Mach-Zahl bei raumlicher Stro – mung erhebUch groBer ist als bei ebener Stromung.

Die kritische Mach-Zahl ist bedeutungsvoll fur den Anstieg des Widerstandes bei hohen Unterschall-Machzahlen, man vergleiche Abb. 8.6 fur Tragflugelprofile. AbschlieBend sind in Abb. 9.25 fur einige verhaltnismaBig dicke Rumpfkorper die Widerstandsbeiwerte bei axialer

Anstromung in Abhangigkeit von der Mach-Zahl angegeben. Diese Messungen zeigen, daB fur Rximpfe der Widerstandsanstieg bei groBeren Mach-Zahlen Uegt als fur Tragflugelprofile gleicher Dicke, wie es nach der Theorie zu erwarten ist.

Da die vorstehend besprochenen AhnUchkeitsregeln nur fiir reine Unterschall – und reine tlberschallstromungen gelten, soil im folgenden fiir axial angestromte Rumpfkorper auch noch eine Ahnlichkeitsregel

fur die transsonische Stromung (Ma^ = 1) angegeben werden. Dieses Ahnlichkeitsgesetz wurde zuerst von Th. von Karman [19] formuliert. Eine genauere Darstellung dieser Ahnlichkeitsregel wurde spater von

F. Keune und K. Oswatitsch [21] gegeben. Im folgenden begnugen wir uns mit einer vereinfachten Herleitung:

Den Ausgangspunkt hierfur bildet die nichtlineare Potentialgleichung (9.63). Wir gehen von folgender Fragestellung aus: Vorgegeben ist ein rotationssymmetrischer Rumpfkorper bei Ma^ — 1. Gefragt ist, welche Druckverteilung ein affiner Vergleichsrumpf hat, der ebenfalls mit Maoo = 1 angestromt wird. In Analogie zu Gl. (8.60) wird die folgende Transformation eingefiihrt:

xr = x, r’ = czr, Ф = сАФ С/’*, = Ї7oo. (9.72)

Dabei beziehen sich die GroBen ohne Strich auf den vorgegebenen Rumpf und diejenigen mit Strich auf den Vergleichsrumpf. Fiihrt man Gl. (9.72) in Gl. (9.63) ein, so erhalt man in Analogie zu Gl. (8.62):

4 = e, (9.73)

Um eine weitere Beziehung zwischen den Konstanten c3 und c4 zu erhalten, wird fur die radiale Geschwindigkeitskomponente wr die Randbedingung Gl. (9.12) herangezogen. Es gilt somit:

lim (rwr) = R ; Ит (r’ w’r) = UR’ ^. (9.74)

r^O dx r’->0 dx

Wegen der Affinitat der beiden Rumpfe gilt

R’ = ^R,

°R

wobei dR und Sr die Rumpfdickenverhaltnisse bedeuten. Mit wr = дФдг und w’r = дФ’/дг’ folgt nach Einsetzen in Gl. (9.74):

Es bleibt jetzt noch xibrig, die Beziehung zwischen den Druckverteilun – gen cp und cp der beiden Riimpfe zu ermitteln. Zunachst erhalt man wegen cp = —2u/U^ = —(2/и^) дФ/дх:

Dies ist die bekannte v. Karm&nsche Ahnlichkeitsregel fur die Schall – anstromung von Rotationskorpern.

Wie K. Oswatitsch [21] zuerst gezeigt hat, ergibt sich jedoch noch eine Korrektur zu dieser Formel. Es gilt danach:

Cp=c’v {Ш+2g^in & ■ (9-78)

Dabei ist g(x) durch Gl. (9.18) gegeben.

9.4 Rumpf bei Unterschallgeschwindigkeit 9.41 Rechenverfahren

In Кар. 9.32 ist gezeigt worden, daB die Berechnung der Umstromung eines Rumpfes fur Mach-Zahlen Ma^ < 1 auf die Ermittlung der in – kompressiblen Stromung fiir einen entsprechend transformierten Rumpf zurtickgefuhrt werden kann. Die Berechnung der inkompressiblen Rumpfstromung wurde in Кар. 9.2 ausfiihrlich erortert. Den Ausgangs – punkt fiir unsere weiteren Betrachtungen bildet die Prandtl-Glauertsche Regel nach Кар. 9.32. Hier soli jetzt der dem vorgegebenen Rumpf bei vorgegebener Mach-Zahl zugeordnete Rumpf bei inkompressibler Stro­mung mit dem Index ik gekennzeichnet werden. Damit lauten die Um – rechnungsformeln fiir die geometrischen Daten des Rumpfes nach

(9.81)

Im folgenden wird dieses Rechenverfahren auf axial und schrag an – gestromte Riimpfe bei Unterschallgeschwindigkeit angewendet.

Die Ahnlichkeitsregeln fur Unterschall- und tlberschallanstromung erhalt man aus einer Transformation der Potentialgleichung (9.62). Zu diesem Zweck ordnen wir der vorgelegten kompressiblen Stromung eine transformierte Stromung zu, deren Potentialgleichung die Mach – Zahl nicht mehr exphzit enthalt. Die GroBen der transformierten Stromung sollen mit einem Strich versehen werden. Wir setzen in Analogie zu Gl. (8.42):

x’ = x; Ф = с2Ф’, = U^. (9.64)

Aus der mit diesen Ansatzen transformierten Potentialgleichung (9.62) fallt die Mach-Zahl Ma^ heraus, wenn

Cl = У |1 — Mai I (9.65)

gesetzt wird. Hierbei bleibt der Faktor c2 zunachst noch unbestimmt.

Dieser Faktor wird aus der kinematischen Stromungsbedingung (StromUnienanalogie), Gl. (8.53), ermittelt. Dies ergibt:

1

18 ScWichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

Die transformierten Potentialgleichungen lauten in Analogie zu Gl. (8.46) und (8.47) fur Unter – bzw. Gberschallgeschwindigkeit:

Die transformierte Potentialgleichung fur die Unterschallstromung ist identisch mit der Potentialgleichung der inkompressiblen Stromung (Ma00 = 0). Die transformierte Gleichung fur die Gberschallstromung ist identisch mit der linearen Potentialgleichung (9.62) fur Ma^ = )/2. Diese Transformation zeigt, daB man die Berechnung der Unter – schallstromungen fiir beliebige Mach-Zahlen zuriickfiihren kann auf die Berechnung der Stromung bei Ma^ — 0 und die Berechnung der t)ber – schallstromung fur beliebige Mach-Zahlen auf diejenige bei Ma^ — ]/¥.

Dies ist die Prandtl-Glauert-Aclceretsche Regel fur Riimpfe. Man kann sie entsprechend der Fassung I beim Tragfliigel endlicher Spannweite (Кар. 8.22) folgendermaBen formulieren:

Aus dem vorgegebenen Rumpf und der vorgegebenen Mach-Zahl bildet man einen transformierten Rumpf dadurch, daB man seine Ab – messungen in y – und z-Richtung und seinen Anstellwinkel mit dem Faktor cx = У |1 — Ma^o | verzerrt, wahrend seine Abmessungen in я-Richtung ungeandert bleiben. Fiir den so transformierten Rumpf ist, wenn die vorgegebene Mach-Zahl im Bereich der Unterschall – geschwindigkeit liegt, die inkompressible Stromung zu berechnen. Liegt die vorgegebene Mach-Zahl dagegen im Bereich der Dberschallgeschwin- digkeit, so ist fur den transformierten Rumpf die kompressible Stromung fur Maoo = У 2 zu berechnen.

Die Umrechnungsformeln fur die geometrischen GroBen des Rumpfes lauten:

Dickenverhaltnis: y – = У |1 — Ma^ y, (9.69a)

Ir Ir

Wolbungsverhaltnis: ^ = У |1 — Ma^ y, (9.69b)

Anstellwinkel: ос’ = У |1 — Ma% oc. (9.70)

Bei gleicher Anstromungsgeschwindigkeit fur den vorgegebenen und den transformierten Rumpf besteht dann zwischen den Druckbeiwerten

der Zusammenhang:

c == P – Poo == CP P qx |1 –

Die sich aus 61. (9.69 a) ergebende geometrische Transformation ist in Abb. 9.21 dargestellt, wobei das transformierte Dickenverhaltnis

in Abhangigkeit von der Mach-Zahl angegeben ist. Der schraffierte Rumpf ist der vorgegebene Rumpf, dessen Umstromung fiir verschiedene Mach-Zahlen berechnet werden soil. Die nichtschraffierten Riimpfe stellen die transformierten Riimpfe dar, die zu den vorgegebenen Mach – Zahlen gehoren. Dabei sind fiir Ma^ < 1 die transformierten Riimpfe bei inkompressibler Stromung und fiir Ma^ > 1 diejenigen bei Ma^ = У 2 zu berechnen. Dber die Anwendung dieser Regel wird in Кар. 9.4 und 9.5 berichtet werden.

9.31 Geschwindigkeitspotential

In diesem Abschnitt soil das Problem der dreidimensionalen kom- pressiblen Stromung um rotationssymmetrische Rumpfkorper be – handelt werden. Man vergleiche hierzu die entsprechenden Ausfuhrungen fur den Tragfliigel endlicher Spannweite in Кар. 8.2.

Fur die dreidimensionale kompressible stationare Stromung mit den Geschwindigkeitskomponenten V, Wr und W$ im Zylinderkoordi – natensystem x, r, & nach Abb. 9.1 d lautet die Kontinuitatsgleichung:

ЩУ) , 1 8(erWr) 1_ d(QW») = 0 dx r dr r d&

Fxir das Geschwindigkeitsfeld kann ein Potential Ф(х, r, #) eingefiihrt werden durch die Gleichungen:

[37] ):

/і _ El і?® і (i _ Er ^ , (i _ K J_ ^ _ о ILEr 82ф

a2) dx2 a2) dr2 a2 / r2 d&2 a2 dx dr

о VW* * д2Ф 2WrW# 1 d20 / П±_ЭФ_ =

a2 r dxdft a2 r dr d& ^ ^ a2 ] r dr ’

Fiir das Umstromungsproblem eines Korpers, welcher sich in einer Parallelstromung mit der konstanten Geschwindigkeit befindet, gilt die folgende Beziehung zwischen der ortliehen Sehallgeschwindig – keit a und der Schallgeschwindigkeit der ungestorten Stromung, vgl. Gl. (8.33):

mit

Ma^ = —. (9.58)

(loo

Linearisierung. Fur schlanke Riimpfe, die unter einem kleinen Winkel zur Rumpfachse angestromt werden, ist die ortliche Geschwindigkeit nach GroBe und Richtung nur wenig von der Anstromungsgeschwindig – keit verschieden. Deshalb ist es zweckmaBig, in diesem Fall die Gesamtstromung in eine Grundstromung und eine iiberlagerte Storungs – bewegung aufzuteilen:

U^U^+u, Wr = wr, W& = w&, wo bei и, wr, die Storungsgeschwindigkeiten sind. Dabei gilt:

/^<U00, wr<t U^, UTO.

Unter Beibehaltung nur der groBten Glieder (Linearisierung) erhalt man aus Gl. (9.56):

Dabei bedeutet Ma = Ufa die ortliche Mach-Zahl. In Gl. (9.59) kann jetzt Ф(х, г,&) auch als das Potential der Storungsbewegung aufgefaBt werden. Mithin gilt:

Fur reine Unterschall – und reine Uberschallstromungen kann in Gl. (9.59) die ortliche Mach-Zahl Ma naherungsweise durch die Mach-Zahl Ma^ nach Gl. (9.58) ersetzt werden. Fur die transsonische Stromung (Ma ^ 1) erfordert jedoch das erste Glied in Gl. (9.59) besondere Aufmerksamkeit; man vergleiche hierzu die Ausfiihrungen in Кар. 8.21. Driickt man die ortliche Mach-Zahl Ma nach Gl. (8.38 a) durch die Mach-Zahl der An – stromung Ma^ aus, so erhalt man aus Gl. (9.59) die folgende verein – fachte Potentialgleichung in ZyUnderkoordinaten:

(1 – Mai

Diese Gleichung ist das Analogon zu Gl. (8.39); sie ist verwendbar fur Unterschall-, Schall – und Uberschallanstromung des Rumpfes.

Fur reine Unterschallstromung und reine Vberschallstrdmung er – halt man in Analogie zu Gl. (8.40) die folgende lineare Differential – gleichung fur das Potential Ф:

Fur Schallanstrdrnung wird in Analogie zu Gl. (8.41):

Im Gegensatz zu Gl. (9.62) ist diese Differentialgleichung fur das Poten­tial nichtlinear.

Die vorstehend hergeleiteten Potentialgleichungen (9.62) und (9.63) sollen im folgenden in analoger Weise wie beim Tragfliigel endlicher Spannweite in Кар. 8.22 und 8.23 dazu verwendet werden, Ahnlich – keitsregeln fur die Rumpftheorie bei Unterschall-, Uberschall – und transsonischer Stromung herzuleiten, welche der Prandtl-Glauert – Ackeretschen Regel bzw. der v. Karmanschen Regel der Tragfliigel – theorie entsprechen.

9.231 Allgemeines. Wir betrachten jetzt die unsymmetrische rei – bungsfreie Stromung um einen angestellten Rumpf korper nach Abb. 9.11. Eine erste wichtige Feststellung hierzu ist, daB der angestellte Rumpf in reibungsloser Stromung keine resultierende Kraft, sondern nur ein Moment erfahrt. Dieses kommt dadurch zustande, daB wegen der Umstromung des Hecks an der Oberseite des Bugs und an der Unterseite des Hecks Unterdriicke und entsprechend an der Unterseite des Bugs und an der Oberseite des Hecks Gberdriicke vorhanden sind. Aus dieser 17*

Druckverteilung ergibt sich ein Moment MR, welches den Rumpfkorper quer zu stellen bestrebt ist (instabiles Moment). Fiir kleine Anstell – winkel ос ist dieses Moment proportional zum Anstellwinkel.

Durch das Zusammenwirken mit dem Fliigel wird die GroBe dieses instabilen Momentes erheblich geandert (vgl. hierzu Кар. X). Hier moge jedoch zunachst das Moment des Rumpfes allein behandelt werden, und zwar zuerst in reibungsloser Stromung und spater mit Beriicksichtigung der Reibung. Es sei bereits hier vermerkt, daB der EinfluB der Reibung auf die aerodynamischen Eigenschaften des Rumpfes betrachtlich ist. Das Moment in reibungsloser Stromung kann aus einer einfachen Impulsbetrachtung ermittelt werden. Die Berechnung der Druckverteilung auf der Rumpfoberflache erfordert potentialtheoretische Methoden, wobei in ahnlicher Weise wie beim axial angestromten Rumpf exakte Losungen und Naherungslosungen nach der Singularitatenmethode bekannt sind. Der ReibungseinfluB schlieBlich kann mit Hilfe der Grenzschichttheorie erfaBt werden.

9.2B2 Rumpfmoment nach der Impulsmethode von Munk. Fiir die Berechnung des Momentes schragangestromter Rumpfkorper hat M. Munk [32] schon friih – zeitig ein einfaches Verfahren angegeben, das auf der Anwendung des Impuls – satzes beruht (vgl. Кар. 2.6). Bei der Bewegung eines Korpers mit konstanter

Geschwindigkeit in reibungsloser Fliissigkeit bleibt weit hinter dem Korper der Impuls ungeandert, und somit erfahrt der Korper keine resultierende Kraft. Dies schlieBt aber das Vorhandensein eines freien Kraftepaares (Momentes) am Korper nicht aus. Um dieses zu ermitteln, betrachten wir nach Abb. 9.12 einen Rumpf – korper, der sich mit der Geschwindigkeit U00 durch die ruhende Fliissigkeit bewegt, wobei die Bewegungsrichtung mit der Korperachse den Winkel oc bildet. Durch das Mitbewegen der Fliissigkeit in der Umgebung des Korpers entstehen die Impuls- komponenten Js in Richtung der Bewegung und Jn senkrecht dazu. In der Zeit dt bewege sich der Korper aus der Lage I in die Lage II, wobei der Weg da = U^dt zuriickgelegt wird. Bei der Fortbewegung muB der Impuls am Ort I geloscht und am Ort II neu gebildet werden. Hierbei entsteht das Impulsmoment (Drall) um die y-Achse:

dD = Jn ds. (9.29)

Dabei bringt die Impulskomponente J8 keinen Beitrag zum Moment. Die zeit – liche Anderung dieses Dralles ist gleich dem Moment:

= = = UooJn – (9-30)

Es ist Jn der sogenannte Kelvinsche Impuls der mitbewegten Fliissigkeitsmasse senkrecht zur Bewegungsrichtung. Fiir seine Ermittlung fiihrt man zweckmaBig die korperfesten Komponenten Jx und Jz ein. Es gilt

Jn = —Jx sin a + Jz cos a •

Fiir Jx und Jz hat man:

Jx = ^(cos (x Uoo) VX9 Jz = e(sin a Uco) Vz,

wobei Vx und Vz die mitbewegten Flussigkeitsvolumina bei Bewegung des Korpers in x – bzw. z-Richtung sind. Ihre genauen Werte konnen nur aus der vollstandigen Berechnung der Potentialstromung fiir den vorgelegten Korper ermittelt werden. Setzt man fiir Jn die zuletzt angegebenen Beziehungen in Gl. (9.30) ein, so erhalt man

MR = U%{VZ – F.) sin 2a. (9.31)

Es ist zweckmaBig, die Volumina der mitbewegten Fliissigkeitsmassen zum Korper – volumen VR ins Verhaltnis zu setzen durch

Abb. 9.13 sind fiir dreiachsige Ellipsoide, deren Volumen VR = (4/3) nabc ist, die Beiwerte к in Abhangigkeit von den beiden Achsenverhaltnissen cja und b/c an – gegeben. Man entnimmt aus Abb. 9.13, daB fiir schlanke Rotationsellipsoide (b — c nnd cja < 0,2) der Beiwert к nur wenig von Eins yerschieden ist. Damit

ergibt sich fiir das Moment von schlanken Rotationskorpem aus Gl. (9.32) die einfache Naherungsformel:

MR = 2qooVR<x. (9.34)

Es ist bemerkenswert, daB das instabile Luftkraftmoment von angestellten schlan­ken rotationssymmetrischen Rumpfkorpem proportional ist zum Anstellwinkel a und zum Rumpfvolumen VR nach Gl. (9.1).

9.233 Druckverteilung nach der Methode der Dipolbelegung. Das

Stromungsfeld eines angestellten Rotationskorpers kann nach der Singu – laritatenmethode berechnet werden. Dabei wird im einfachsten Fall auf der Achse des Korpers eine raumbche Dipolbelegung nach Abb. 9.14 angeordnet.[38] Die Achsen der Dipole sind parallel zur z-Achse. Sei m(x) die Dipolstarke, so ist das Potential der Dipolverteilung:

Man vergleiche hierzu die Ausfiihrungen iiber die Stromungen um die Kugel in Кар. 2.35.11. Fiir schlanke Rotationskorper werden die Werte
des Potentials nur fur kleine Abstande r von der Achse benotigt. Die Entwicklung von Ф (x, r, &) fiir kleine r liefert:

= (9.36)i

2 л r

Aus Gl. (9.36) ergeben sich die Geschwindigkeitskomponenten in axialer, radialer und Umfangsrichtung fiir kleine r zu:

дФ 1 cos# dm(x) dx 2 nr dx ’

Die Dipolstarke ist aus der kinematischen Stromungsbedingung zu bestimmen, welche erfordert, daB auf der Rumpfoberflache die resul – tierende Normalgeschwindigkeit verschwindet. Legen wir hierbei in Verallgemeinerung von Abb. 9.14 sogleich einen Rumpf mit gewolbter

Skelettlinie nach Abb. 9.15 zugrunde, so lautet die kinematische Stro­mungsbedingung[39] [40] :

tx(x) Uqq cosi? + wr(x) = 0 fiir r = R. (9.38)

Hierin bedeutet oc(x) den ortlichen Anstellwinkel der Skelettlinie gegen die Anstromrichtung von U^. Dieser ist

«(*) = «- (9.39)

ax

wobei a der Anstellwinkel der Rumpfachse und zR(x) die Skelettlinie des Rumpfes ist. Fuhrt man wr nach Gl. (9.37 b) in Gl. (9.38) ein, so erhalt man fur die Dipolverteilung:

m(x) — 2nU00 a(x)R2(x) =2U00<x(x)FR(x). (9.40)

Dabei bedeutet FR(x) die Querschnittsflache des Rumpfes. Fuhrt man Gl. (9.40) in (9.37 a) ein, so ergibt sich fur die axiale Geschwindigkeits – komponente auf der Rumpfoberflache:

u(x, ft) cos# d г M шмп /Л лч

Druckyerteilung. Die durch die Anstellung des Rumpfes verursachte Druckverteilung auf der Rumpfoberflache ergibt sich nach Gl. (9.15) in erster Naherung zu cp(x,&) = —2и(х, Щиоо, Nach Einsetzen von Gl. (9.41) erhalt man:

cp(*, #) = – 2 ^ ~ [*(*)R2(X)]. (9.42)

Fiir langs der Rumpfachse konstanten Anstellwinkel vereinfacht sich dies zu:

Cp = —4a cos #. (9.43)

doc

Als Beispiel sind in Abb. 9.16 die Druckverteilungen angestellter Rota – tionsellipsoide vom Dickenverhaltnis dR = dRmax/lR = 0,1 und 0,2

dargestellt. Es ergibt sich fur die Druckverteilung durch Einfuhren von Gl. (9.19) in Gl. (9.43) die Beziehung:

і ___ о x

ft-=-2* cos# A – (9.43a)

VX(1 – X)

Auftriebsverteilung. Aus der Druckverteilung erhalt man durch Inte­gration die Auftriebsverteilung. Ein Rumpf stuck der Lange dx hat die Auftriebskraft dARi und es gilt:

2 n

dAR = —■q00E{x)dx j cpcos#d$. (9.44)

о

Unter Beachtung von Gl. (9.42) ergibt sich nach Ausfiihrung der Inte­gration iiber & fur die Auftriebsverteilung:

Fur konstanten Anstellwinkel ist:

dAR dm

Diese Beziehung wurde von H. Multhopp [31] auch aus einer Impuls – betrachtung hergeleitet.

Aus Gl. (9.46) erkennt man sofort, daB die gesamte Auftriebskraft verschwindet, denn es gilt

Ir

Ar= j<^dx = Znq^x [RHxtf* = 0, (9.46a)

0

wenn am Bug und am Heck des Rumpfes R (x) = 0 ist.

Nickmoment. Fur das Nickmoment des Rumpfes bei konstantem Anstellwinkel erhalt man aus Gl. (9.46):

Ir Ir

MR = — xdx = 2nqOQoc JR2(x)dx. (9.47)

Unter Beachtung von Gl. (9.1) wird das Moment:

MR = 2qQOVR(x,

wobei VR das Volumen des Rumpfes ist. Hiermit ist die Munksche Naherungsformel fur das Moment schlanker Rotationskorper, Gl. (9.34),

Abb. 9.17.

Auftriebsverteilung eines Rota-
tionseUipsoides vom Dicken-
verMltnis 6R = 1/7.

1 N&herungs theorie nach Gl. (9.49);

2 Exakte Theorie (reibungslos);

3 Theorie mit Reibung nach [13];

Messungen aus [13].

auch aus der Singularitatenmethode erhalten worden. Wegen AR = 0 ist das Rumpfmoment von der Lage des Bezugspunktes unabhangig. Es ist also ein sogenanntes „freies Moment

Als Beispiel ist in Abb. 9.17 die aus [13] entnommene Auftriebs­verteilung eines angestellten Rotationsellipsoides vom Dickenverhaltnis

dR — nach Theorie und Messung angegeben. Die theoretische Auf- triebsverteilung ergibt sich aus Gl. (9.46) mit (9.19) zu:

^ = 2*^*4^ (1-2X). (9.49)

Die hiernach berechnete Naherung ist in Abb. 9.17 als ausgezogene Gerade 1 eingetragen. Die Messungen stimmen im vorderen Teil des Rumpfes mit der Theorie gut uberein, wahrend sich im hinteren Teil einige Abweichungen ergeben. Man vergleiche hierzu Кар. 9.235.

Rumpfe mit nichtkreisfdrmigem Querschnitt: Die vorstehenden Be – trachtungen gelten fur Rotationskorper. Um auch fur Korper mit nichtkreisformigen Querschnitten bei konstantem Anstellwinkel das Moment zu erhalten, kann man sich uberlegen, daB im wesenthchen nur die Rumpfbreitenverteilung bR(x) fur das durch die Anstellung hervorgerufene Moment maBgebend ist. Man kann deshalb Gl. (9.47) auch fur Rumpfe mit nichtkreisformigem Querschnitt ubernehmen, wenn man 6д/2 an Stelle von R setzt und iiberdies einen Korrektur – faktor k* einfuhrt, also setzt:

MR = 2k*qooV%oc. (9.50)

Dabei ist VR das Volumen des Rotationskorpers, welcher die Rumpf – breite als Durchmesser hat, also

n = ^ fbl(x)dx. (9.51)

0

Der Korrekturfaktor kann durch Vergleich von Gl. (9.50) mit der exakten Gleichung (9.32) fur dreiachsige Ellipsoide erhalten werden. Wegen VR = (blc)VR ergibt sich k* = kc/b, wobei к in Abb. 9.13 an­gegeben ist. Die hiernach berechneten Werte von к* sind in Abb. 9.18 in Abhangigkeit vom Rumpfbreitenverhaltnis dR = bRm&x/lR und vom Rumpfquerschnittsverhaltnis XR = hRm&xlbRm&x dargestellt, vgl. Abb. 9.1. Hieraus ergibt sich, daB fur schlanke Rumpfe fur alle ge – brauchlichen Rumpfquerschnittsverhaltnisse XR der Faktor к* nahezu gleich Eins ist. Die vorstehende Betrachtung hat also gezeigt, daB bei der Berechnung des Momentes fur schlanke Rumpfe von nichtkreis­fdrmigem Querschnitt mit guter Naherung in Gl. (9.47) der Radius R durch die halbe Rumpfbreite bRl2 ersetzt werden kann.

Um auch fur den Rumpf mit veranderlichem Anstellwinkel <x(x) das Moment zu erhalten, setzen wir in Gl. (9.45) an Stelle von R die halbe Breite bRl2 ein. Damit ergibt sich durch Integration uber die Rumpf-

lange fiir das Nickmoment nach Gl. (9.47):

Ir

Mr = j qxj <x(x) b{x) dx. (9.52)

0

Diese Gleichung findet Anwendung fiir den Rumpf mit gekriimmter Skelettlinie nach Gl. (9.39) sowie fur den Rumpf in gekriimmter Stro-

mung, wie er bei Drehbewegungen um die Querachse, vgl. Gl. (7.190), vorliegt. Weiterhin ist diese Beziehung von Bedeutung fiir die Berechnung des Rumpfmomentes, wenn der Rumpf mit einem Fliigel kombiniert wird (vgl. Кар. X).

Die vorstehenden Betrachtungen iiber die Auftriebsverteilung und das Moment liefern fiir den schiebenden Rumpf sinngemaB auch die Seitenkraftverteilung und das Schiebegiermoment.

9.234 Exakte Losungen. Es mogen jetzt noch einige Angaben iiber exakte Losungen fiir angestellte RotationselUpsoide gemacht werden. Nach K. Maruhn [28] gilt fiir die Druckverteilung des angestellten Rotationsellipsoides bei kleinem Anstellwinkel oc:

Hierin bedeutet bja = dR das Rumpfdickenverhaltnis. Fur die GroBe C gilt:

2 + ^0

mit oc0 nach Gl. (9.27b). Mit A nach Gl. (9.27a) ist:

In Abb. 9.16 ist die vom Anstellwinkel abhangige Druckverteilung nach dieser exakten Losung fur dR = 0,2 dargestellt. In der Nahe von Bug und Heck gibt die exakte Losung etwas kleinere Werte fiir den Druck – beiwert als die Naherungslosung von Кар. 9.233. Dies ist gleichbedeutend damit, daB der Korrekturfaktor 1c* fiir das Moment in Gl. (9.50) etwas kleiner als Eins ist. Auch in Abb. 9.17 ist die exakte Losung fiir die Auf- triebsverteilung mit eingetragen, (Kurve 2). In der Nahe von Bug und Heck ist die exakte Losung von der Naherungslosung etwas verschieden. In der Nahe der Nase stimmen die Messungen mit der exakten Losung sehr gut uberein, wahrend in der Nahe des Hecks groBere Abweichungen verbleiben. Diese sind auf den EinfluB der Reibung zuruckzufiihren, der im nachsten Abschnitt behandelt wird.

Die Werte fiir das Moment nach der exakten Losung wurden bereits in Кар. 9.232 angegeben. Nach Gl. (9.50) ergibt sich fiir den theoreti- schen Momentenbeiwert cMR = MRjqVR:

cmr — 21c* oc. (9.54)

In Abb. 9.3 ist dieser theoretische Wert mit 1c* — 0,95 mit einer Mes – sung verglichen. Der Momentenanstieg dcMRjd(x ist nach der Theorie betrachtlich groBer als nach der Messung. Dieser Unterschied ist auf den EinfluB der Reibung zuruckzufiihren. DaB der Auftrieb nach der Messung von Null verschieden ist, wie Abb. 9.3 zeigt, riihrt ebenfalls von der Reibung her.

9.235 EinfluB der Reibung. Bei dem angestellten Rumpf nach Abb. 9.11 wirkt sich der EinfluB der Reibung qualitativ so aus, daB wegen der Abdrangung der AuBenstromung durch die Grenzschicht am Heck die Driicke abgebaut werden. Infolgedessen ist der negative Auftrieb des Heckteiles etwas kleiner als der positive Auftrieb des Bugteiles. Im ganzen ergibt sich somit durch den ReibungseinfluB ein positiver Auftrieb, den man auch als Reibungsauftrieb bezeichnet. Dieser Sachverhalt ist auch aus Abb. 9.17 fur die Auftriebsverteilung zu ersehen. Der Reibungsauftrieb bewirkt eine Anderung des Momentes, und zwar, bezogen auf die Querachse durch die Rumpfmitte, ein zusatz- liches kopflastiges Moment.

Einen Weg zur naherungsweisen Berechnung dieses Reibungseinflusses mit Hilfe der Grenzschichttheorie hat X. Hafer [13] angegeben. Man ermittelt den Verlauf der Grenzschichtverdrangungsdicke langs der Rumpfoberflache bei axialer Anstromung. Dabei ergibt sich in der Nahe des Hecks ein ziemlich starkes Anwachsen der Grenzschichtdicke, wie es in Abb. 9.19 angegeben ist. Dies wirkt sich auf die Druckverteilung so

b*——————————— lR

Abb. 9.19. Erlauterungsskizze zum ReibungseinfluB auf die Umstromung yon Rumpfkorpern.
<5X (x) = Verdrangungsdicke der Grenzschicht.

aus, daB in Gl. (9.42) an Stelle des orthchen Rumpfradius R(x) der um die Verdrangungsdicke <5X(#) vergroBerte Radius [R(x) – f йі(ж)] zu setzen ist. Aus dieser reibungskorrigierten Druckverteilung ermittelt man durch Integration iiber den Umfang die Auftriebsverteilung. In Abb. 9.17 ist die so nach [13] berechnete Auftriebsverteilung mit ein-

getragen. Durch die Reibungskorrektur wird besonders in der Nahe des Hecks eine bessere Gbereinstimmung mit der Messung erzielt.

Aus der Auftriebsverteilung erhalt man durch weitere Integrationen den Auftrieb, das Nickmoment sowie die Neutralpunktlage. In Abb. 9.20 ist fur mehrere rotationssymmetrisehe Riimpfe, die in [43] vermessen wurden, der Auftriebsanstieg dcARjdot, der Momentenanstieg dcMRld(x

und die Neutralpunktlage xNRjlR fiber dem reziproken Rumpfdicken – verhaltnis ^/4max aufgetragen. Die Kurven I gelten fur die Theorie ohne Reibung, die Kurven II fur die Theorie mit Reibung nach X. Hafer [13]. Die Theorie mit Berucksichtigung der Reibung stimmt recht gut mit den Messungen uberein.

9.221 Druckverteilung nach der Method© der Quell-Senkenbelegung.

Die Methode der Quell-Senkenbelegung fur axial angestromte Rotations – korper wurde zuerst von G. Fuhrmann [10] eingehend dargestellt. Die Grundlagen dieses Verfahrens wurden bereits in Кар. 2.35.12 angegeben. Auch wurde dort an Hand eines Beispieles gezeigt, daB die theoretisch berechnete Druckverteilung gut mit Messungen ubereinstimmt, vgl. Abb. 2.31.

Die Stromung um einen axial angestromten Rotationskorper kann nach Abb. 9.4 durch eine raumliche Quellverteilung q(x) auf der Rumpf –

achse, der eine Translationsstromung iiberlagert ist, erzeugt werden. Man vergleiche hierzu die Ausfuhrungen fiir den ebenen Fall in Кар. 6.33. Die Quellverteilung q (x) muB die Schliejiungsbedingung

h

jq(x)dx = 0 (9.6)

о

erfiillen, damit sich eine geschlossene Rumpfkontur ergibt.

Das Geschwindigkeitspotential der Quell-Senkenverteilung ist unter Verwendung von Zylinderkoordinaten x und r nach Gl. (2.130):

h

1 Г q(x’) dx’

4я J у (x — x’)2 + r2 о

Fur die induzierten Geschwindigkeitskomponenten in axialer und radialer Richtung erhalt man hieraus:

Ir

, x дФ 1 C V(x’) (x — x’)dx’ tf o

u(x, r) = — = — f — v (9.8)

8x 4я J _ x’)2 + г*3

h

• Г q(x’) dx’

71 J i(x — x’)2 – j – r2

Den Zusammenhang zwischen der Quellverteilung q (x) und der Rumpf – kontur R(x) findet man durch Anwendung der Kontinuitatsgleichung auf das in Abb. 9.4 angegebene Volumenelement ABCD zu:

(Uoo + у) nR2 + qdx = w ^ •

Hieraus folgt fur die Quellverteilung:

«(*) = я J – [(C/co + *) 2Р].

Fur schlanke Rumpfe ist и £7^, mithin also:

Dabei bedeutet FR(x) — nR2(x) den ortlichen Rumpf querschnitt. Diese Beziehung fur die Quellverteilung erfiillt die SchlieBungsbedingung Gl. (9.6) von selbst, wenn am Bug und Heck FR = 0 ist.

Fiir die Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung auf der Ober – flache von schlanken Rumpfkorpem benotigt man die Werte der indu­zierten Geschwindigkeiten и und wr nach Gl. (9.8) und (9.9) fiir kleine Werte von r. Die Ermittlung dieser Werte erfordert besondere Sorgfalt, da auf der Rumpfachse selbst die induzierten Geschwindigkeiten singular sind. Die Entwicklung von и und wr fiir kleine Werte von r ergibt unter der Annahme, daB dqjdx in der Umgebung des Punktes x’ = x stetig ist:

u(x, r -> 0) =

wr(x, r ->• 0) = (9.11b)1

Aus diesen beiden Gleichungen erkennt man, daB auf der Rumpfachse (r = 0) die beiden Komponenten der induzierten Geschwindigkeit un – endlich groB werden. Hierin besteht ein grundlegender Unterschied gegemiber dem ebenen Fall (Profiltheorie), vgl. Gl. (6.118).

Es moge an dieser Stelle fur die radiale Geschwindigkeitskomponente noch der Grenzwert (Randbedingung) auf der Rumpfachse angemerkt werden; es gilt

lim(r«>r)= UXR^, (9.12)

r—>0 ax

was sich sofort ergibt, wenn man Gl. (9.10) in (9.11b) einsetzt.

Somit erhalt man schlieBlich fur die induzierten Geschwindigkeiten auf der Oberfldche des schlanken Rumpfes (r = R(x)) aus den Gin. (9.11 a) und (9.11b) die folgenden Werte, wenn noch fur die Quellverteilung q(x) die Beziehung (9.10) eingesetzt wird:

wr(x) dR(x)

TJ о© dx

Die letztere Gleichung ist gleichbedeutend mit der kinematischen Stromungsbedingung, welche aussagt, daB auf der Oberflache des Rumpfes die Geschwindigkeitsrichtung tangential zur Oberflache ist.

Druckverteilung. Fur die Druckverteilung auf der Oberflache des Rumpfes erhalt man aus der Bernoullischen Gleichung:

d2(R2) = Г(d2(R2) (d*(R2) 1

dx2 ~ 2 [ dx2 Д-о+ dx2 )x+oy

Hierin bedeutet W = (f/oo + u)2 + die Geschwindigkeit auf der Rumpfkontur.

Fur schlanke Rtimpfe kann man ebenso wie in der Profiltheorie des Tragflugels die in den induzierten Geschwindigkeiten quadratischen Glieder vernachlassigen. Damit erhalt man aus dieser Gleichung als erste Naherung:

cp(x) = — 2 (erste Naherung). (9.15)

U OO

Eine genauere Formel fur die Druckverteilung ergibt sich durch Beriick – sichtigung des Gliedes w2r, weil nach Gl. (9.14) wr proportional zur Neigung dR/dx ist, und deren EinfluB damit besser erfaBt wird. Somit ist in zweiter Naherung:

Die Gin. (9.15) und (9.16) gestatten zusammen mit Gl. (9.13) anzugeben, in welcher Weise der Druckbeiwert vom Rumpf dickenverhaltnis SR — dRm3iXllR abhangt. Man findet den Zusammenhang:

Cp(x) = U(x) + g(x) Іпдл] 8%, (9.17)

wobei die Funktionen / (x) und g(x) nur von der Form des Rumpfes, aber nicht von dem Dickenverhaltnis abhangig sind. Insbesondere gilt

Beispiele. Im folgenden sollen einige Beispiele zu dieser Methode der Quell-Senkenbelegung besprochen werden.

Rotationsellipsoid: Fur ein Rotationsellipsoid mit dem Dickenver­haltnis dR — dRm&JlR ist mit X = x/lR:

j – =3*Уі(1 – X). (9.19)

lR

Damit ergibt sich fiir die induzierte Geschwindigkeit u(x) nach Gl. (9.13) :

In Abb. 9.5 ist die Druckverteilung fiir das RotationselUpsoid mit dem Dickenverhaltnis dR = 0,1 dargestellt, und zwar sowohl fur die erste Naherung nach Gl. (9.15) als auch fiir die zweite Naherung nach Gl. (9.16). Zum Vergleich ist auch die exakte Losung eingetragen, liber die im nachsten Abschnitt berichtet wird. Die zweite Naherung stimmt mit der
exakten Losung langs der ganzen Kontur gut xiberein, wahrend die erste Naherung im vorderen und hinteren Teil Abweichungen aufweist.

Fur die maximale Obergeschwindigkeit auf dem Rotationsellipsoid, die bei X = liegt, ergibt sich aus Gl. (9.20):

^ = -(l + lnf)4- (9.21)

In Abb. 9.6 ist dieser Wert in Abhangigkeit vom Rumpfdickenverhaltnis dargestellt. Auch hier ist die exakte Losung zum Vergleieh mit einge – tragen. Bei groBem Dickenverhaltnis ergibt die exakte Losung groBere Werte als die Naherungslosung nach der Quell-Senkenmethode bei An – ordnung der Quellen auf der Achse. Ferner ist in Abb. 9.6 auch noch die tFbergeschwindigkeit fur das ebene Problem des Ellipsenprofils nach Abb. 6.29 mit eingetragen. Hierfiir gilt umax/= S(= дд). Man er – kennt aus dem Vergleieh der Kurven „ЕШрзепргоШ“ und „Ellipsoid", daB beim Rotationskorper die maximale t)bergeschwindigkeit erhebhch kleiner ist als beim Fliigelprofil gleichen Dickenverhaltnisses.

Rotationsparaboloid: Fiir ein Rotationsparaboloid ist

■p = 2<5ЛХ(1 – X). (9.22)

Fur die induzierte Geschwindigkeit u(X) ergibt sich aus Gl. (9.13):

^ = 2 [1 – 6X (1 – X)] [3 + lnX(l – X) + 2In<5д] d%. (9.23)

u 00

Die hiernach berechnete Druckverteilung (zweite Naherung) ist in Abb. 9.5 fur dR — 0,1 als Kurve 2 dargestellt. Fur die maximale t)ber – geschwindigkeit, die wieder bei X = liegt, ergibt sich aus Gl. (9.23):

^ = – (з + 21п|)4. (9.24)

Auch dieser Wert ist in Abb. 9.6 als Kurve 2 dargestellt.

Die bisherigen Rechnungen gelten fiir die Anordnung der Quellver- teilung auf der Rumpfachse. In Abb. 9.5 und 9.6 sind auch Ergebnisse fiir die Anordnung von Quellringen auf der Korperoberflache jeweils als Kurve 1 eingetragen. Diese Losungen konnen als, exakt‘ angesehen werden. Die betrachtliche Verbesserung der Theorie bei der Oberflachen – belegung gegeniiber der Achsbelegung ist aus Abb. 9.6 ersichtlich.

Andere Rotationskorper: In Abb. 9.7 ist noch die Druckverteilung fiir einen Rotationskorper angegeben, der aus einem halben Rotations – ellipsoid und einem daran angesetzten unendlich langen zylindrischen Stiick besteht. An der Stelle des Krummungssprunges х/1Ко = ist bei der Auswertung von Gl. (9.13) die dazu angegebene Fufinote zu beriicksichtigen. Hier ergibt sich der besonders gekennzeichnete Wert von Cp.[37] SchlieBlich ist noch in Abb. 9.8 die Druckverteilung eines Rotationskorpers angegeben, der vorn aus einem halben Ellipsoid, hinten aus einem halben Paraboloid und einem zylindrischen Mittel-

stuck besteht. Fur die beiden besonders gekennzeichneten Punkte an den Stellen des Kriimmungssprunges gilt das bereits zu Abb. 9.7 Gesagte.

9.222 Exakte Losungen. Es m5gen jetzt noch einige Angaben uber exakte Losungen fur axial angestromte Riimpfe gemacht werden. Solche exakte Losungen der raumlichen Potentialgleichung lassen sich in geschlossener Form nur fur wenige Falle angeben. Wir be – schranken uns auf einige Angaben fur das axial angestromte drei – achsige Ellipsoid, das zuerst von L. B. Tuckermann [45] und A. F. Zahm [51] und spater ausfuhrlicher von K. Maruhn [28] behandelt worden ist. Sind а, b und c nach Abb. 9.9 die Halbachsen des Ellipsoids, das in

Richtung der x-Achse angestromt wird, so gilt fur die Druckverteilung auf der Oberflache des Ellipsoids nach [28]:

Dabei liegt der Koordinatenursprung im Mittelpunkt des Ellipsoids. Die GroBe A hangt von den beiden Achsenverhaltnissen а/с und b/c ah ; sie ist nach [28] in Abb. 9.10 angegeben.

Den Sonderfall des axial angestromten Rotationsellipsoids erhalt man fur b = c. Hierfur ergibt sich aus Gl. (9.25):

(9.26)

Es bedeutet hierbei b/a = dR das Dickenverhaltnis des Rotationskorpers. Die Auswertung von Gl. (9.26) ist in Abb. 9.5 als exakte Losung ein – getragen. Das Druckminimum liegt bei x — 0 und hat den Wert cpmin = 1 — A2. Somit ergibt sich fur die groBte Gbergeschwindigkeit:

(9.27)

17 ScWichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

dR ergibt sich aus den drei vorstehenden Gleichungen die bereits nach der Singularitatenmethode gefundene Beziehung (9.21).

9.223 EinfluB der Reibung. Bei den bisherigen Betrachtungen dieses Kapitels wurde durchweg das stromende Medium als reibungslos und inkompressibel angenommen. tlber den EinfluB der Kompressibilitat auf die aerodynamischen Eigenschaften eines Rumpfes wird in den folgenden Abschnitten dieses Kapitels noch berichtet werden. Hier mogen zunachst nur einige Angaben iiber den EinfluB der Reibung bei inkompressibler Stromung gemacht werden (EinfluB der Reynoldsschen Zahl). Beim axial angestromten Rotationskorper ist der EinfluB der Reibung auf die Druckverteilung bei einigermaBen groBen Reynolds – Zahlen (Re > 105) recht klein. Dies erkennt man z. B. aus Abb. 2.31, wo die reibungslos gerechnete Druckverteilung mit Messungen ver – glichen ist. Die geringe Abweichung zwischen der potentialtheoretischen und der in der Stromung mit Reibung vorhandenen Druckverteilung

bedingt den Druckwiderstand des Rotationskorpers. Zu diesem kommt der durch die Wandschubspannung verursachte Reibungswiderstand hinzu, vgl. Кар. 4.16.

Will man den EinfluB der Reibung bei der Umstromung von Rumpf- korpern bestimmen, so hat man fur diese Korper die Berechnung der Grenzschicht in ahnlicher Weise wie fur Tragfliigelprofile durchzufiihren. Wahrend beim Tragfliigelprofil die Grenzschichten zweidimensional sind, liegen bei den axial angestromten Rumpfkorpern mit Kreisquerschnitten rotationssymmetrische Grenzschichten vor. Die Berechnungsverfahren fur die letzteren sowohl bei laminarer als auch bei turbulenter Stromung sind denjenigen der ebenen Grenzschichten ahnlich, welche in Кар. 4.45 und 4.8 erlautert wurden. Die Berechnung der Grenzschicht fur einen vorgegebenen Korper Uefert die Verteilung der Grenzschichtdicken (Impulsverlustdicke und Verdrangungsdicke) und die eines Formpara – meters der Grenzschichtprofile langs der Kontur, die den Widerstand und die Lage des Ablosungspunktes bestimmen. Mit der Berechnung des Widerstandes von Rotationskorpern haben sich A. D. Young [50] und N. Scholz [39] eingehend befaBt. Dabei hat sich ergeben, daB der durch die Wandschubspannung hervorgerufene Widerstand von Rotations­korpern im allgemeinen gleich ist demjenigen der langsangestromten ebenen Platte gleicher Oberflache und gleicher auf die Rumpflange bezogener Reynoldsscher Zahl. Fur vollturbulente Stromung laBt sich der Rumpfwiderstand infolge Reibung WRr naherungsweise aus dem Plattenwiderstand WP nach folgender Formel ermitteln:

WRr=WP(l + cdR) (9.28)

mit c ^ 0,5. Dabei bedeutet WP den Widerstand der langsangestromten ebenen Platte, welche die gleiche Oberflache 0R und die gleiche Lange lR wie der Rotationskorper hat. Es ist also WP = cfORqwobei fur die glatte Oberflache der Beiwert cf aus Abb. 4.41 entnommen werden kann. Weitere Angaben liber Rumpfwiderstande findet man bei S. F. Hoerner

[15] .

9.21 Allgemeines

Nachdem im vorigen Abschnitt einige experimentelle Ergebnisse liber die Aerodynamik des Rumpfes besprochen wurden, soil jetzt die Theorie der Stromung um Riimpfe behandelt werden. Die Rumpf – theorie laBt sich, ahnlich wie die Profiltheorie, nach zwei verschiedenen Verfahren beschreiben, deren Grundlagen in Кар. II bereitgestellt wurden. Das erste Verfahren besteht in der Beschaffung von exakten Losungen der raumlichen Potentialgleichung, die jedoch nur fur wenige Sonderfalle gelingt. Das zweite Verfahren ist die sogenannte Singu­lar itatenmethode, bei welcher der umstromte Rumpfkorper durch Quellen, Senken und gegebenenfalls Dipole auf der Rumpfachse ersetzt wird. Dieses Verfahren ist fur Rotationskorper recht einfach. Eine Erweiterung dieser Methode zur Berechnung der Stromung um Rumpfkorper besteht in der Anordnung von ringformigen Quellverteilungen auf der Korper – oberflache, vgl. I. Lotz [27], F. Riegels [35] sowie J. L. Hess [14]. Hier – bei konnen auch Korperformen erfaBt werden, deren Querschnitte von der Kreisform nicht allzu stark abweichen.

Es moge zunachst der Fall des axial angestromten Rmnpfes und danach der schrag angestromte Rumpf behandelt werden.

In den nachsten Abschnitten werden wir uns eingehend mit der Aerodynamik des Rumpfes befassen. Um eine Vorstellung von der GroBe der an Rumpfkorpern auftretenden Krafte und Momente zu geben, moge hier vorweg eine typische Messung an einem Rumpf mit – geteilt werden. In Abb. 9.3 ist das Ergebnis einer Dreikomponenten-

messung eines rotationssymmetrischen Rumpfes nach [43] angegeben. Es ist die gleiche Darstellung wie beim Tragflugel nach Abb. 5.13 ge – wahlt worden. Dabei sind fur die Komponenten der resultierenden Kraft (Auftrieb und Widerstand) sowie fiir das Nickmoment die folgenden dimensionslosen Beiwerte eingefiihrt worden:

Auftrieb: Ar = cAR Ff:3qx,

Widerstand: WR = cWR F|/3 ,

Nickmoment: MR = cMR VRqx.

1 DaB im vorliegenden Fall das Rumpfvolumen als BezugsgroBe fiir die dimen­sionslosen Beiwerte eingefiihrt wird, hangt mit der Theorie der Luftkrafte von Rumpfkorpern zusammen, vgl. Кар. 9.22. Der Widerstandsbeiwert wird auch haufig auf die Oberflache 0R oder die Stimflache FRm&x des Rumpfes bezogen.

Es ist q„з = (qI2) Uls der Staudruck der Anstromungsgeschwindigkeit Uqq und VR das Volumen des Rumpfes. In Abb. 9.3 sind der Auftriebs – beiwert cAR, der Widerstandsbeiwert cWR und der Nickmomenten – beiwert cMR in Abhangigkeit vom Anstellwinkel oc angegeben. Die Lage der Bezugsachse fur das Nickmoment ist aus der Skizze des Rumpfes in Abb. 9.3 zu ersehen. Der Auftriebsbeiwert in Abhangigkeit vom An­stellwinkel oc zeigt in der Umgebung von oc — 0 einen linearen Verlauf. Bei groBeren Anstellwinkeln wachst cAR starker als linear an. Diese Auftriebscharakteristik cAR(oc) ist sehr ahnlich derjenigen eines Trag – fliigels von sehr kleinem Seitenverhaltnis, vgl. Abb. 7.49. Der Wider­standsbeiwert cWR ist naherungsweise proportional zum Quadrat des Anstellwinkels in ahnlicher Weise wie beim Tragfliigel, vgl. Abb. 5.13. Der Nickmomentenbeiwert andert sich in einem groBen Anstellwinkel – bereich nahezu linear mit dem Anstellwinkel.

In der unter [43] angegebenen Arbeit sind MeBergebnisse fur mehrere rotationssymmetrische Riimpfe enthalten. Auch Arbeiten von E. N. Jacobs und К. E. Ward [17] sowie auch von E. Moller und H. Trie – nes [30] mogen in diesem Zusammenhang erwahnt werden.

AuBer den vorstehend erorterten Kraften und Momenten treten am Rumpf auch weitere Krafte und Momente infolge der Drehbewegung des Flugzeuges sowie bei seitlicher Anstromung auf, wie sie fur den Fliigel in Кар. 5.3 besprochen wurden.

IX. Aerodynamik des Rumpfes

9.1 Einfiihrung in die Aerodynamik des Rumpfes

9.11 Geometrie des Rumpfes

Wahrend der Tragflugel eines Flugzeuges in erster Linie die Auf – gabe hat, den Auftrieb zu erzeugen, hat der Rumpf im wesentlichen die Aufgabe, die Nutzlast des Flugzeuges aufzunehmen. Daraus ergibt sich, daB der Fliigel bei vorgegebenem Auftrieb und der Rumpf bei vorgegebenem Volumen einen moglichst kleinen Widerstand haben muB.

Hieraus folgt, daB der Rumpf im allgemeinen die geometrische Gestalt eines langen, spindelformigen Korpers besitzt. Der Rumpf hat somit die Form eines Korpers, bei welchem die eine Dimension (Lange) im Vergleich zu den beiden anderen Dimensionen (Hohe und Breite) sehr groB ist, wahrend die beiden letzteren von gleicher GroBenordnung sind. In Abb. 9.1 ist eine Reihe von idealisierten Rumpfformen zu – sammengestellt. Im allgemeinen hat der Rumpf eine Symmetrieebene, die mit der Symmetrieebene des Flugzeuges zusammenfallt. Der Schnitt des Rumpfes in der Symmetrieebene und senkrecht zur Symmetrie­ebene (GrundriB) hat eine schlanke, profilformige Gestalt. Es werden im folgenden die wichtigsten geometrischen Parameter des Rumpfes besprochen, die fur seine aerodynamischen Eigenschaften von Bedeutung sind.

Zur Beschreibung der Geometrie des Rumpfes wird in analoger Weise wie in Кар. 5.1 fur den Tragflugel ein rumpffestes rechtwinkliges Koordinatensystem nach Abb. 9.1 zugrunde gelegt mit:

x-Achse: Rumpflangsachse, nach hinten positiv;

y-Achse: Rumpfquerachse, in Flugrichtung gesehen nach rechts

positiv; senkrecht zur Rumpfsymmetrieebene;

z-Achse: Rumpfhochachse, nach oben positiv.

H. Schlichting et al., Aerodynamik des Flugzeuges © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

Im allgemeinen empfiehlt es sich, den Koordinatenursprung in die Rumpfnase zu legen. Bei rotationssymmetrischen Riimpfen ist es haufig zweckmaBig, ein Zylinderkoordinatensystem nach Abb. 9.Id mit r als Radius und # als Polarwinkel zu verwenden.

Die Hauptabmessungen des Rumpfes sind nach Abb. 9.1:

die Rumpflange lR,

die groBte Rumpfbreite bRm&x,

die groBte Rumpfhohe hRmSiX.

Die Rumpfquerschnitte in der у, г-Ebene haben meistens eine ovale Gestalt (Abb. 9.1b und c). Der einfachste Fall ist der Rumpf mit kreis­formigen Querschnitten nach Abb. 9.1 d. Bei diesem rotationssymmetri­schen Rumpf ist 6Лтах = hRmax = dRm&x, wobei dRmax als groBter Rumpf – durchmesser bezeichnet werden soil. Aus den vier angegebenen Haupt – abmessungen lassen sich die folgenden Verhaltniszahlen bilden:

_ $R Rumpfdickenverhaltnis,

Ir

t*R max. _ Rumpfbreitenverhaltnis,

h

= <5д* Rumpfhohenverhaltnis,

Ir

^Дпіах = Яд Rumpfquerschnittsverhaltnis.

®йшах

Die ersten drei GroBen sind ein MaB fur das Schlankheitsverhaltnis des Rumpfes. Fur den Rumpf mit kreisformigem Querschnitt ist Sr = Sr = d” und Яд = 1.

Die Geometrie des Rumpfes kann nach Abb. 9.1a dadurch noch naher beschrieben werden, daB man die Verbindungslinie der Schwer – punkte der Querschnittsflachen FR(x) als Rumpfmittellinie oder Rumpf – skelettlinie einfiihrt. Die Verbindungslinie des vorderen und hinteren Punktes der Skelettlinie wird als Rumpfachse bezeichnet; sie soil mit der rr-Achse zusammenf alien. Die Rumpf skelettlinie zR(x) nach Abb. 9.1 e liegt in der Rumpfsymmetrieebene. Wir bezeichnen die groBte Er – hebung der Skelettlinie iiber der Rumpfachse mit fR.

Eine allgemeine Rumpfform nach Abb. 9.1a kann man sich in analoger Weise wie beim Tragfliigel nach Кар. 5.13 entstanden denken aus einer Skelettlinie zR(x), auf welcher eine Querschnittsverteilung Fr(x) angeordnet ist. Die Querschnittsverteilung wird auch als Rumpf – tropfen bezeichnet. Fur den Rumpftropfen sind bei Riimpfen mit nicht- kreisformigen Querschnitten die Verteilungen hR(x) und bR(x) nach Abb. 9.1b und c charakteristisch. Bei Riimpfen mit kreisformigen Querschnitten ist der Rumpftropfen allein durch die Radiusverteilung R(x) bestimmt (Abb. 9.1 d). Wahrend beim Tragfliigel die geometrischen Parameter (Tropfen und Skelett) in erster Linie im Hinblick auf die aerodynamischen Auswirkungen gewahlt werden konnen, ist dieses beim Rumpf nur in beschranktem Umfang moglich, da bei den Riimpfen neben den aerodynamischen wichtige andere Gesichtspunkte zu beriick – sichtigen sind. Fiir theoretische Untersuchungen iiber die aerodyna­mischen Eigenschaften von Riimpfen sind die in Кар. 5.13 besprochenen Profiltropfen durchaus geeignet.

Eine einfache Rumpfform fiir Unterschallgeschwindigkeit ist das RotationselUpsoid nach Abb. 9.2 a. Ein weiterer einfacher rotations- symmetrischer Rumpf, der insbesondere bei t)berschallfluggeschwindig – keit verwendet wird, ist das Rotationsparaboloid mit spitzer Nase[36]
nach Abb. 9.2b. Mit Rticksicht auf den Einbau eines Strahltriebwerkes werden auch Rumpfformen gewahlt, welche am hinteren Ende stmnpf abgeschnitten sind.

Unter den BaugroBen des Rumpfes spielen neben der Rumpflange und dem Rumpfdurchmesser das Volumen und die Oberfldche des

Abb. 9.2. Besondere rotations – symmetrische Riimpfe. a) Rotationsellipsoid; b) Rotationsparaboloid.

Rumpfes eine wichtige Rolle. Fiir rotationssymmetrische Riimpfe gilt fur das Volumen:

Ir

VR = n J R2(x) dx9 (9.1)

о

und fiir die Oberflache:

Ir

0r — 2n J R(x) ds, (9.2)

0

wobei s die Bogenlange langs der Rumpfkontur und l’R die zugehorige auf der Rumpfkontur gemessene Lange eines Meridianschnittes ist.

AbschlieBend mogen noch einige Angaben fiir das Rotationsellipsoid und das Rotationsparaboloid (lR = lRo) nach Abb. 9.2 gemacht werden. Fiir das Rotationsellipsoid gilt:

Vr.— — Ir Fr шах >

und fiir das Rotationsparaboloid:

Vr = — IrFдтах. (9.4)

Dabei bedeutet lR die Rumpflange und FRm8LX die groBte Rumpfquer – schnittsflache, die auch als Stirnflache bezeichnet wird.