Category Aerodynamik des Flugzeuges

Die bisherigen Ergebnisse zur Tragfltigeltheorie bei kompressibler Stromung haben gezeigt, da6 die aerodynamischen Beiwerte beim Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit sieh sehr stark andern. Wahrend beim Tragfliigel unendlieher Spannweite die linearen Nahe – rungsmethoden fiir Unter – und Dberschallgeschwindigkeit bei An – naherung an die Schallgeschwindigkeit, Ma^ -> 1, versagen, erhalt man fiir den Tragfliigel endhcher Spannweite fiir Ma^ = 1 in gewissen Fallen Losungen, die physikahsch einigermaBen plausibel erscheinen. Dabei ergeben sich fiir die mit dem Auftrieb zusammenhangenden Bei­werte beim Grenziibergang zu Ma^ = 1 von beiden Seiten die gleichen

Grenzwerte (vgl. z. B. Abb. 8.59). Bei der Berechnung des Tragfliigels endlicher Dicke bei Nullauftrieb dagegen versagen die linearen Nahe- rungstheorien bei Annaherung an Ma^ — 1, weil die Driicke am Ort des Fliigels unendlich groBe Werte annehmen. Fur dieses verschiedene Ver – halten des Auftriebsproblems und des Dickenproblems beim Grenz – ubergang Ma^ -> 1 vergleiche man u. a. [76]. Um fur das Dickenproblem bei Ma00 = 1 brauchbare Aussagen zu erhalten, muB man deshalb zu nichtlinearen Naherungsverfahren iibergehen (v. Karmansche Ahnlich – keitsregel, Кар. 8.23).

Im folgenden sollen fiir das Auftriebsproblem bei Ma^ = 1 einige Ergebnisse mitgeteilt werden, die nach einem Verfahren von E. Truk – kenbrodt [75] erhalten worden sind; man vergleiche hierzu auch die Arbeiten von K. W. Mangler [48], K. W. Mangler und D. G. Randall [49] sowie J. R. Spreiter [69].

Abb. 8.78. Aerodynamische Beiwerte von angestellten Pfeilfliigeln bei Maoo = 1 nach [75]. a) Fltigelgeometrie; b) Auftriebsanstieg; c) Neutralpunktlage.

In Abb. 8.78 sind fiir zugespitzte Pfeilfliigel der Auftriebsanstieg und die Neutralpunktlage in Abhangigkeit von dem geometrischen Parameter Zt-/a fiir verschiedene Werte 1(/а0 angegeben. Abb. 8.78a zeigt die Fliigelgeometrie, Abb. 8.78b den Auftriebsanstieg und Abb. 8.78 c die Neutralpunktlage. Bemerkenswert ist, daB fiir 1{а ^ 1 (d. h. wenn die Hinterkante des Innenschnittes weiter hinten liegt als die Vorder – kante des AuBenschnittes) der Auftriebsanstieg fur alle Flugelformen gleich пЛ2 ist, in Gbereinstimmung mit den Gin. (8.82a) und (8.124). 1st jedoch lija < 1 (d. h. liegt die Hinterkante des Innenschnittes

|^d=£<x> ~&cd Abb. 8.79. Erlauterungsskizze zur Druckverteilung an ungewolbten Fliigeln bei Maoo = 1. Die weiCen Fl&chenteile tragen nichts zum Auftrieb bei, Acp = 0, weil fiir diese

a) die Spannweite in Tiefenrichtung konstant ist; b) die Spannweite in Tiefenrichtung abnimmt. Abb. 8.80. Auftriebsanstieg von Dreieckflugeln verschiedener Dicke; Seitenverhaltnis Л = 3 nach [13]; Vergleich mit linearer Theorie.

weiter vorn als die Vorderkante des AuBenschnittes), so ist der Auf­triebsanstieg kleiner als яЛ/2. Wie Abb. 8.78c zeigt, liegt der Neutral – punkt fur Zf/a ^ 1 bei xN/a = – f. Fur reine Dreieckfliigel (a0 = a = l() ergibt sich xN/li = – jj in Gbereinstimmung mit Gl. (8.125). Fur Z,-/a < 1 wandert der Neutralpunkt nach vorn. Die lineare Theorie fur Ma^ = 1

gestattet es auch, die Druckverteilung iiber die Fliigelflache zu be – rechnen. Dabei ergibt sich fur ungewolbte Fliigel die Aussage, daB die- jenigen Fliigelteile, bei welchen die ortliche Spannweite in Tiefen – richtung konstant bleibt (Abb. 8.79a) oder abnimmt (Abb. 8.79b), nichts zum Auftrieb beitragen (Acp = 0).

SchlieBlich sind in Abb. 8.80 noch einige MeBergebnisse [13] iiber den Auftrieb von Dreieckfliigeln bei Mach-Zahlen nahe Eins angegeben. Die Auftriebsanstiege dcAldoc sind in Abhangigkeit vom Parameter Л2{Ма10 — 1) dargestellt, der sich aus der Ahnlichkeitstransformation der kompressiblen Stromung ergibt. Die in der Theorie vorhandene ausgepragte Spitze іш Verlauf von dcA/d(x bei Ma^ = 1 wird durch die Messungen nicht in vollem MaBe bestatigt. Im Unterschall – und Dberschallbereich gibt die Messung jedoch die Theorie gut wieder.

Weitere experimentelle Ergebnisse iiber Tragfliigel bei transsonischer Stromung findet man bei C. W. Frick [19]. Im Zusammenhang mit der Theorie der transsonischen Stromung von Tragfliigeln endlicher Spann­weite sei auch auf die Arbeit von F. Keune [38] hingewiesen.

In neuerer Zeit haben D. W. Holder [30] und H. H. Pearcey [55],

[56] zusammenfassende Dberblicke iiber die Probleme der transsoni­schen Stromung um Tragfliigel gegeben.

8.431 Allgemeines. Nachdem in den vorigen Abschnitten der an- gestellte Tragfliigel endlicher Spannweite bei Uberschallgeschwindigkeit behandelt wurde, soil jetzt fur den Tragfliigel endlicher Dicke der Sonderfall naher erortert werden, bei dem der Auftrieb Null ist. Hierbei interessieren die Druckverteilung iiber die Fliigelkontur und der daraus resultierende Wellenwiderstand. Der letztere hangt stark von der Profil – dicke ab, man vergleiche hierzu die Ausfiihrungen iiber das ebene Problem in Кар. 3.53 und Кар. 8.13. Das allgemeinste Verfahren zur Bestimmung der Druckverteilung von Fliigeln endlicher Dicke bei Nullauftrieb ist die Quell-Senken-Methode von Th. v. Karman [35]. Die Grundlagen dieses Verfahrens fiir den mit Uberschallgeschwindigkeit angestromten Trag­fliigel wurden in Кар. 8.415 bereitgestellt.

Der Grundgedanke dieses Verfahrens besteht darin, daB die Grund- riBflache des vorgegebenen Tragfliigels in der x, y-Ebene mit einer Quell – verteilung q(x, y) belegt wird. Aus dieser erhalt man am Ort der Fliigel – flache die a:-Komponente der Geschwindigkeit u(x, y) nach Gl. (8.103) und die z-Komponente w(x, y) nach Gl. (8.104). Ist z^(x, y) = z0(#, y) die Kontur des Fliigels, so lautet die kinematische Stromungsbedingung nach Gl. (7.221):

Fiihrt man dies in Gl. (8.104) ein, so hat man

(8.138)

und nach Einsetzen in Gl. (8.103) fiir denDruckbeiwert cp = —2u/U^:

ffierin bedeutet F’ den EinfluBbereich des Punktes x, y, wie er in Abb. 8.37 schraffiert angegeben ist. Hiernach kann bei vorgegebener Fliigelkontur z0(x, y) die Druckverteilung ermittelt werden.

Wellenwiderstand. Den Beiwert des Wellenwiderstandes des Fliigels erhalt man durch eine Integration der Druckverteilung tiber die Fliigel – flache F zu:

Cwo = У If Cp^’ ^ it dxdy‘ (8.140)

(F)

Diese Formel ist nur giiltig fur scharfkantige Profile.

In Кар. 8.22 wurde gezeigt, daB nach der Ahnlichkeitstheorie der Uberschallstromungen, Gl. (8.58b), der Druckbeiwert abhangig ist von folgenden GroBen: Dickenverhaltnis б = d/l, Zuspitzung Я — Za/Zt, Л tan (p und Л^Ма™ — 1, wobei Л das Seitenverhaltnis und cp der Pfeilwinkel ist. Somit erhalt man fiir den Widerstandsbeiwert bei Null – auftrieb, da dz0/dx zu б proportional ist, den folgenden allgemeinen Zusammenhang:

cWo = * © (Я, Л tan q>, Л І Mai ~ 1) • (8-141)

І Mai – 1

Diese Beziehung ist von groBem Wert fiir die iibersichtliche Darstellung von theoretischen und experimentellen Ergebnissen.

8.432 Rechteckfliigel bei Nullauftrieb. Fiir die Tragflache mit recht- eckigem GrundriB und iiber die Spannweite konstantem Profil z0(x, y) = zQ(x) ergibt sich nach Einsetzen von Gl. (8.139) in Gl. (8.140) sowie nach Ausfiihrung von zwei Integrationen, vgl. K.-R. Dorfner [11]:

і

= – 4 f dX fur Л’ ^ 1, (8.142a)

Улг<& – і J dXl

fiir А rg 1. (8.142b)

Es ist bemerkenswert, daB fiir A = A ^Ma^ — 1 1 die Wider-

standsformel fiir den Rechteckfliigel endlicher Spannweite mit der- jenigen des Rechteckfliigels unendlicher Spannweite iibereinstimmt, vgl. Tab. 8.2 und Gl. (3.140).

Fur ein bikonvexes Parabelprofil Z0 = 26X(1—X) erhalt man nach Ausfiihrung der Integrationen:

-^-=1 (Л’^1), (8.143a)

cW0oo

= — [4 arcsin А’ — A’ /l/l — A’2 — (6 — A’2) ar cosh —\

cwooo L A’)

(A’ ^ 1). (8.143b)

Dabei ist nach Gl. (8.22 a):

cwooo = —,….. (Parabel). (8.144 a)

31/Ж<4 – 1

Die numerische Auswertung der Gl. (8.143) ist in Abb. 8.73 angegeben.

8.433 Dreieckfliigel bei Nullauftrieb. Es sollen noch einige Ergebnisse fiir Dreieckfliigel (Deltafliigel) angegeben werden. Dreieckfliigel mit Doppelkeilprofil wurden von A. E. Puckett [60] und solche mit bi – konvexem Parabelprofil von B. Beane [3] berechnet. In Abb. 8.74 sind die Beiwerte des Wellenwiderstandes bei Nullauftrieb fiir das Doppel­keilprofil und das bikonvexe Parabelprofil mit 50% Dickenriieklage in Abhangigkeit von dem Parameter m = ]/Ma— 1 Л/4 angegeben. Fiir das Doppelkeilprofil ist nach Gl. (8.23):

4<52

cWo = —=== (Doppelkeil). (8.144b)

male – 1

Fiir Dberschallvorderkanten (m > 1) ist cW0/cW0oo nahezu unabhangig von der Mach-Zahl, wahrend bei Unterschallvorderkanten (m < 1) sich cW0lcW0oo stark mit der Mach-Zahl andert. Beide Kurven haben einen ausgepragten Knick bei m == 1, d. h. wenn die Mach-Linie die
gleiche Neigung hat wie die Vorderkante. Die Kurve fiir das Doppel – keilprofil hat auBerdem einen Knick bei m = 1/2, d. h. wenn die Mach – sche Linie parallel zur Linie der groBten Dicke ist.

Abb 8.74. Widerstandsbeiwert (Wellenwiderstand) bei Nullauftrieb fiir Dreieckfliigel (Deltafliigel) in AbMngigkeit von der Mach-Zahl. Profil I: Doppelkeilprofil, Срр0оо nach Gl. (8.144b); Profilll: Parabelprofil, cW0OQ nach Gl. (8.144 a); 0 < m < 1: Unterschallvorderkante; m > 1: tlberschallvorderkante.

Vergleich mit Messungen. In Abb. 8.75 sind einige Messungen fiir Dreieckfliigel mit Doppelkeilprofil mit 18% Dickenriicklage nach [45] angegeben. Dabei sind, ahnlich wie in Abb. 8.64, fiir m < 1 und m > 1 wieder verschiedene Darstellungen gewahlt worden. Die an elf Fliigeln fiir die Mach-Zahlen Ma^ = 1,62, 1,92 und 2,40 durchgefiihrten Messungen ordnen sich bei der hier gewahlten Darstellung sehr gut auf einem Kurven – zug an, womit die Ahnlichkeitsregel nach Gl. (8.141) ihre Bestatigung findet. Die theoretische Kurve nach [60] fiir die Dickenriicklage Xd — = 0,18 hat bei m = 1 einen hohen Spitzenwert, der durch die Messungen erwartungsgemaB nicht bestatigt wird, weil in diesem Fall die Vorder­kante gerade mit Schallgeschwindigkeit angestromt wird. Der Ver­gleich von Theorie und Messung leidet darunter, daB von den ge- messenen Widerstanden rechnerisch ermittelte Reibungswiderstande ab – gezogen werden, deren Ermittlung unsicher ist.

8.434 Weitere Beispiele. Die Ergebnisse weiterer Beispielrechnungen fiir allgemeine Dreieckfliigel sind in Abb. 8.76a nach [61] angegeben, und zwar fiir Doppelkeilprofile mit 50% Dickenriicklage. Die Kurven haben einen ausgepragten Knick bei m = 1, d. h. wenn die Machsche

Lime die gleiche Neigung wie die Vorderkante hat. Im Bereich der Unterschallvorderkante 0 < m < 1 tritt auBerdem ein Knick auf, wenn die Mach-Linie parallel zur Linie der groBten Dicke ist. Die Verlaufe sind

im ubrigen ahnlich wie beim Deltafliigel, Abb. 8.74, der hier mit einge – tragen ist. Entsprechende Auftragungen fur Pfeilflugel mit konstanter Tiefe zeigt Abb. 8.76b fur verschiedene Werte von Л coty. Es moge an – gemerkt sein, daB sich im Bereich der Dberschallvorderkante nach [11] der Wert

cwo m X – ^ л , 2

—— = —….. fur m > 1-|———————

cW0oo ]/m2- 1 Acoty

ergibt, falls die von der Spitze ausgehende Mach-Linie (Gerade g) die Hinterkante trifft.

AbschUeBend sind in Abb. 8.77 fur die in Abb. 8.68 bis 8.70 bereits behandelten drei Flugel (Trapezfliigel, Pfeilflugel und Dreieckfliigel) die Gesamtwiderstandsbeiwerte beim Auftrieb Null (Wellenwiderstand + Reibungswiderstand) in Abhangigkeit von der Mach-Zahl angegeben.

Abb. 8.76. Widerstandsbeiwerte (Wellenwiderstand) bei Nullauftrieb von Fliigeln mit verschiedenem

GrundriB.

a) Zuspitzung Я = 0; b) Zuspitzung A = 1;

0 < m < 1: Unterschallvorderkante; m > 1: t)berschallvorderkante.

Gestrichelte Kurve (g) nach Gl. (8.144 c).

Die drei Fliigel haben Doppelkeilprofil mit d/l = 0,05 und ein Seiten – verhaltnis von Л = 3. In dem dargestellten Machzahlbereieh betragt der Wellenwiderstand das zwei – bis dreifache des Reibungswiderstandes.

Der letztere wurde nach Abb. 4.42 fur eine Reynolds-Zahl Вві ^ 107 ermittelt. Da der Wellenwiderstand proportional zu (d/l)2 ist, kann man diesen Anteil und damit auch den Gesamtwiderstand beim Auftrieb Null im Dberschallbereich betraehtlich vermindern, wenn man das Dicken – verhaltnis d/l klein halt. Dieser Tatsache tragt der Flugzeugbau Rech – nung, indem fiir Dberschallflugzeuge extrem kleine Dickenverhaltnisse gewahlt werden; man vergleiche hierzu Abb. 5.10a.

8.421 Allgemeines. Bevor liber ein allgemeines Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Auftriebsverteilung von Tragfliigeln endhcher Spannweite bei Gberschallgeschwindigkeit berichtet wird, mogen im folgenden zwei besonders einfache Flugelformen behandelt werden, nam – Uch der Rechteckflugel und der Dreieckfliigel (Deltaflugel). Diese beiden Fliigel lassen sich grundsatzlich mit der verhaltnismaBig einfachen Me – thode der kegelsymmetrischen Strdmung berechnen. Fiir beliebige Fliigelformen dagegen hat man die oben erlauterten Singularitaten – methoden anzuwenden.

8.422 Rechteckflugel. Den einfachen Rechteckfliigel erhalt man nach Abb. 8.48 fiir у = Tt/2. Somit wird nach Gl. (8.94) m = oo. Beim t)ber – gang von der gepfeilten Vorderkante in Abb. 8.48a auf die ungepfeilte

Vorderkante (Abb.* 8.48b) verschwindet die von A ausgehende Mach – Linie, weil der Punkt A jetzt nicht mehr Storungszentrum ist. Deshalb erstreckt sich beim Rechteckfliigel der Bereich II mit konstanter Druck – verteilung jetzt auf die ganze Flache auBerhalb des Bereiches IV. Die Losung fiir die Randzone des Rechteckfliigels (Bereich IV) erhalt man aus Gl. (8.98) fiir m -> oo zu:

її – = — arccos(l + 2t), (8.116)

4b я

wobei t durch Gl. (8.98 a) gegeben ist. Diese Druckverteilung ist in Abb. 8.54 dargestellt. Sie wurde zuerst von H. Schlichting [64]

a) Л – 1 > 2;

b) 1 < Л – 1 < 2;

c) Л – 1 < 1.

untersucht. Man erkennt aus Abb. 8.54b, daB die Randzone nur einen halb so groBen Auftrieb wie ein flachengleiches Stuck in ebener Stromung besitzt. Diese Losung gestattet es, in einfacher Weise den Gesamtauftrieb eines Rechteckfliigels endlicher Spannweite zu ermitteln. Es gilt fiir den 14 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

Die Formel gilt, solange die beiden Randzonen sich nicht iiberschneiden, d. i. fur ЛІМаі 1 > 2 (Abb. 8.55a). Fur 1 < Л І Mai, 1 < 2 iiberschneiden sich die beiden Randzonen nach der Art von Abb. 8.55b. Die von den vor – deren Ecken ausgehenden Mach-Linien schneiden die Hinterkante des Fliigels. Fiir

А І Mai ~ 1 < 1 schneiden diese Mach-Linien die Seiten – kanten und werden dort reflek – tiert nach Art von Abb. 8.55 c. Die Druckverteilungen in den von zwei Mach-Kegeln ge – troffenen Bereichen (einfache Uberschneidung) lassen sich durch Dberlagerung gewinnen, vgl. Кар. 8.414.

Der Auftriebsanstieg des Rechteckfliigels ist in Ab – bildung 8.56 a dargestellt. Da – bei gilt Gl. (8.117) auch noch bis А У Mai — 1 = 1, wie hier nicht naher gezeigt werden kann, vgl. hierzu Abschnitt 8.414. In Abb. 8.56 b und 8.56 c sind auch noch die Neutral – punktlage und der Widerstands – beiwert aufgetragen. Abschlie – Bend ist in Abb. 8.57 fur einen Rechteckflugel vom Seitenverhaltnis A = 2,5 die Druckverteilung iiber Fliigeltiefe und die Auftriebsverteilung

uber Spannweite dargestellt. In Abb. 8.57 a sind diese Verteilungen fur die Mach-Zahl Ma^ = 1,89 und in Abb. 8.57b fur Ma^ = 1,13 ange – geben. Wie man leicht zeigt, besitzt ein Flugel mit Л ІMa^ — 1 = 1 ebenso wie bei Ma^ = 1 elliptische Zirkulationsverteilung.

АЪЪ. 8.57. Druckverteilung l&ngs Tiefe und Auftriebsverteilung langs Spannweite fiir die angestellte Rechteckplatte vom SeitenverhiLltnis Л = 2,5. а) Л ]/Ma[^ – 1 – 4: Ma^ = 1,89; b) Л ]/Ма^ – 1 = 4/3: Ma^ = 1,13.

8.423 Dreieckflugel. Als weiteres einfaches Beispiel moge der Dreieck – fliigel (Deltafliigel) behandelt werden. Bei diesem treten je nach GroBe der Machzahl Flugel mit Unterschall – und Gberschallvorderkante auf (Abb. 8.49 und 8.47).

tlberschallvorderkante. In diesem Fall hat man auf dem Flugel nur die Bereiche II und III nach Abb. 8.45 b zu unterscheiden. Die zugehorigen

Druckverteilungen sind in Tab. 8.5sowie in den Gin. (8.96a) und (8.96b) und in Abb. 8.47 b bereits angegeben worden.

Beriicksichtigt man den Mittelwert des Druckes iiber die Breite nach Gl. (8.97), so ergibt sieh der Gesamtauftrieb des Dreieckfliigels mit Uber – schallvorderkante zu

wobei A cv = — cv den mittleren Druckunterschied zwischen

*eb *eb, и *eb, о

dcA = 4 d<* ІMa^ – 1

Unter – und Oberseite der ungepfeilten Platte bedeutet. Mit Acp =4a/ У’Ма% — 1 hat man fur den Auftriebsbeiwert des Dreieckfliigels mit Uberschallvorderkante:

Somit hat man beim Dreieckfliigel mit Gberschallvorderkante den gleichen Auftriebsanstieg wie beim ebenen Problem, Gl. (8.17).

Der Neutralpunkt liegt im Flachenschwerpunkt, weil die in der Querrichtung gemittelten Druckunterschiede in der Langsrichtung konstant sind. Somit hat man fiir die Neutralpunktlage :

XN _ _2

li 3

Der gesamte Widerstand (induzierter Widerstand + Wellenwider – stand) ist:

W = Aa.

Somit ist

in Ubereinstimmung mit der ebenen Platte unendlicher Spannweite. Mit m = tany ^Ma% — 1 = УMa^ — 1 (Л/4) kann Gl. (8.120) auch in der Form

cw == л ш — (8.120a)

n Л

geschrieben werden.

Unterschallvorderkante. In diesem Fall hat man auf dem Fliigel nur den Bereich I nach Abb. 8.45a. Die zugehorige Druckverteilung ist in Tab. 8.5 sowie in Gl. (8.99) und in Abb. 8.49 bereits angegeben worden.

Unter Beriicksichtigung des Mittelwertes des Druckes iiber die Breite nach Gl. (8.99 a) ergibt sich der Gesamtauftrieb durch Integration iiber
giiltig fiir Ma^ > 1 und 0 < m < 1. In Abb. 8.58 ist das Verhaltnis der Auftriebsanstiege des Dreieckflxigels zu demjenigen der angestellten

ebenen Platte _________

(dcJdcK)^ = 4 / ]/Жа& — 1

iiber m aufgetragen unter Hinzunahme von Gl. (8.118b) fiir den Drei – eckfliigel mit t)berschallvorderkante. Sofern die Fliigelvorderkante als

Unterschallvorderkante:
0 < m < 1;
Uberschallvorderkante:
m > 1.

Unterschallkante wirkt (0 < m < 1), ist der Auftriebsanstieg des Dreieckfliigels erheblich kleiner, als wenn sie Gberschallkante ist.

Ein besonders zu beachtendes Ergebnis erhalt man aus der zweiten Formel in Gl. (8.122). Fiir sehr schlanke Fliigel (y sehr klein) geht m -> 0 fiir beliebige Mach-Zahl. Damit erhalt man aus Gl. (8.122) wegen E'{0) – 1:

y->0; Л->0: ^ = 2n tan у = — A. (8.123)

doc 2

Dabei ist tany = Л/4. Hiernach ist also fiir Ma^ > 1 der Auftriebs­anstieg sehr schlanker Fliigel unabhangig von der Mach-Zahl. Fiir Maее < 1 wurde das gleiche Ergebnis in Gl. (8.82 a) gefunden. Dies

ist die sogenannte Theorie schlanker Kdrper (Slender Body Theory) von R. T. Jones [31].

Fur Ma{oo = 1 ergibt sich aus Gl. (8.122) der Wert:

Ma~ = u d~t = jA’ (8-124)

Abb. 8.60. Druckverteilung tiber die Fliigelfciefe und Auftriebsverteilung l&ngs Spannweite von Dreieckflugeln bei Uberschallgeschwindigkeit. a) Unterschallvorderkante, 0 < m < 1; b) t)berschallvorderkante, m > 1.

in Ubereinstimmung mit Gl. (8.82 c). Damit ist gezeigt, daB sich bei Maoo = 1 fur den Auftriebsanstieg der gleiche Wert dcAldot = пЛ/2 ergibt, gultig fur beliebiges Seitenverhaltnis Л und unabhangig davon, ob Ma0Q = 1 vom Unterschall – oder Gberschallbereich her erreicht wird.

Die theoretischen Ergebnisse fur den Auftriebsanstieg des Dreieck- fliigels im ganzen Machzahlbereich sind in Abb. 8.59 a zusammen – gefaBt. Die Werte fur Ma^ < 1 sind auf Grund der linearen Unterschallstromung (Кар. 8.32), diejenigen fur Dberschallstromung nach den vorstehenden, ebenfalls linearen Formeln ermittelt wor­den. Die Kurve fur Л = oo entspricht dem ebenen Problem nach Abb. 3.24a.

Neutralpunkt: Auch fur den Dreieckflugel mit Unterschallvorder – kante liegt der Neutralpunkt im Flachenschwerpunkt, weil die in der

Abb. 8.61. Auftriebsverteilungenlangs Spannweite von Dreieckflugeln bei tlberschallgeschwindigkeit fiir ver – schiedene Werte von m = tan у I tan ц, 0 < m < 1: Unterschallvorderkante, m > 1: Uberschallvorderkante.

Querrichtung gemittelten Druckunterschiede in der Langsrichtung konstant sind. Somit hat man fur die Neutralpunktlage:

XN_______ 2

li ~ 3

Die Neutralpunktlagen des Dreieckflugels im ganzen Machzahlbereich sind in Abb. 8.59b fur verschiedene Seitenverhaltnisse Л angegeben. Die Kurve fur Л — оо entspricht dem ebenen Problem nach Abb. 3.24b.

Auftriebsverteilung: In Abb. 8.60 ist fiir den Dreieckfliigel mit Unterschall – und Uberschallvorderkante eine Ubersicht gegeben iiber die Druckverteilungen iiber Fliigeltiefe sowie iiber die Auftriebsver – teilungen langs Spannweite. Die Auftriebsverteilungen cal sind in Abb. 8.61 fiir verschiedene Werte von m zusammengestellt. Bemerkens – wert ist, daB fiir alle Fliigel mit Unterschallvorderkante, 0 < m < 1, die Auftriebsverteilung iiber Spannweite elliptisch ist. Fiir die Fliigel mit Uberschall vorderkante nahert sich die Auftriebsverteilung fiir sehr grofie Mach-Zahlen (m -> oc) der dreieckigen Form.

Widerstand: Der Widerstand eines Tragfliigels mit Unterschall – vorderkante setzt sich zusammen aus dem Anteil A a, welcher von der Druckverteilung auf der Flache herriihrt, und der Saugkraft S, die durch die Umstromung der Vorderkante entsteht. Somit ist:

W = Aa — S.

Cw — ca<*•

Der Anteil A a ist aus dem Vorstehenden bekannt. Die Saugkraft S kann aus der Wirbeldichte k(x, y) in der Nahe der Vorderkante er – mittelt werden. Fiir die ebene inkompressible Stromung wurde diese Beziehung in Gl. (6.99) angegeben. Die Ermittlung der Saugkraft fiir kompressible Stromung mit Unterschall vorderkante ist u. a. in [31] und [63] angegeben worden. Fiir den Dreieckfliigel mit Unterschall vorder­kante (m < 1) erhalt man fiir den Widerstandsbeiwert ohm Saugkraft

Hierbei wurde beriicksichtigt, daB nach Gl. (8.94):

m — tan у — 1 = ^Мсїіь — 1

ist. In Abb. 8.62 ist der Widerstandsbeiwert von Dreieckfliigeln auf – getragen, und zwar fiir m ^ 1 nach Gl. (8.127) als Kurve 2a und fiir m ^ 1 nach Gl. (8.120a) als Kurve 1.

Der Beiwert der Saugkraft ergibt sich nach [63] zu:

cs = —t l/l – TO2. (8.128)

71 Л

Entsprechend Gl. (8.126) ist dieser Betrag von dem c^-Wert nach Gl. (8.127) abzuziehen, um den Gesamtwiderstand zu erhalten. Somit ist

Сцг — [2E’ (m) – l/l – m?. (8.129)

71 Л 1 J

Dieser Zusammenhang ist in Abb. 8.62 als Kurve 2b wiedergegeben.

Es ist iiblich, bei inkompressibler Stromung den Anteil cw = с\пЛ, der von dem hinter dem Fliigel induzierten Geschwindigkeitsfeld her – riihrt, als induzierten Widerstand zu bezeichnen. Auch bei kompressibler Stromung existiert ein solcher Anteil des Widerstandes, der von dem induzierten Geschwindigkeitsfeld der Wirbelflache des Fliigels her – riihrt. Diesen Widerstandsanteil bezeichnet man zweckmaBig auch als induzierten Widerstand, Abb. 8.62, Kurve 3. Zieht man diesen Wider­stand vom Gesamtwiderstand bei Gberschallgeschwindigkeit ab, so erhalt man den Wellenwiderstand (Abb. 8.62). Fur die praktische Anwendung hat es aber keine besondere Bedeutung, den induzierten

Abb. 8.62. Widerstand von Dreieck – fliigeln bei Uberschallgeschwindigkeit in Abhfingigkeit von

tan у Л

m = ——- = —

tan ft 4

Kurve 1: nach Gl. (8.120a);

Kurve 2a: nach Gl. (8.127);

Kurve 2b: nach Gl. (8.129);

Kurve 3 : induzierter Widerstand nach Gl. (7.172).

Widerstand allein zu betrachten, sondern es kommt lediglich auf die Summe von induziertem und Wellenwiderstand an, vgl. H. Schlich – TING [64].

In Abb. 8.59 c ist der Widerstandsbeiwert von unverwundenen Dreieckfliigeln mit verschiedenem Seitenverhaltnis Л liber der Mach – schen Zahl aufgetragen. Die Kurve fiir Л = oo entspricht dem ebenen Problem nach Abb. 3.24c. Es ist bemerkenswert, daB im Unterschall- bereich das Seitenverhaltnis einen starken EinfluB auf den auftriebs- abhangigen Widerstand hat, wahrend im Gberschallbereich der Wider­stand kaum vom Seitenverhaltnis abhangt.

Fiir den Flugzeugbau wirkt sich diese Tatsache dahingehend aus, daB bei tTberschallfluggeschwindigkeiten Fliigelformen mit groBem Seitenverhaltnis keinen Vorteil mehr bieten, vgl. Abb. 5.10c.

Messungen. Systematische Messungen zur Nachpriifung der drei- dimensionalen Tragfliigeltheorie bei Uberschallgeschwindigkeit sind hauptsachlich fiir den Dreieckfliigel ausgefiihrt worden. Von E. S. Love
[45] sind solche Messungen an Dreieckflugeln (Deltafliigeln) mit runder und scharfkantiger Nase mitgeteilt worden. Das Seitenverhaltnis A liegt zwischen 0,7 und 4, die Profildicke ist d = (d/l) = 0,08 und die Dicken – riicklage Xd = (хАЦ) = 0,18. Die Messungen wurden fur die Mach – Zahlen Ma^ = 1,62, 1,92 und 2,40 ausgefiihrt.

Die Ergebnisse fur den Auftriebsanstieg sind in Abb. 8.63 dar – gestellt. Dabei ist als Abszisse der Parameter m = УMa^ — 1 Л/4

Abb. 8.63. Gemessene Auftriebsanstiege fftr DreieckflUgel bei Uberschallgeschwindigkeit nach [45]. 0 < m < 1: Unterschallvorderkante; m > 1: Dberschallvorderkante.

gewahlt worden. Als Ordinate wurde fur den Bereich der Unterschall­vorderkante (m < 1) die GroBe cot у ^ gewahlt, wahrend

d<x A d<x

im Bereich der Uberschallvorderkante (m > 1) die GroBe —- Ma^ — 1

dtx

dargestellt wurde. Die MeBergebnisse fiir die 22 Fliigel bei den drei verschiedenen Mach-Zahlen ordnen sich sehr gut auf einem Kurvenzug an, wodurch die AhriUchkeitsregel fiir Uberschallgeschwindigkeit bestatigt wird. Die gemessene Kurve gibt den theoretischen Verlauf im ganzen recht gut wieder. Die Abweichungen zwischen Theorie und Messung bei m = 0 und m = 1 sind verstandhch, da m ъ* 0 die trans-

1,0 _____ 1,5 т—^-уМа*г1′

Abb. 8.64. Gemessene Widerstandsbeiwerte infolge Auftrieb fur Dreieckfliigel bei Uberschallgeschwin-

digkeit nach [45].

0 < m < 1: Unterschallvorderkante; m > 1: Uberschallvorderkante.

sonische Stromung (Ma^ ^ 1) bedeutet, wahrend m — 1 den Ubergang von der Unterschallvorderkante zur Uberschallvorderkante darstellt.

Die analoge Auftragung fiir die Widerstandsbeiwerte gibt Abb. 8.64. Dabei sind nur die Werte fiir die abgerundete Nase wiedergegeben. Auch die gemessenen Widerstandsbeiwerte ordnen sich gut auf einem Kurvenzug an, wodurch auch hierfiir die Ahnlichkeitsregel bestatigt wird. Im Bereich der Unterschallvorderkante liegt die Kurve der ge­messenen Widerstandsbeiwerte teilweise zwischen den theoretischen Kurven mit und ohne Saugkraft. SchlieBlich sind in Abb. 8.65 die gemessenen Neutralpunktlagen angegeben. Auch hier wird die Ahn­lichkeitsregel der Uberschallstromung ziemlich gut bestatigt. Fiir die Fliigel mit runder Nase liegen die Neutralpunkte etwas weiter vorn als fiir die Fliigel mit scharfkantiger Nase. Mit wachsender Mach-Zahl ver – schiebt sich die gemessene Neutralpunktlage etwas nach vorn, wahrend sie nach der Цпеагеп Theorie von der Mach-Zahl unabhangig ist.

8.424 Beliebiger Fliigel. Bei den in den vorigen beiden Abschnitten besprochenen Beispielen zur Berechnung der Stromung um Tragfliigel bei Uberschallgeschwindigkeit wurde die Methode der kegelsymmetri – schen Stromung angewendet. Diese Methode ist beschrankt auf unver – wundene Fliigel mit geraden Kanten, und sie stellt iiberdies eine lineare Theorie dar. Fliigel mit allgemeiner GrundriBform und mit Verwindung konnen mit dieser Methode nicht behandelt werden. Hierfiir steht die Singularitatenmethode zur Verfiigung, deren Grundziige in Кар. 8.415 bereits erlautert wurden. Eine ausfiihrliche Darstellung dieser Methode und ihrer Anwendung findet man bei R. T. Jones und D. Cohen [32] sowie bei M. A. Heaslet und H. Lomax [29]. Die Methode der Quell – belegung wurde von J. C. Evvard [15], vgl. auch [60], zu einem Ве­ге chnungsverfahren ausgebaut. Nachstehend moge ein kurzer AbriB der Singularitatenmethode von J. C. Evvard gegeben werden.

Wir gehen aus von der Methode der Quellbelegung nach Кар. 8.415 mit Gl. (8.102) fiir das Potential der Storbewegung. Bei einem angestell – ten Fliigel sind hierbei in der Fliigelebene auf der Ober – und Unterseite des Fliigels Quellbelegungen verschiedenen Vorzeichens anzuordnen. Dadurch wird am Fliigel ein Drucksprung erzeugt, der den Auftrieb liefert.

Fiir die weitere Erorterung geniigt die Betrachtung nur des oberen Halbraumes z 0. Der oberen Quellbelegung entspreche das Potential Ф(х>у, г). Hieraus erhalt man die Geschwindigkeitskomponenten der Storbewegung zu

(8.130)

In gleicher Weise wie bei inkompressibler Stromung gilt fiir den Druck-
beiwert

cp(x, y) = – 2^- (8.131)

U oo

und fur die Quellintensitat

q(x, у) = 2w(x, y). (8.132)

Fur die Losung der Aufgabe miissen folgende Bedingungen erfiillt werden: Fur Uberschallvorderkanten ist im Bereich vor dem Fliigel die Stromung ungestort, wahrend fiir den Fliigel mit Unterschallvorderkante die Stromung vor den Machlinien ungestort ist. In diesen beiden Bereichen ist somit Ф == 0.

Am Ort des Flilgels muB die kinematische Stromungsbedingung er – fiillt sein, namlich

^ooЛ(X, y) –w{x, y) = 0 (8.133)

mit oc(x, y) als Anstellwinkelverteilung. Damit ergibt sich aus Gl. (8.132) fiir die Quellbelegung des Fliigels:

q(x, y) = —2 UO0(x{x, y). (8.134)

Beim Fliigel mit Unterschallvorderkante befindet sich in dem Gebiet zwischen den Machlinien und den Fliigelvorderkanten ein Aufwindgebiet mit der orthchen Neigung der Stromlinien X(x, y). Hieraus folgt in Analo – gie zu Gl. (8.134)

q(x, y)=-2U00?i(x, y). (8.135)

In diesem Aufwindgebiet kann jedoch kein Drucksprung in z-Richtung vorhanden sein, so daB dort u(x, y) — v{x, у) = 0 sein muB. Durch Ein – setzen von Gl. (8.134) und (8.135) in Gl. (8.102) ergibt sich

<x(x’, y’)dx’ dy’

Я I II i(x – x’f – (Mai, – 1) [(y – y’f + z2]

X(x y’) dx’ dy’

V(x – x’)2 — (Ма2^ – 1 )[(y – y’Y + z2]

Dabei bedeutet BF den Integrationsbereich auf dem Fliigel und BA den – jenigen im Aufwindgebiet. Diese Bereiche seien im folgenden an drei Beispielen erlautert: In Abb. 8.47 ist ein Dreieckfliigel mit zwei Uber- schallvorderkanten dargestellt. In diesem Fall ist der Bereich BA nicht vorhanden, wahrend der Bereich BF identisch ist mit dem schraffierten Bereich F’. In Abb. 8.66a ist ein Fliigel mit einer Uberschall – und einer Unterschallvorderkante dargestellt. Wie J. C. Evvard [15] gezeigt hat, bleibt fiir das Potential im Aufpunkt P(x} y, 0) nur noch das Integral iiber den Bereich B’F ubrig, da die Integrate iiber die Bereiche BA und

BF sich gerade aufheben. In Abb. 8.66b ist ein Fltigel mit zwei Unter- schallvorderkanten dargestellt. In diesem Fall ergibt eine zweimalige Anwendung des vorstehenden Ewardschen Theorems, daB naherungs – weise nur die schraffierten Bereiche B’F zmn Integral 61. (8.136) bei – tragen, vgl. [14], [25], [80]. Wahrend die Anwendung des Evvardscb. en

Abb. 8.66. Zur Anwendung der Singularitaten-Methode von Eward fiir die Berechnung der Auftriebs – verteilung von Tragfliigeln bei tlberschallgeschwindigkeit. a) Eine tlberschallvorderkante und eine XJnterschallvorderkante nach [15]; b) zwei TJnterschallvorderkanten nach [14].

Verfahrens fiir Fliigel mit Gberschallhinterkanten ohne weiteres moglich ist, erfordert der Fall mit Unterschallhinterkanten die Beriicksichtigung der Wirbelschicht hinter dem Fliigel. Einen Beitrag hierzu hat H. Friedel [21] gehefert.

Beispiele und Vergleich mit Messungen. In diesem Abschnitt sollen jetzt einige Beispiele zur Unearen Dberschalltheorie angegeben werden, die nach den vorstehenden Verfahren berechnet wurden.

Zunachst sind in Abb. 8.67 a die Auftriebsanstiege fiir Fliigel mit der Zuspitzung X = la/li = 0 sowie in Abb. 8.67b die Auftriebsanstiege fiir Fliigel mit X = 1 angegeben. Zur Belebung der Anschauung sind die Fliigelgrundrisse fiir Л = 3 eingetragen; jedoch gelten die Diagramme auch fiir andere Werte von Л. Der Auftriebsanstieg ist bezogen auf den – jenigen des ebenenProblems, (dc^/da)^ = 4i^Ma^ — 1, underhangtab von dem Parameter m = tany/tan/г = tan у ^Ma%, — 1 sowie von der rein geometrischen GroBe Л coty. Es gilt

8 (х-л (8-roi

DaB das Verhaltnis der Auftriebsanstiege nur von diesen drei Para- metern abhangig ist, erkennt man sofort aus der Prandtl-Glauert – Ackeretschen Ahnlichkeitsregel nach Gl. (8.59), wenn man dort tan<y = coty einfiihrt und beachtet, daB Л ]/Ma^ — 1/Л tan^p = tany/tan/г = m ist. Fur die vorliegenden Fltigelformen gilt in ahnlicher Weise wie beim Dreieckffiigel (Abb. 8.58), daB fur die Stromungszustande mit Unterschallvorderkante der Auftriebsanstieg erheblich vom Wert des ebenen Problems abweicht, wahrend er fur solche mit tTberschallvorder-

Abb. 8.67. Auftriebsanstiege von Flugeln mit verschiedenen Grundrissen bei tiberschallgeschwindigkeit, a) Zuspitzung Д = 0; b) Zuspitzung Д = 1; 0 < m < 1: Unterschallvorderkante; m > 1: tlberschallvorderkante.

kanten nahezu gleich dem Wert des ebenen Problems ist. Abb. 8.67 b enthalt den Rechteckfliigel nicht, weil fiir diesen wegen у = тг/2 die ge – wahlte Darstellung nicht anwendbar ist. Die Auftriebsanstiege des Rechteckfliigels wurden jedoch bereits in Abb. 8.56a angegeben.

Des weiteren sollen einige Ergebnisse fur einen Trapezfliigel, einen Pfeilfliigel und einen Dreieckfliigel angegeben werden. Abb. 8.68 zeigt die theoretischen Auftriebsanstiege dieser drei Fliigel fiir den ganzen

6 5 4

2

Abb. 8.68. Auftriebsanstiege in Abhangigkeit von der Mach-Zahl fiir einen Trapezfliigel, einen Pfeil­fliigel und einen Dreieckfliigel vom Seitenverhaitnis Л = 3,nach[18].

Machzahlbereich von Ma= 0 bis 2,5. Die Widerstandsbeiwerte dieser drei Fliigel fiir den gleichen Machzahlbereich sind in Abb. 8.69 dargestellt. Im Unterschallbereich und im Uberschallbereich mit Unter – schallvorderkante sind jeweils zwei Kurven angegeben. Die gestrichelte Kurve gilt mit Saugkraft und die ausgezogene ohne Saugkraft. Fiir die erstere gilt im Unterschallbereich die bekannte Formel fiir den induzier – ten Widerstand cw — с\пЛ. Den Widerstand ohne Saugkraft erhalt man aus cw = cAoc = c (doc/dcj), wobei die Werte von dcjdoc aus Abb. 8.68 zugrunde gelegt werden. Es ist zu erwarten, daB bei gut abgerundeter Profilnase die Saugkraft nahezu voll zurWirkung kommt, so daB fiir die Widerstandsbeiwerte die gestrichelte Kurve gilt. Bei diinnen Profilen mit scharfkantiger Nase, wie sie bei Uberschallflugzeugen meistens ver – wendet werden, kommt die Saugkraft nicht zur Wirkung, so daB fiirdiese die obere Kurve gilt. In Abb. 8.70 ist auch noch die Neutralpunktlage dieser drei Fliigel in Abhangigkeit von der Mach-Zahl schematisch an­gegeben. Man erkennt das typische Verhalten beim Ubergang von Unterschall – zu tlberschallgeschwindigkeit, namlich daB der Neutral – punkt bei tlberschreiten der Mach-Zahl 1 erheblich nach hinten wandert.

15 Sehlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

Dies bedeutet fiir das Flugzeug eine Zunahme der Langsstabilitat beim Dbergang yom Untersehall – zum Dberschallflug.

Es moge jetzt noch kurz berichtet werden iiber eine experimentelle Nachpriifung der linearen Tragflachentheorie. In Abb. 8.71 sind fiir vier

Abb. 8.69. Widerstandsbeiwerte infolge Auf trieb in AbMngigkeit von der Machsehen Zahl fiir einen Trapezfliigel, einen Pfeil – flUgel und einen Dreieckfliigel vom Seitenverhaitnis Л = 3, nach [18]. Gestrichelte Kurve: mit Saugkraft; ausgezogene Kurve: ohne Saugkraft.

verschiedene Fltigel (Rechteck-, Trapez-, Dreieck – und Pfeilfliigel) die Auftriebsanstiege dcAjdoc in Abhangigkeit von der Machzahl dargestellt. Fiir den Unterschallbereich wurde die Theorie nach der Prandtl-Glauert – schen Regel ermittelt, vgl. Кар. 8.3, und fiir den t)berschallbereich nach H. Fried el [20]. Die gemessenen Auftriebsanstiege stimmen, abge – sehen von einer kleinen Umgebung bei Ma^ = 1, im wesentlichen gut mit der Theorie iiberein. Weitere Einzelheiten einer Dreikomponenten – messung im Unter – und Dberschallbereich zeigt Abb. 8.72 fiir den Trapezfliigel von Abb. 8.71b. Die Kurven cA(oc) in Abb. 8.72a zeigen, daB fiir Dberschallstromung der Uneare Bereich und der Beiwert des

Abb. 8.70.

Neutralpunktlage in Abhangigkeit von der Machschen Zahl fur einen Trapezflugel, fur einen Pfeilflugel und einen Dreieck- fliigel, nach [18]. о Neutralpunktlage fur Maoo < 1;

• Neutralpunktlage
fur Maoo > 1.

Abb. 8.71. Experimented Jfachprufung der linearen Tragfl&chentheorie bei Unter – und t)berschall-
geschwindigkeit. Auftriebsanstieg in AbMngigkeit von der Mach-Zahl; nach Messungen von E. Bek-
ker und E. Wedemeyer [4], W. Stahl und P. A. Mackrodt [72], [73]. Theorie fur tlberschall nach
H. Friedel [20], [21]; SBT = Slender Body Theory.

Abb. 8.72. Dreikomponentenmessungen an einem Trapezflugel vom SeitenverhSltnis Л = 2,75 mit dem Profil NACA 65 A 005 im Unter- tiberschallbereich nach W. Stahl und P. A. Mackrodt [72]. Reynolds-Zahl He ъ 1 bis 1,8 • 10*. a) Auftriebsbeiwert cA uber Anstellwinkel a; b) Polare cA uber cw; c) Auftriebsbeiwert cA uber Nickmomentenbeiwert cM.

Maximalauftriebes cAma>x wesentlich groBer sind als bei Unterschall – stromung. Auch die Nickmomentenkurven cA(cM) in Abb. 8.72c be – statigen, daB bei Ma> 1 der lineare Bereich wesentlich groBer ist als bei M«oo < 1.

AbschlieBend moge noch auf einige Arbeiten hingewiesen werden, welche sich mit der Berechnung verwundener Fliigel und flugmechani – scher Beiwerte von Tragfliigeln bei T)berschallgeschwindigkeit befassen

[26] , [27], [28], [33], [34], [44], [47], [50], [79].

8.331 Allgemeine Formeln

Druckverteilung. In diesem Abschnitt soli jetzt der Tragfltigel end­licher Spannweite im Unterschallbereich fiir Nullauftrieb betrachtet werden. Die Druckverteilung eines solchen Tragfliigels endlicher Dicke interessiert besonders im HinbUck auf die Ermittlung der kritischen Mach-Zahl bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten. Der Begriff der kritischen Mach-Zahl wurde fiir das ebene Problem in Кар. 3.221 und 8.121 bereits erlautert. Die zur kritischen Mach-Zahl gehorende An – stromungsgeschwindigkeit gibt die untere Grenze fiir das Auftreten von

VerdichtungsstoBen, welche das gesamte Stromungsbild erheblich ver- andern und insbesondere mit einem starken Anstieg des Widerstandes verbunden sind, Abb. 3.20.

Die Druckverteilung eines raumlichen Tragfliigels im Unterschall- bereich erhalten wir aus derienigen des transformierten Fliigels nach Gl. (8.73) zu:

V-Y (Cp)ik (8 = 8ik). (8.84)

yi – Male

Dabei ist (cp)ik die Druckverteilung des transformierten Fliigels, fur welchen die Druckverteilung bei inkompressibler Stromung zu be – rechnen ist. Das Rechenverfahren hierfur wurde in Кар. 7.6 angegeben. Die Transformation des Flugelgrundrisses geschieht nach den Gin. (8.70) bis (8.72); das Dickenverhaltnis bleibt hierbei ungeandert (II. Fassung der Prandtl-Glauertschen Regel nach Кар. 8.22).

Kritische Machsche Zahl. Beim raumlichen Tragfliigel liegt im Gegensatz zum ebenen Problem sehr haufig der Fall vor, daB die Fltigel- vorderkante oder die Fliigelhinterkante nicht senkrecht zur Anstro- mungsrichtung ist. Der einfachste Fall dieser Art ist der gepfeilte Fliigel konstanter Tiefe und unendlicher Spannweite, der bereits in Кар. 7.63 bei inkompressibler Stromung behandelt wurde. Die Pfeilung hat einen erheblichen EinfluB auf die GroBe der kritischen Machschen Zahl, weil bei einem solchen Fliigel endlicher Dicke fur die groBte t)ber – geschwindigkeit auf der Kontur nur die Geschwindigkeitskomponente normal zur Vorderkante maBgebend ist. Aus Gl. (8.4) erhalt man fur den kritischen Druck p* des senkrecht zur Vorderkante angestromten ungepfeilten Fliigels nach Multiplikation mit U^l2 und mit Ma^

= 0*0. :

P* – Poo

P*-Poo goo rr*2 ~ U CO

Fiihrt man nun hier gemaB Vorstehendem U^coscp als wirksame Ge – schwindigkeit an Stelle von ein, und geht man wieder zur dimensions – losen Schreibweise iiber, so erhalt man fur den kritischen Druckbeiwert des gepfeilten Fliigels:

Dabei wird auch fiir den gepfeilten Fliigel der Druckbeiwert auf den Staudruck der Anstromung bezogen. Dieser Zusammenhang ist in Abb. 8.29 dargestellt. In der gewahlten Auftragung ist diese Abbildung identisch mit Abb. 3.9.

8.332 Pfeilfliigel

Im folgenden soil jetzt das vorstehend erlauterte Verfahren zur Be- rechnung der kritischen Machschen Zahl an einigen einfachen Beispielen erlautert werden.

Gepfeilter Fliigel unendlicher Spannweite. Um die kritische Mach-

lie Kurve cpmin einzutragen und mit der Kurve c* zum Schnitt zu bringen, vgl. Abb. 8.2. Bei der Ermittlung des Druckunterschiedes p — p^ eines gepfeilten Fliigels ist zu beachten, daB dieser proportional zu dem mit der wirksamen Geschwindigkeit ge – bildeten Staudruck (£^/2) cos2 <p und proportional zum Dickenver – haltnis bzw. zum Anstellwinkel, ge – messen in der Ebene der wirksamen Anstromung, d. h. proportional zu (d/l)lcos(p bzw. cc/cosy ist. Hieraus folgt bei inkompressibler Stromung:

P~ Poo ={.P – Poo)V=0 COS<p.

Bezogen auf den Staudruck der An­stromung (poo/2) erhalt man fiir den Zusammenhang der Druck – beiwerte also:

(Cpmin)ik = COS9^г’Аг {Cpmin)ik, q>=0 •

Unter Beachtung von Gl. (8.84) wird:

COS (p^jg / i

cpmin = A………………………….. ^pmin)ik, q>=0 •

У1 Mai,

Der Pfcilwinkel cp ist zu transformieren nach Gl. (8.72c). Dieses ergibt:

11 1 – Male

COS <Pih = /——- 7Л———- — COS 99.

r ]/ 1 — Male cos V

Durch Einsetzen in die vorige Gleichung ergibt sich schlieBlich:

cpmln = C0Sf r (Cpmin)it>p=0 • (8-86)

Vl – Male cos*y

In Abb. 8.30 ist das vorstehend erlauterte Verfahren auf ein Beispiel angewendet worden. Gewahlt wurden ein ungepfeilter Fliigel unend-
licher Spannweite nnd ein solcher mit dem Pfeilwinkel cp = 45°. Fur den ungepfeilten Fliigel ist (cpmin)l^9,=0 = —0,2 angenommen worden. Der ungepfeilte Fliigel ergibt eine kritische Mach-Zahl von (lfa^)9?=0

Abb. 8.30. Bestimmung der kritischen Mach-Zahl fur einen ungepfeilten und einen gepfeilten Fliigel unendlicher Spannweite. (cpmin)(p=0,MaOQ**0 = ~

= 0,83. Durch den EinfluB des Pfeilwinkels verschiebt sieh die kritische Mach-Zahl zu einem wesentlich groBeren Wert, namlich

(^ato)<p= 45° — U3.

Fur diese Verschiebung sind drei Umstande maBgebend. Erstens: die Kurve c* riickt durch den PfeilungseinfluB nach rechts; zweitens: durch die Pfeilung wird cpmin bei Ma^ = 0 kleiner und drittens: der Anstieg von cpmin mit der Mach-Zahl ist beim gepfeilten Fliigel erheblich schwacher als beim ungepfeilten Fliigel.

Diese Erhohung der kritischen Machschen Zahl infolge der Pfeilung hat im Flugzeugbau eine sehr bedeutungsvolle praktische Anwendung gefunden. Wie schon oben erwahnt wurde, hat die Erhohung der kri­tischen Machschen Zahl eine Verschiebung des Widerstandsanstieges infolge des Kompressibilitatseinflusses nach groBeren Machschen Zahlen zur Folge (Abb. 3.20). Damit muB erwartet werden, daB sich infolge der Pfeilung in den Kurven des Profilwiderstandsbeiwertes iiber der Mach-Zahl, cWp(MaOQ), der starke Anstieg nach groBeren Mach-Zahlen verschiebt. Diese Tatsache hat zuerst A. Betz [5] 1939 erkannt, und sie ist von H. Ludwieg [46] in der Aerodynamischen Versuchsanstalt Gottingen (AVA) experimentell nachgepriift worden. Abb. 8.31 gibt einige Messungen hierzu wieder, die von H. Ludwieg [46] ausgefiihrt wurden.[35] Die Polaren fiir einen ungepfeilten und einen gepfeilten Trapez- fliigel (<p = 45°) zeigen folgendes: Beim ungepfeilten Fliigel ist bei Ma{go — 0,9 der Profilwiderstand (cA = 0) um ein Mehrfaches groBer als

Abb. 8.31. Polaren, Auftriebsbeiwert cA und Widerstandsbeiwert cw bei hohen TJnterschallgeschwindig – keiten; Mach-Zahl Ma^ = 0,7 und 0,9, fiir einen geraden Fliigel und einen gepfeilten Fliigel vom Profil G6 623, nach Gottinger Messungen von H. Ludwieg [46]. a) Gerader Fliigel, b — 80 mm, ^ = 22,5 mm; b) Pfeilfliigel, q> = 45°, b’ = 57 mm, = 32 mm; Re = U^hlv = 3,0 • 10» bei Ma^ = 0,7, Re = U^k/v = 4,2 • 10» bei Ma^ = 0,7, = 3,5 • 10» bei Ma^ = 0,9. = 5,0 • 10» bei Ma^ = 0,9.

bei Maoo = 0,7. Fiir diesen Fliigel liegt also die kritische Mach-Zahl zwischen Ma^ = 0,7 und 0,9. Fiir den Pfeilfliigel dagegen ist bei Ma^ = 0,9 der Profilwiderstand nur unwesentlich groBer als bei Ma^ = 0,7. Mit anderen Worten, fiir diesen Fliigel liegt die kritische Mach-Zahl ober – halb Ma^ — 0,9. Einen weiteren Beitrag zu diesem wichtigen Pfeil – fliigeleffekt zeigt Abb. 8.32. ffier sind nach [57] die Kurven cWp iiber Ma^

Abb. 8.32. Profilwiderstandsbeiwerte in AbMngigkeit von der Machschen Zahl fiir einen ungepfeilten und einen gepfeilten Fliigel (q> = 45°) nach [57]. dll = 0,12; Л = 4.

fiir einen ungepfeilten und einen gepfeilten (<p = 45°) Fliigel aufgetragen Durch den PfeilungseinfluB wird der Beginn des starken Widerstands- anstieges von etwa Ma^ = 0,8 auf 0,95 verschoben. Diesen giinstigen Pfeilfliigeleffekt hat sich der Flugzeugbau nach dem zweiten Weltkrieg sehr zunutze gemacht. Unter den in Abb. 5.9 dargestellten Fliigelgrund- rissen befindet sich eine groBe Zahl von Pfeilfliigeln. Die in Abb. 5.10b gegebene Darstellung, namlich Pfeilwinkel in Abhangigkeit von der Flug-Machzahl, zeigt sehr deutlich, daB bei Annaherung an Ma^ = 1 der Pfeilwinkel der ausgefiihrten Fliigelformen stark anwachst.

Eine Erweiterung von Abb. 8.30 ist in Abb. 8.33 a angegeben, indem dort die kritischen Mach-Zahlen von Pfeilfliigeln unendlicher Spann­weite in Abhangigkeit von (cpmin)^>9,=0 dargestellt sind. In Abb. 8.33b sind zu denWerten von (cpmin)ik>9,=0 noch das Dickenverhaltnis d — dfl und die Dickenriicklage Xd gezeigt, wie man sie fiir die erweiterten Parabelprofile nach 61. (5.24) bei cA = 0 erhalt. Entsprechend dem ein – getragenen Beispiel wurde in Abb. 8.33c der Pfeilwinkel in Abhangigkeit von der kritischen Machzahl fiir verschiedene Dickenverhaltnisse (Dickenriicklage Xd = 0,5) ausgewertet. Fiir d/l — 0 gilt

Bei sehr diinnen Profilen kann somit durch die Pfeilung die kritische Machzahl betrachtlich groBer als Eins werden.

Abb. 8.33. a) Kritische Mach-Zahl
von Pfeilfliigeln unendlicher
Spannweite in Abhangigkeit von
(‘cpmin)ik,(p=0’>

b) Druckbeiwert (^min)^>gJ=0 in Abhangigkeit von Dicken – verhaitnis 6 = d/l und Dicken – rticklage X# fiir die erweiterfcen Parabelprofile nach Gl. (5.24);

Der Mittelschnitt des Pfeilfliigels. Die bisherigen Betrachtungen iiber den Pfeilfliigeleffekt gelten nur fiir den geraden Pfeilfliigel unendlicher Spannweite, vgl. Abb. 8.30. Beim geknickten Pfeilfliigel (Abb. 7.80) kommt der giinstige Pfeil – fliigeleffekt (Erhohung der kritischen Machschen Zahl) in der Umgebung des Mittelschnittes nicht voll zur Geltung, weil der mittlere Teil des Fliigels etwa wie ein ungepfeiltes Fliigelstiick wirkt.

Um die kritische Mach-Zahl fiir den Mittelschnitt des geknickten Pfeil – fliigels zu berechnen, gehen wir folgen- dermaBen vor: Fiir inkompressible Stromung hat man im Mittelschnitt eine Geschwindigkeitsverteilung nach Gl.(7.241). Die maximale Geschwindig – keit im Mittelschnitt liefert den groB – ten Unterdruck (cpmin)ik = -2 (мтах/

Uoo)ik. Der Wert von (umax[Uoo)ik ist in Abb. 7.82 fiir Parabelprofile in Ab­hangigkeit vom Pfeilwinkel (pik auf – getragen. Die Umrechnung von (Cpmin)ifc auf Smin in Abhangigkeit von der Machschen Zahl ilf «с» geschieht nach Gl. (8.84), wobei auch der Pfeil­winkel nach Gl. (8.72 c) umzurechnen ist. Die kritische Mach-Zahl wird nach Abb. 8.30 als Schnittpunkt der Kurven Cpmin unde* ermittelt, wobei jetzt fiir den Mittelschnitt die c*-Kurve fiir <p — 0 zu nehmen ist. Das Ergebnis dieser Rechnung ist in Abb. 8.34 dar – gestellt, und zwar fiir die Pfeilwinkel (p — 0°, 45° und —45° und fiir ver – schiedene Dickenriicklagen Xd. Die

gestrichelte Kurve fiir <p = ±45° gibt die Werte des geraden Pfeilfliigels. Diese gelten fiir den geknickten Pfeilfliigel fiir die Schnitte in groBem Abstand von der Mitte. Man erkennt deutlich, daB beim riickwartsgepfeilten Fliigel (q> = +45°) die kritische Mach-Zahl des Mittelschnittes am giinstigsten bei Dickenriicklagen um 30%, dagegen beim vorwartsgepfeilten Fliigel bei Dickenriicklagen um 70% ist. Die dargestellten Ergebnisse zeigen, daB im Mittelschnitt des geknickten Pfeil­fliigels die kritische Mach-Zahl im allgemeinen erheblich geringer ist als im AuBen- schnitt. Daraus folgt, daB der giinstige Pfeileffekt, wie er fiir den geraden Pfeil­fliigel errechnet wird, beim geknickten Pfeilfliigel nicht voll zum Tragen kommt.

Weitere Rechenergebnisse fiir die kritische Mach-Zahl im Mittelschnitt des geknickten Pfeilfliigels sind in Abb. 8.35 mitgeteilt. Dort ist fiir drei Dickenriick­lagen Xd = 0,2; 0,3 und 0,5 das zulassige Dickenverhaltnis, bei dem am Profil noch keine Schallgeschwindigkeit auftritt, in Abhangigkeit von der kritischen Mach-Zahl fiir verschiedene Pfeilwinkel aufgetragen. Nach diesem Bild konnen bei vorgegebenen Pfeilwinkeln und vorgegebener Entwurfsmachzahl die Profilparameter (Dicken­verhaltnis und Dickenriicklage) im Mittelschnitt des Pfeilfliigels ermittelt werden.

Mit der Untersuchung der kritischen Mach-Zahl an geknickten Pfeilfliigeln hat sich S. Neumark [52] beschaftigt. Dabei wurde auch der EinfluB des endlichen

mit Ma^ = U^/doo gilt. Der soeben erlauterte Sachverhalt kann nach Abb. 8.36 auch so gedeutet werden, daB ein vorgegebener Punkt in einer Uberschallstromung, > a^, nur den vom Nachkegel um – schlossenen Raum beeinflussen kann, wahrend er selbst nur aus dem Raum des Vorkegels her beeinfluBt werden kann. Die Anwendung dieser Grundtatsache der Dberschallstromung auf einen Tragflugel end­licher Spannweite ist in Abb. 8.37 gezeigt. Der Stromungszustand

fi = Machscher Winkel

in einem Punkt x, y, z = 0 auf der Tragflache kann nur beeinfluBt werden von dem schraffierten Bereich F’ der Tragflache, welchen der Vorkegel aus der Tragflache herausschneidet. Falls die Mach-Linie M. L. sich vor der Fliigelvorderkante befindet wie in Abb. 8.37, so bringt auch der Bereich zwischen dieser Mach-Linie und der Vorderkante einen Beitrag zum EinfluB im Punkt x, y, z = 0. Der EinfluBbereich wird stromabwarts begrenzt durch die beiden durch den Punkt x, y, z = 0 hindurchgehenden Machschen Linien.

Unterschall – und tlberschallkante. Die in Abb. 8.36 dargestellten Ver – haltnisse finden eine wichtige Anwendung bei der schragen Anstromung einer Fltigelkante. Liegt nach Abb. 8.38a die Machsche Linie vor der Fltigelkante, so ist die Komponente vn der Anstromungsgeschwindigkeit normal zur Kante kleiner als die Schallgeschwindigkeit a^. Eine solche Kante nennt man Unterschallkante. Liegt dagegen nach Abb. 8.38b die Machsche Linie hinter der Fliigelkante, so ist vn groBer als a^. In

diesem Fall bezeichnet man die Kante als Vberschallkante. Es gilt somit

Unterschallkante: ft > у, vn < I

[ (8.88) Uberschallkante: ju < у, vn > . J

Dabei bedeutet у den Winkel der Kante gegentiber der Anstromungs – richtung. Der Sonderfall у = 0 ist fiir alle Uberschall-Machzahlen

b

Abb. 8.38. Zum Begriff der IJnter – und Uberschallkante.

a) Unterschallkante; b) Uberschallkante.

eine Unterschallkante und der Fall у = 90° eine Uberschallkante. Der Begriff der Unterschall – und Uberschallkante hat nicht nur fur die Vorderkanten, sondern auch fiir die Hinterkanten und Seitenkanten eines Tragfliigels Bedeutung. In Abb. 8.39 ist dieser Sachverhalt er – lautert. Dabei sind die Unterschallkanten gestrichelt und die Uber – schallkanten ausgezogen. Es sind fiir den gleichen FliigelgrundriB die Mach-Linien fiir drei verschieden groBe Mach-Zahlen gezeichnet. Bei der kleinsten Mach-Zahl (Abb. 8.39a) sind samthche Kanten Unter­schallkanten, wahrend bei der groBten Mach-Zahl (Abb. 8.39 c) die Vorder – und Hinterkante Uberschallkanten, aber die Seitenkanten noch Unterschallkanten sind.

Die Unterscheidung zwischen Unterschall – und Uberschallkanten ist bedingt durch das verschiedene Verhalten der Stromung in der Umgebung dieser Kanten.

In Abb. 8.40 sind die verschiedenen Stromungstypen dargestellt, wobei die Stromlinienbilder als Schnitte senkrecht zur Vorderkante bzw. zur Hinterkante aufzufassen sind. In einer kleinen Umgebung der Schnittebene dtirfen wir die Stromung als naherungsweise zwei – dimensional ansehen. Der grundsatzlich verschiedene Charakter der

Unterschall – und der tFberschallstromung um eine angestellte ebene Platte wurde in Abb. 8.13 angegeben. Hiervon ausgehend ist in Ab – bildung 8.40a die Unterschallvorderkante dargestellt, bei welcher wie bei inkompressibler Stromung nach Abb. 2.59 eine Umstromung der Vorder­kante von unten nach oben stattfindet. Ein wesenthches Merkmal dieser Stromung ist das Auftreten einer nach vorn gerichteten Saugkraft an der umstromten Nase, vgl. Abb. 8.13a. Abb. 8.40b zeigt die Unter­schallhinterkante mit dem glatten AbflieBen nach der Kuttaschen

AbfluBbedingung, vgl. Кар. 6.12. An einer solchen Hinterkante ist die Druckdifferenz zwischen Unter – und Oberseite gleich Null (Abb. 8.13a). Es tritt also voller Druckausgleich zwischen Unter – und Oberseite ein. In Abb. 8.40 c und d ist die Uberschallvorderkante bzw. Uberschall-

Abb. 8.41. Druckverteilungen fiber Flfigeltiefe (schematisch) ftir einen Schnitt eines angestellten

Pfeilfltigels.

a) Unterschallvorder – und – hinterkante;

b) Unterschallvorder – und Uberschallhinterkante;

c) t)berschallvorder – und – hinterkante.

hinterkante gezeigt. In beiden Fallen tritt weder ein Umstromen noch ein glattes Abstromen ein, sondern es gehen von der Kante Machsche Linien aus, langs welcher alle StromungsgroBen sich unstetig andern. Zwischen Unter – und Oberseite besteht ein endlicher Druckunterschied, ygl. Abb. 8.13b.

Zum AbschluB sind in Abb. 8.41 die Druckverteilungen langs eines Flugelschnittes schematisch dargestellt, und zwar fur die drei ver-
schiedenen in Abb. 8.39 angegebenen Falle. Bei dem Schnitt mit Unter- schallvorder – und – hinterkante (Abb. 8.41 a) ist die Druckverteilung erwartungsgemaB ahnlich wie die bei inkompressibler Stromung. Die hintere Mach-Linie erzeugt jedoch einen Knick in der Druckverteilung. Bei dem Schnitt mit Dberschallvorderkante und – hinterkante (Ab – bildung 8.41 c) hat der Druck an Vorder – und Hinterkante endlich groBe Werte. Die vordere Mach-Linie gibt wiederum einen Knick in der Druckverteilung.

8.412 KegelsymmetrischetJberschallstrOmung. Bevor in den folgenden Abschnitten die allgemeine Theorie der raumlichen Tragfliigelstromung bei Dberschallgeschwindigkeit be – handelt wird, soil vorweg ein ein – facher Sonderfall besprochen wer – den, der insbesondere fur den Trag – fhigel endlicher Spannweite groBe Bedeutung hat. Wir betrachten nach Abb. 8.42 die Stromung um eine dreieckformige ebene Flache.

Von der Spitze A0 des Dreiecks gehen zwei Mach-Linien aus, wo* bei in dem vorhegenden Beispiel die rechte Dreieckskante eine Unterschallkante und die linke Kante eine ‘Oberschallkante ist.

Weiterhin betrachten wir den Stro – mungszustand auf einem von der

Dreieckspitze ausgehenden Strahl. Der Stromungszustand im Punkt Ax dieses Strahles wird ausschlieBlich bestimmt durch dasjenige Flachen – stiick, welches der Vorkegel in aus der Dreieckflache heraus- schneidet, gegebenenfalls zuziighch des Flachenstiickes zwischen der Mach-Linie M. L. und der Fltigelvorderkante (EinfluBbereich von Ax). Der Stromungszustand in A2 wird ebenso ausschlieBlich durch den Ein­fluBbereich von A2 bestimmt. Die beiden EinfluBbereiche von Ax und A2 sind geometrisch ahnlich. Hieraus folgt, daB die Stromungszustande in Ax und A2 gleich sein miissen. Somit haben wir gefunden, daB auf dem ganzen von A0 ausgehenden Strahl der Stromungszustand (Druck, Dichte, Geschwindigkeit und Temperatur) konstant ist. Dieses gilt fur jeden behebigen Strahl durch A0. Das hiermit beschriebene Stromungs – feld nennt man nach A. Busemann [10] ein kegelsymmetrisches (koni – sches) Strdmungsfeld. Eine notwendige Voraussetzung fur die vorstehende Betrachtung besteht darin, daB die Kanten der dreieckformigen Flache geradhnig sind; sie stellen zwei spezielle Strahlen des kegel – symmetrischen Stromungsfeldes dar.

Einige Anwendungsbeispiele fiir solche kegelsymmetrischen Stro- mungen sind in Abb. 8.43 zusammengestellt. Abb. 8.43 a stellt einen Dreieckfltigel (Deltafliigel) dar, der im Schnitt senkrecht zur Anstrom- richtung ein Doppelkeilprofil hat. Es ist dieses ein Beispiel fur einen Fliigel endlicher Dicke bei Nullauftrieb. Abb. 8.43b stellt die dreieckige

ebene Platte mit Anstellwinkel (Auftriebsproblem) dar. Abb. 8.43 c zeigt die Stromung an der Seitenkante einer angestellten reehteekigen Platte. In dem durch die Mach-Linie begrenzten dreieckigen Stuck der Platten – flache ist der Stromungszustand jeweils auf den Strahlen durch die Ecke A0 konstant. Auf dem ganzen iibrigen ТеД der Platte ist das Stromungs – feld konstant, weil hier in den Schnitten senkrecht zur Plattenvorder – kante zweidimensionale Gberschallstromung herrscht, vgl. Abb. 3.22 und 8.13b.

Losungsansatz. Fiir die vorstehend besprochene kegelsymmetrische Stromung vereinfacht sich naturgemaB die dreidimensionale Potential – gleichung. Um dieses zu zeigen, gehen wir von der linearisierten drei – dimensionalen Potentialgleichung in kartesischen Koordinaten nach Gl. (8.40) aus. Wahlt man fiir die kegelsymmetrische Stromung das Koordinatensystem nach Abb. 8.44, so hangt das Stromungsfeld nur von den beiden dimensionslosen Koordinaten

я =-2- und C = — (8.89)

X X

ab. Fiihrt man fernerhin fiir das Potential der Storbewegung Ф den Ansatz

ein, so ist die Bedingung, daB die Geschwindigkeitskomponenten nach Gl. (8.37) auf den Strahlen durch die Kegelspitze A konstant sind, er – fiillt. Setzt man die Gin. (8.89) und (8.90) in (8.40) ein, dann erhalt man

Abb. 8.44. Kegelsymmetrische Stromung bei Uberschallgeschwindigkeit.

fiir f(rj, 0 die folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(to„v – Л J£ – + (tan2 ft – P> = 0. (8.91)

Hierin bedeutet nach Gl. (8.87) tan/г = 1/yJfa^ — 1. Diese Gleichung fiir die neue Funktion / hangt nur von den zwei Ortsvariablen r] und £ in der Ebene senkrecht zur Anstromungsrichtung (x = const) ab, vgl. Abb. 8.44. In den Querebenen x = const ergeben die v – und w – Komponente eine quasi-ebene Stromung. ZweckmaBigerweise lost man Gl. (8.91) fur tan^ = 1, d. h. fur die Machsche Zahl Ma^ = У 2, und transformiert diese Losung auf beliebige andere Mach-Zahlen nach der Prandtl-Glauert-Ackeretschen AhnUchkeitsregel, Кар. 8.22.

Die Losung der Differentialgleichung (8.91) wird in zahlreichen Lehr – biichern beschrieben, vgl. hierzu das Literaturverzeichnis von Кар. III.

8.413 Grundlosungen der kegelsymmetrischen tlberschallstromung. Die Anwendung der kegelsymmetrischen Gberschallstromung ist auf Fliigel mit geraden Kanten beschrankt. Sie wurde zuerst von A. Buse – mann [10] angegeben und spater auf,,quasi-kegelsymmetrischeu Stro – mungen ausgedehnt, vgl. [29].

An Hand von Abb. 8.45 moge die Anwendung dieses Verfahrens beim gleichen Fliigel fiir verschiedene Machzahlen gezeigt werden. Der als Beispiel gewahlte unverwundene, zugespitzte Pfeilfliigel hat in Abb. 8.45a nur Unterschallvorderkanten und in Abb. 8.45b nur СЛЬег – schallvorderkanten. In Abb. 8.45a hat man in dem Bereich I kegel­symmetrische Stromung mit der Fliigelspitze A als Kegelzentrum.

13 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

In den iibrigen schraffierten Bereichen liegt keine Kegelsymmetrie in bezug auf die Zentren В und C vor, da auf den Mach-Linien, die von В

A

Abb. 8.45. Stromungstypen an ange – stellten Tragfltigeln endlicher Spann – weite bei tlberschallgeschwindigkeit. Beispiel eines unverwundenen zuge – spitzten Pfeilfliigels, M. L. = Mach – Linien.

a) Fltigel mit Unterschallvorderkante, /* > Yl

b) Fltigel mit tjberschallvorderkante, /л < y.

Nicht schraffiert = Druck kon – stant;

einfach schraffiert = Druckvertei – lung kegelsymmetrisch; doppelt schraffiert = Druckvertei – lung nicht kegelsymmetrisch.

und C ausgehen, der Druck mit Rucksicht auf den Bereich I nicht kon- stant sein kann. In Abb. 8.45b herrscht im ganzen Bereich II konstanter Druck, wie noch naher gezeigt wird. Im Bereich III hat man eine kegel-

symmetrische Stromung mit der Fliigelspitze A als Kegelzentrum, da auf den vom Punkt A ausgehenden Mach-Linien der Druck mit Riick – sicht auf den Bereich II konstant ist. Auch der Bereich IV hat kegel – symmetrische Stromung in bezug auf das Zentrum B. In den doppelt schraffierten Flachen dagegen liegt keine Kegelsymmetrie vor.

Tragfliigel mit tlberschallvorderkante. Der einfachste Fall eines Trag – fliigels mit Gberschallvorderkante ist die ebene Platte mit senkrecht ange – strdmter Vorderkante. Diese Stromung wurde als ebenes Problem bereits in Кар. 3.52 und 8.131 behandelt (vgl. Abb. 8.13b). Die konstante Druckverteilung langs der Tiefe einer unter dem Anstellwinkel oc ange – stellten Platte ist nach Gl. (8.14):

p — Poo __ – p 2<x

jp і Male — 1

2 00

Dabei soil der Index eb bei cp das ebene Problem bedeuten. Das obere Vor – zeichen gilt fur die Oberseite und das untere Vorzeichen fur die Unter – seite der Platte.

Fur die gepfeilte ebene Platte, deren Vorderkante mit der Anstrom – richtung den Winkel у bildet (Abb. 8.46), erhalt man die Druckver­teilung aus der Gberlegung, daB lediglich die Komponente der An – stromungsgeschwindigkeit senkrecht zur Vorderkante, also U^ siny, fiir die Auftriebserzeugung von Bedeutung ist, vgl. Abb. 7.44. In dem Schnitt senkrecht zur Vorderkante hat die Platte den Anstellwinkel oc* = a/siny, wobei oc der Anstellwinkel in der Ebene ist, welche die Geschwindigkeit U0о enthalt. Somit hat man fur die Druckverteilung der gepfeilten an – gestellten ebenen Platte:

СГ = = q= __,2«8іпУ ^ (8 93)

g°° jj‘l0 У Maiо sin2 у — 1

Die gepfeilte Platte hat ebenfalls eine iiber die Tiefe konstante Druck verteilung. Wir bilden jetzt noch das Verhaltnis des Druckbeiwertes der gepfeilten Platte zu demjenigen der ungepfeilten Platte. Hierfur fuhren wir die GroBe

m = = tany УMa^ — 1 (8.94)

tan [л

ein. Es bedeutet somit:

m < 1: Unterschallvorderkante,

m > 1: Gberschallvorderkante,

wobei die vorstehende Rechnung voraussetzungsgemaB jedoch nur fur m > 1 Gultigkeit hat. Man erhalt aus den Gin. (8.92), (8.93) mit (8.94):

m

cpe ь )m2 — 1

Es ist sehr bemerkenswert, daB cp/cPeb > 1 ist, was bedeutet, daB die gepfeilte Platte bei gleichem in der Anstromungsrichtung gemessenen Anstellwinkel groBeren Auftrieb pro’ Flacheneinheit erfahrt als die nngepfeilte Platte.

Fiir у = я/2, d. і. ш = oo, erhalt man erwartungsgemaB ср/сЛь = 1. Fiir у = //, d. i. m = 1, ergibt sich cp/cPeb = oo. In diesem Fall fallt die Mach-Linie in die Vorderkante, und es ist somit die Anstromungskompo – nente normal zur Vorderkante gleich der Schallgeschwindigkeit. Infolge – dessen versagt die lineare Dberschalltheorie.

Die hier mitgeteilten Ergebnisse fiir die zweidimensionale Stromung um eine gepfeilte ebene Platte lassen sich auch auf den Tragfliigel endlicher Spannweite iibertragen. Wir betrachten zu diesem Zweck einen ange – stelltenDreieckfliigel mit Uberschall vorderkante (m > 1) nach Abb. 8.47 a. Dabei ist m nach Gl. (8.94) gegeben, und es bedeutet

tan y’ tan fi

Die Geraden t = const sind Strahlen durch die Fliigelspitze, wobei t von 0 bis m > 1 lauft; t = ± 1 stellt die Mach-Linien und t = ± m die Vorder – kanten dar. Auf dem Fliigel hat man nun die beiden Bereiche II und III nach Abb. 8.45b zu unterscheiden. Zwischen der Mach-Linie und der Vorderkante ist der Druck konstant und durch G. (8.95) gegeben. Es ist im

Bereich II (1 < t < m): , m. (8.96a)

Cpeb yW — 1

Hierin ist cPeb durch Gl. (8.92) gegeben. Ohne auf Einzelheiten der Rech­nung einzugehen, sei auch das Ergebnis fur den Bereich III angegeben, vgl. Abb. 8.45b. Fiir die Druckverteilung in einem Schnitt quer zur An – stromung ergibt sich im

Bereich III (0 < t < 1): – Sb – = – , m – (arccos V 4^) •

Seb « im* – 1 – <7

(8.96 b)

Die Gin. (8.96a) und (8.96b) beschreiben zwei Grundlosungen der kegel – symmetrischen Gberschallstromung. In Abb. 8.47 b ist die Druckver­teilung fiir einen Schnitt quer zur Stromungsrichtung dargestellt. Berner –

kenswert ist, daB die Flachenteile vor den von der Spitze ausgehenden Machschen Linien groBere und die Flachenteile hinter diesen Mach-Linien

«■I

Abb. 8.47. Angestellter Tragfliigel mifc ttberschallvorderkante (m > 1). a) FliigelgrundriB (Dreieckfliigel); b) Druckverfceilung in einem Schnifcfc quer zur Sfcrdmungsrichfcung, m = 1,5.

im wesentlichen kleinere Dnicke als bei senkrecht angestromter Vorder – kante haben. Der Mittelwert von cp iiber die Breite ist

cp — cpeb• (8.97)

Tragfliigel mittlberschallvorderkante und Seitenkante. Nachdem bisher der Tragfliigel mit tJberschallvorderkante behandelt wurde, soil jetzt als weitere Grundlosung der Fliigel mit Uberschallvorderkante und Seiten­kante besprochen werden. Dabei verstehen wir nach Abb. 8.48 a unter einer Seitenkante eine solche Kante, die im GrundriB parallel zur Anstrom – richtung ist. Vom Punkt В der Seitenkante aus erstreckt sich nach hinten

ein keilformiger Bereich IV mit kegelsymmetrischer Stromung, vgl. Abb. 8.45 b. Dieser Bereich wird begrenzt durch die Seitenkante desFlugels und die beiden von A und В ausgehenden Machschen Linien. Die Rand – bedingungen fur die Druckverteilung in dem Bereich IV sind cp = 0 auf der Seitenkante und cp = cm = const auf der Machschen Linie.

Die Losung fiir die Druckverteilung des Bereiches IV mit dem Ко – ordinatensystem x, у nach Abb. 8.48 a ist, vgl. [32]:

(8.98)

Hierin ist сль durch Gl. (8.92) und m durch Gl. (8.94) gegeben. Ferner ist :

und somit t — 0 fur die Seitenkante und t = —1 fiir die Mach-Linie. Man liberzeugt sich leicht, daB fur t — 0 sich cp = 0 und fiir t = — 1 sich cp = Cpn = (m/ym2 — l) cPeb nach Gl. (8.95) ergibt.

Tragfliigel mit Unterschallvorderkante. Fiir einen Fliigel mit Unter – schallvorderkante (Bereich I in Abb. 8.45 a) moge hier, ohne auf die

Uco Abb. 8.49. Angestellter Tragfliigel mit Unterschallvorderkante (0 < m < 1). a) FltigelgrundriB (Dreieckflilgel); b) Druckverteilung in einem Schnitt quer zur Strdmungsrichtung, m = 0,6.

Einzelheiten der Rechnung einzugehen, das Ergebnis angegeben werden. Man erhalt fiir die Druckverteilung in einem Schnitt durch den Fliigel quer zur Anstromungsrichtung, vgl. z. B. [16] und [63]:

Bereich I (0 < rj < 1): fL = —Ц. (8.99)

среЬ А m) yl —

Dabei ist m durch Gl. (8.94) gegeben, und E'(m) bedeutet das voll –

standige elliptische Integral zweiter Gattung.1 Im vorliegenden Fall nimmt m die Werte 0 < m < 1 an. Es ist naeh Abb. 8.49 a:

— cot у ==

X

Auf dem Fliigel lauft r von —1 bis +1,. wobei rj = — 1 und r) = – f 1 die Vorderkanten sind.

Tabelle 8.5. Grundlosungen fiir die Druckverteilung der angestellten ebenen Platte bei Uberschallgeschwindigkeit fiir die Bereiche (I), (II), (III) und (IV) nach Abb. 8.45. Cp^ nach Gl. (8.92); m nach Gl. (8.94).

(I) Tragfliigel mit Unterschallvorderkante.

(II) Tragfliigel mit tlberschallvorderkante, Bereich vor der Mach-Linie.

(III) Tragfliigel mit Uberschallvorderkante, Bereich hinter der Mach-Linie.

(IV) Tragfliigel mit Uberschallvorderkante und Seitenkante.

СрІСр.

E’(m) yi _ fp

я/2

E'(m) = J Уі — (1 — m2) sin2(pd(p. Es ist ^'(0) = 1. 0

Ferner ist cPeb die konstante Druckverteilung der angestellten ebenen Platte bei Dberschallgeschwindigkeit nach Gl. (8.92).

In Abb. 8.49b ist die Druckverteilung nach Gl. (8.99) dargestellt. An den beiden Kanten ist cp unendlich groB, wie es fur die Umstromung einer scharfen Unterschallvorderkante erwartet werden muB, vgl. Abb. 8.40a und 8.41a und b. Der Mittelwert des Druckes iiber die Breite ist:

(8.99 a)

SchlieBlich sollen die oben behandelten Grundlosungen in Tab. 8.5 noch einmal zusammengestellt werden. Dabei sind die Beziehungen fur die Druckverteilung der angestellten ebenen Platte wiedergegeben. Die Giil- tigkeitsbereiche fur die Losungen I, II, III und IV sind aus den bei – gegebenen Skizzen zu ersehen. Eine besonders umfangreiche Zusammen – stellung von weiteren Grundlosungen ist von R. T. Jones und D. Cohen [32] angegeben worden.

E

8.414 tlberlagerungsprinzip. Mit den obigen Grundlosungen laBt sich die Auf – triebsverteilung bei Uberschallgeschwindigkeit fur eine beliebige Fliigelform noch nicht ermitteln. In solchen Bereichen des Fliigels, die von den Machschen Kegeln mehrerer Storzentren iiberdeckt werden, wie z. B. die doppelt schraffierten Gebiete in Abb. 8.45, sind die Grundlosungen nicht ohne weiteres anwendbar. Jedoch kann man auch fur diese Gebiete die Losungen nach einem einfachen t)berlagerungs – verfahren erhalten, das im folgenden kurz skizziert werden soil:

Gesucht sei die Auftriebsverteilung eines unverwundenen, zugespitzten Pfeil – fliigels ABGD nach Abb. 8.50. Wir erganzen diesen Flugel zu einem spitzen Flugel AED. Fiir diesen Ausgangsfliigel ist die Auftriebsverteilung aus den obigen Grund­losungen nach Tab. 8.5 bekannt. Um aus dem Flugel AED den vorgelegten Flugel ABGD zu erhalten, denkt man im Punkt В ein Storzentrum angebracht. Von diesem gehen zwei Machsche Linien unter dem Winkel [Л zur Seitenkante BC aus. Die linke Mach-Linie trifft die Hinterkante des vorgelegten Fliigels im Punkt F. In dem Ge – biet ABFD des vorgelegten Fliigels verursacht das Storungszentrum В keine Ande – rung der Auftriebsverteilung. Um nun aus der bekannten Auftriebsverteilung des

Fliigels AED diejenige des vorgelegten Fliigels ABCD zu erhalten, hat man zu der Losung des ersteren Fliigels folgende Losung hinzuzufiigen: Fur den Bereich BEF ist eine Losung mit folgenden Eigenschaften zu finden (sog. Kompensationsflugel). Im Teilgebiet ВЕС muB der Auftrieb des Kompensationsfliigels entgegengesetzt gleich dem des Fliigels AED sein, damit in dem ersteren nach t)berlagerung der Gesamtauftrieb verschwindet (Auftriebsloschung). In dem Teilgebiet BCF darf

I

der Kompensationsflugel keine Normalkomponente der Geschwindigkeit haben, damit in diesem Gebiet nach Uberlagerung der ortliche Anstellwinkel ungeandert bleibt. Auf die Einzelheiten der Berechnung eines solchen Kompensationsfliigels konnen wir hier nicht naher eingehen. Jedoch findet man eine ausfiihrliche Zusam – menstellung der wichtigsten Kompensationsflugel mit den zugehorigen Geschwindig – keitsverteilungen bei R. T. Jones und D. Cohen [32]. Uber die Grundlagen der Theorie vgl. man auch H. Mirels [51].

Beispiel. Das vorstehende Verfahren moge auf ein einfaches Beispiel angewendet werden, namlich auf den Bereich V der angestellten ebenen rechteckigen Platte nach Abb. 8.51 a. Dieser Bereich liegt im EinfluBgebiet der beiden Mach-Kegel, die
von den vorderen Ecken ausgehen. Im vorliegenden Fall ist der Ausgangsfliigel die unendlich breite angestellte ebene Platte mit der bekannten Druckverteilung cp^. Wir wahlen jetzt zwei Kompensationsfliigel 1 und 2 nach Abb. 8.51, die die oben angegebenen Bedingungen, namlich cPi = ~cpeb und cPs = —°реЪ links und rechts von den Seitenkanten, sowie w1 = 0 und w2 = 0 in den beiden von den Machschen Linien auf dem Rechteckfliigel abgeschnittenen Dreiecken erfiillen. In den letzteren Bereichen auf dem vorgelegten Fliigel liefem die Kompensationsfliigel die zusatz – lichen Driicke cPi und cp^. Durch Uberlagerung erhalt man somit die Druckver – teilungen in den verschiedenen Bereichen zu:

% = Чь’

V = 4b + % ’ CPlV = CPeb + S ’

CPv = CPeb ”’ CPl + CP2-

Beriicksichtigt man jetzt, daB die Stromung in den Bereichen III und IV kegel – symmetrisch ist, so laBt sich der Druck in einem beliebigen Punkt des Bereiches V aus den Driicken сРш und cPiv erhalten, wenn man hierfiir die Werte auf den beiden Strahlen nimmt, die durch den vorgegebenen Punkt des Bereiches V hindurchgehen. Eliminiert man cPi und cp^ aus den obigen Gleichungen, so erhalt man fur den Druck im Bereich V das bemerkenswerte Ergebnis

CPv_CPin + CPlV CPeb ’

Hierbei bedeuten cPm und cp^ die in den Bereich V fortgesetzten kegelsymmetri – schen Druckverteilungen der Bereiche III und IV nach Abb. 8.51 e.

ё*Ф 8y2

8.415 Singularitatenmethode fur tlberseballstromung. Wahrend die kegelsymmetrische Stromung der vorigen Abschnitte nur fiir Sonderfalle anwendbar ist, besitzt man in der Singularitatenmethode auch fiir tTber- schallstromungen ein allgemein anwendbares Berechnungsverfahren. Die Grundziige des Singularitatenverfahrens wurden fiir inkompressible Stromungen in Кар. 7.2 und 7.6 erlautert. Die dort angegebenen Losungs – ansatze lassen sich in analoger Weise auf lineare Gberschallstromun – gen iibertragen. Die inkompressible und die kompressible Potential – gleichung lauten nach Gl. (8.40) fiir die dreidimensionale Stromung:

Quellbelegung. In Кар. 7.62 wurde gezeigt, daB man eine Losung der Potentialgleichung fiir Мах = 0 durch eine Quellbelegung in der x, t/-Ebene erhalten kann. Ist q(x y’) das an der Stelle x’, y’ befindliche Quellelement, so gilt nach Gl. (7.223) fiir den Beitrag dieses Elementes

4:1 V(* – x’f – (.MaI – 1) [(y – y’f + г2]

zum Geschwindigkeitspotential der Storbewegung:

Man kann leicht nachweisen, daB dieser Ansatz eine Losung von Gl. (8.100 b) ist. Der Wurzelausdruck hat reelle Werte nur innerhalb der beiden

Machschen Kegel des Punktes x’} y z’ = 0 (Vor – und Nachkegel, vgl. Abb. 8.36) mit dem Offnungswinkel /и, wobei tanp = Ma^ — 1

ist. Das Quellelement im Punkt xуz’ = 0 bringt aus physikalischen Grtinden jedoch nur fur solche Aufpunkte x, y, z einen Beitrag zum Potential, die im Nachkegel des Quellelementes liegen. DaB inGl. (8.101) fur die Dberschallstromung der Faktor vor dem Quellelement doppelt so groB ist wie bei inkompressibler Stromung, ruhrt daher, daB nach Abb. 8.52 bei Dberschallgeschwindigkeit ein Punkt P von zwei Stellen
aus erreicht wird, wahrend er bei Unterschallgeschwindigkeit nur von einer Stelle erreicht werden kann.

Um jetzt das gesamte Potential in einem Aufpunkt x, у, z zu erhalten, ist fiber die Beitrage der Quellelemente in der x’} y’-Ebene zu integrieren. Hierbei werden nur die Nachkegel der Quellelemente beriicksichtigt, wahrend die Vorkegel unberiicksichtigt bleiben. Es gilt somit:

Hierin bedeutet F’ den EinfluBbereich des Punktes x, y,z. Dieser ist fur z = 0 in Abb. 8.37 dargestellt. Fur z 4= 0 wird derEinfluBbereich durch eine Hyperbel begrenzt, vgl. Abb. 8.53.

Die Geschwindigkeitskomponenten in x – und z-Richtung am Ort des Flugels z = 0 ergeben sich aus Gl. (8.102), vgl. hierzu auch Gl. (7.226), zu:

wobei das obere Vorzeichen fur z > 0 und das untere Vorzeichen fur z < 0 gilt.

Die in Gl. (8.103) auszuftihrende partielle Differentiation nach x er – fordert besondere Sorgfalt, da an den Grenzen des von den Machschen Linien gebildeten Integrationsbereiches, die von x und у abhangig sind, der Integrand unendlich wird. Am besten behandelt man solche Integrate mit der Hadamardschen,,Methode der endlichen Bestandteile diver – genter Integrate". Im einzelnen werde verwiesen auf die Arbeit von J. C. Evvard [15], vgl. Кар. 8.424.

Im folgenden moge die Anwendung der Methode der Quellbelegung auf den angestellten Flugel mit VberschallvorderJcante gezeigt werden:

Weil die Anstromungskomponente senkrecht zur Vorderkante groBer als die Schallgeschwindigkeit ist und daher die Vorderkante nicht umstromt wird (Abb. 8.40 c), gibt die Losung fur die Unter – oder Ober – seite eines Keilprofils mit linear zunehmender Dicke zK(x) gleichzeitig die Losung fur die angestellte ebene Platte (vgl. Abb. 8.43a und b). Die Quellverteilung q(x, y) bestimmt sich aus der kinematischen Stro – mungsbedingung, Gl. (7.37), und mit Gl. (8.104) zu:

dx’ dy’ V(* – x’f – (Mai, – 1) (y – yT

Wegen dzKldx=—oc nach Abb. 8.19 ist somit g(#, y) = — 2 Damit ergibt sich fiir den Druckbeiwert cp = —2и/ nach Gl. (8.103):

Der fiir den Punkt x, у auf der Tragflache vorgeschriebene Integrations – bereich ist in Abb. 8.37 schraffiert eingetragen.

Wirbelbelegung. Der angestellte Tragfliigel mit Unterschallvorderkante laBt sich nach der besprochenen Methode der Quellbelegung nicht ohne weiteres behandeln, weil in diesem Fall eine Umstromung der Vorder – kante stattfindet. Ein Verfahren, den Fltigel mit Unterschallvorderkante dennoch nach der Quellmethode zu berechnen, wird in [14] und [15] an – gegeben. Statt der Quellbelegung empfehlen sich besonders auch die Dipolbelegung nach [29] sowie eine Wirbelbelegung von der Art, wie sie fiir inkompressible Stromung bereits in Кар. 7.2 dargelegt wurde.

In Кар. 7.241 wurde gezeigt, daB man eine Losung der inkompres – siblen Potentialgleichung durch eine Wirbelbelegung in der x, i/-Ebene erhalten kann. Ist k(x’, yf) das an der Stelle x’, y’ befindhche Wirbel – element (Abb. 7.13), so gilt nach Gl. (7.48) fiir den Beitrag dieses Ele – mentes zum Geschwindigkeitspotential:

Г = i(x — x’Y + (y — y’f + Z2.

Die entsprechende Losung fiir Cberschalistromung lautet analog zu Gl. (8.101):

mit

r = i(x – X’f – (Mai – 1) 1(3/ – У’? + z2] •

Beim Ubergang vom Potential der inkompressiblen Stromung zu dem – jenigen der Uberschallstromung ist in der vorigen Gleichung das GUed mit 1 in der Klammer auszuscheiden, da es im ganzen Raum reell ist und somit bei Uberschallgeschwindigkeit physikahsch keinen Sinn hat. Das GUed mit 1/r im Potential der inkompressiblen Stromung geht in das nur im Mach-Kegel reelle Potential der Uberschallstromung iiber. Dieses GUed erhalt jedoch fiir die Uberschallgeschwindigkeit einen zusatzUchen Faktor 2 ausGriinden, die im AnschluB an Gl. (8.101) erlautert wurden.

Um jetzt das gesamte Potential in einem Aufpunkt x, y, z zu erhalten, ist wieder uber die Beitrage der Wirbelelemente in der x’, y’-Ebene zu integrieren. ffierbei werden nur die Nachkegel der Wirbelelemente be- riicksichtigt, wahrend die Vorkegel unberiicksichtigt bleiben. Damit ergibt sich fiir das Potential der Wirbelbelegung:

+«

ф(х, = (y _ yT + z2 Q{x, У, г; У’) dy’ (8.108)

V(* – *’)2 – (Ma% – 1) [(y – y’)2 + z2]

mit

Dabei ist in Gl. (8.108) in Spannweitenrichtung йЬег die Breite des Vor – kegels zu integrieren, vgl. Abb. 8.53. In Gl. (8.109) ist iiber x’ im Vor-

Abb. 8.53. ErlSuterungsskizze zum Integrationsbereich ftir das Potential eines Tragfldgels bei Anstromung mit Uberschallgeschwindigkeit nach Gl. (8.108) und (8.109).

kegel des Punktes x, y, z von der Vorderkante xv(y’) bis zum Mach-Kegel x0(y’) zu integrieren. Es ist

Ч(у’) = X – ^(Ma% – 1) [{y – y’)2 – f – z2]. (8.110)

Die Geschwindigkeitskomponenten in x – und z-Richtung am Ort des Fliigels z = 0 ergeben sich aus den Gin. (8.108) und (8.109), vgl. hierzu die Gin. (7.34) und (7.38):

V(* – *’)a – – 1) (y – y’f

mit

Aus der Geschwindigkeitskomponente и erhalt man wie nach Gl. (7.41) fur die Druckdifferenz zwischen Unter – und Oberseite des Fliigels:

(8.114)

Um die Gleichung fiir die Wirbeldichte к (x, у) zu erhalten, ist noch die kinematische Stromungsbedingung zu beriicksichtigen. Diese lautet nach Gl. (7.37) fiir den unverwundenen Fliigel:

UooOC + w(x, y) = 0.

Nach Einfiihrung von Gl. (8.112) in Gl. (8.115) ist die letztere Gleichung bei vorgegebener Flugelform eine Integralgleichung fur die Ermittlung der Wirbeldichte k(x, y). Die L5sung dieser Integralgleichung bereitet ebenso wie bei inkompressibler Stromung erhebhche Schwierigkeiten, vgl. hierzu [11], [15], [29].

Eine verhaltnismaBig einfache Losung fur die Singularitatenmethode fiir einige Beispiele wurde schon friihzeitig von L. Pbandtl [59] und H. Schlichting [64] angegeben.

Tm folgenden soil jetzt das vorstehend gegebene Verfahren zur Berechnung der Auftriebsverteilung an Tragfliigeln bei Unterschall – geschwindigkeit auf einige Beispiele angewendet werden.

Unverwundene Fliigel. Wir berechnen die aerodynamischen Beiwerte fur die gleichen Fliigel, fur die in Кар. 7.3 die Auftriebsverteilungen bei inkompressibler Stromung ermittelt wurden. Es handelt sich dabei um einen Trapezfliigel, einen Pfeilfliigel und einen Dreieckfliigel mit Seiten – verhaltnissen zwischen A = 2 und 3. In Abb. 8.25 sind diese drei vor – gegebenen Fliigel in der obersten Zeile dargestellt. Die geometrischen Daten der Fliigel sind in Tab. 7.5 zusammengestellt. Die zweite und dritte Zeile von Abb. 8.25 zeigen die nach der Prandtl-Glauertschen Regel fur Max = 0,4 bzw. Max = 0,8 transformierten Fliigel. Fur

diese Fltigel sind die Auftriebsverteilungen nach den Methoden der in – kompressiblen Stromung von Кар. 7.3 berechnet worden. Insbesondere wahlen wir fiir diese Beispiele das Tragflachenverfahren von Кар. 7.35.

Die Ergebnisse der Berechnung der Auftriebsverteilung fur die unverwundenen Fliigel (oc = 1) sind in Abb. 8.26 wiedergegeben. In

Abb. 8.25. Die Grundrisse der vorgegebenen und der transformierten Fliigel fiir die Beispiele zur Auftriebsverteilung bei Unterschallgeschwindigkeit. Vorgegebene Fltigel: vgl. Tab. 7.5. a) Trapezfliigel: <p = 0°; Л = 2,75; Я = 0,5; b) Pfeilflfigel: <p — 50°; Л — 2,75; Я = 0,5; c) Dreieckfltigel: <p — 52,4°; Л = 2,31; Я = 0.

den unteren Abbildungen sind die dimensionslosen Auftriebsverteilungen у nach Gl. (8.76) fiir die Machschen Zahlen Ma^ = 0 und Ma^ = 0,8 dargestellt. Dabei stimmen die Kurven fiir Ma^ = 0 mit den in Abb. 7.31 als Kurve (3) angegebenen Verteilungen iiberein. In den oberen Abbildungen sind die ortlichen Neutralpunkte sowie die Gesamtneutral – punlcte N in die Fliigelgrundrisse eingezeichnet.

Abb. 8,26. Zirkulationsverteilung у fiir a = 1 und ortliche Neutralpunktlage fur die drei unverwundenen Fliigel nach Abb. 8.25
fiir Ma^ — 0 und 0,8; gerechnet nach der Tragflachentheorie, Кар. 7.352.

a) Trapezfliigel; b) Pfeilfliigel; c) Preieckflugel,

Weitere Ergebnisse fur die gleichen Fliigel sind in Abb. 8.27 zu- sammengestellt. In den oberen Abbildungen sind die Auftriebsanstiege und in den unteren die Neutralpunktverschiebungen gegeniiber dem geometrischen Neutralpunkt in Abhangigkeit von der Mach-Zahl an – gegeben. Die fiir Ma^ = 1 als offene Kreise eingetragenen Punkte sind

— Messungen nach [4], Profildicke 6 = 0,05.

theoretische Werte einer Naherungstheorie, die in Кар. 8.5 erlautert wird. AuBerdem sind in alien sechs Diagrammen Messungen von E. Bek – ker und E. Wedemeyer [4] eingetragen. Die gemessenen Auftriebs­anstiege stimmen mit der Theorie durchweg gut xiberein. Bei den Neutral – punktlagen wird die Abhangigkeit von der Mach-Zahl im allgemeinen von der Theorie befriedigend wiedergegeben. Gewisse Unterschiede der Neutralpunktlage zwischen Theorie und Experiment durften haupt – sachlich auf den EinfluB der endlichen Profildicke zuriickzufuhren sein, die in der Theorie vernachlassigt wurde; man vergleiche hierzu Abb. 8.5b.

Es ist bemerkenswert, daB sich beim Trapezflugel durch den Kompres- sibilitatseinfluB der Neutralpunkt stark nach vorn verschiebt. Dieses theoretische Ergebnis wird jedoch durch Messungen nur teilweise be – statigt, weil nach Dberschreiten der kritischen Mach-Zahl Verdichtungs – stoBe auftreten. Die beiden iibrigen Flugel, der Pfeilflugel und der Drei – eckflugel, weisen eine Neutralpunktverschiebung nach hinten auf.

T)ber den induzierten Wider stand brauchen keine naheren Angaben gemacht zu werden, da, wie in 61. (8.80) angegeben wurde, der Quotient cwilcA unabhangig von der Mach-Zahl und somit gleich dem Wert bei inkompressibler Stromung ist, vgl. Tab. 7.5.

Weitere Ergebnisse uber die aerodynamischen Beiwerte von Drei – eckflugeln, und zwar fur verschiedene Seitenverhaltnisse Л, sind in Abb. 8.59 zusammen mit solchen fur Uberschallgeschwindigkeit an­gegeben.

EllipsenfliigeL Fur den Fliigel mit elliptischem GrundriB lassen sich einfache geschlossene Formeln fur den Auftriebsanstieg in Abhangigkeit von der Mach-Zahl angeben. Fur inkompressible Stromung gilt nach Gl. (7.125) fur den Auftriebsanstieg:

IdcA = %лЛік

[doc/ik ]/л% + 4 + 2*

Nach Anwendung der Prandtl-Glauertschen Regel wird

dcA 2TiA

d* f(l – + 4 – f 2

Hieraus erhalt man ftir

О t	a-lg. * 1^ II		(8.82a)
A -> oo:	dcA	2 n	(8.82b)
doc	Vi – Mdi,

Gl. (8.82a) ist identisch mit Gl. (7.121). Fur sehr kleines Seitenverhalt – nis verschwindet also die Abhangigkeit des Auftriebsanstieges von der Mach-Zahl. Gl. (8.82b) ist identisch mit Gl. (8.7) fiir das ebene Problem. Fur den Fall Ma^ = 1 ergibt sich:

Dieser Wert gilt auch fur Trapez – und Dreieckfliigel und wurde bereits in Abb. 8.27 a und c mit eingetragen.

12 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

Fur das Verhaltnis der Auftriebsanstiege fiir Ma^ =4= 0 und Ma^ = 0 gilt nach Gl. (8.81):

mim = . ,8.83,

d(x/l doc/ма^^о У(1 – Male) Л* + 4 + 2

Diese GroBe ist in Abb. 8.28 in Abhangigkeit yon der Maehsehen Zahl fiir verschiedene Seitenverhaltnisse dargestellt. Diese Abbildung zeigt,

Abb. 8.28. Verhaltnis des Auftriebsanstieges bei kompressibler und inkompressibler Stromung fiir Ellipsenflugel von verschiedenem Seitenverhaitnis Л in Abhangigkeit von der Maehsehen Zahl, naeh Gl. (8.83).

daB der KompressibilitatseinfluB auf den Auftriebsanstieg mit ab- nehmendem Seitenverhaitnis A geringer wird. Auf diese Tatsache wurde erstmalig von B. Gothert [23] hingewiesen.

Zahlenwerte uber den KompressibilitatseinfluB bei Unterschall – geschwindigkeit fiir die flugmechanischen Beiwerte, z. B. des rollenden, nickenden und schiebenden Fliigels, findet man in einer Arbeit von F. Kowalke [39].

8.31 Rechenverfahren

In Кар. 8.22 ist gezeigt worden, daB die Berechnung der Umstromung eines Tragfliigels endlicher Spannweite fiir Mach-Zahlen Ma^ < 1 zuriickgefiihrt werden kann auf die Ermittlung der inkompressiblen Stromung fiir einen Tragfliigel endlicher Spannweite. Das entsprechende Problem fiir den Tragfliigel unendlicher Spannweite (Profiltheorie) wurde in Кар. 8.12 erortert. Die Berechnung der inkompressiblen Stro – mung wurde fur den Tragfliigel unendlicher Spannweite in Кар. VI und fur den Tragfliigel endlicher Spannweite in Кар. VII ausfiihrlich be – sprochen. Die Methoden der inkompressiblen Tragfliigeltheorie haben somit eine Bedeutung, die weit iiber den Bereich der inkompressiblen Stromung hinausgeht.

Den Ausgangspunkt fiir unsere weiteren Betrachtungen bildet die zweite Fassung der Prandtl-Glauertschen Regel nach Кар. 8.22. Hier

soil jetzt der dem vorgegebenen Fliigel bei vorgegebener Mach-Zahl zu – geordnete Fliigel bei inkompressibler Stromung mit dem Index і к gekennzeichnet werden. Damit lauten die Umrechnungsformeln fiir den FliigelgrundriB nach den Gin. (8.42) und (8.48):

Bei ungeandertem Profil, (f/l)ik = f/l, (d/l)ik = d/l, und ungeandertem Anstellwinkel, ocik — л, ergibt sich der Druckbeiwert des vorgegebenen Fliigels cp aus demjenigen des transformierten Fliigels (cp)tfc nach Gl. (8.56) zu:

In Abb. 8.24 ist die geometrische Transformation fiir einen trapez- formigen Pfeilflugel im Geradeausflug und im Schiebeflug fiir die Mach-Zahl Ma= 0,8 dargestellt. Die Umrechnung des Druckbei – wertes nach Gl. (8.73) wurde bereits in Abb. 8.22 angegeben.

8.32 Angestellter Tragfliigel endlicher Spannweite (Auftriebsproblem)

8.321 Allgemeine Formeln

Auftriebsverteilung. Den ortlichen Auftriebsbeiwert eines Trag – fliigelschnittes erhalt man durch Integration der Druckverteilung iiber die Fliigeltiefe nach Gl. (5.38). Unter Beachtung von Gl. (8.73) lautet demnach die Umrechnungsformel fiir den ortlichen Auftriebsbeiwert:

Ca(y) ,—————– (Са)ік(Уік) (л — &ik) • (8.74)

у 1 – AT<&

Eine entsprechende Beziehung gilt fiir den ortlichen Nickmomenten- beiwert :

Die Rechenverfahren zur Ermittlung der Auftriebsverteilung bei in- kompressibler Stromung, wie sie in Кар. 7.3 beschrieben wurden, liefern die Auftriebsverteilung langs Spannweite nach den Gin. (7.70) und (7.145) in der dimensionslosen Form:

(ca)ikhk

2 b№ und die Nickmomentenverteilung nach Gl. (7.146) in der Form

Setzt man die Gin. (8.71a, b) in (8.74) und (8.75) ein, so findet man fur die dimensionslosen Verteilungen bei kompressibler Stromung:

y =26 = Уік’ » = (8-76)

Diese Gleichungen zeigen, daB die dimensionslose Auftriebs – und Mo – mentenverteilung beim Ubergang von der inkompressiblen auf die kompressible Stromung ungeandert bleibt. Es ist jedoch zu beachten, daB die Verteilungen у und yik sowie ц und juik zu verschiedenen Grund – rissen gehoren, Abb. 8.24.

Gesamtauftrieb und Nickmoment. Die Umrechnung der Beiwerte von Gesamtauftrieb und Nickmoment liefert unter Beachtung der Gin. (8.70), (8.71a, b) und (8.73):

Die Umrechnungsformeln fur die iibrigen aerodynamischen Beiwerte sind in Tab. 8.4 zusammengestellt.

Induzierter Widerstand. Fur den Beiwert des induzierten Wider – standes gilt die folgende Umrechnungsformel:

cwi = ‘ – zz{cWi)ik (oc = <xik). (8.79)

yl – Male

Bei inkompressibler Stromung ist nach Gl. (7.24) fur elliptische Auf­triebsverteilung (cWi)ik — (cA)ikj7тЛік. Setzt man fur (cA)ik und Лік die obigen Umrechnungsformeln ein, so findet man die Beziehung:

Tabelle 8.4. Umrechnungsformeln fur die aerodynamischen Beiwerte eines Trag- fliigels endlicher Spannweite bei UnterschaUgeschwindigkeit (Prandtl-Glauertsche Hegel), oc — octf; f = jiff. Druckverteilung cp — ,————— — (cp)ik ІІ – Mai Auftrieb Ca — , (сл)ік Vl – Ma%, Auftriebsanstieg dcA doc 1 idcA І і – Mai а*П* N ullauf triebs winkel (X0 = (ao )ik Nickmoment CM — , 0 (см)ік Vl – Mai Neutralpunktlage XN h = (-) ^ / ik Nullmoment cmo — . „ (cikfо)гАг Vl – Mai Rollmoment 4 — —————- — (cl)ik Vl – Mai

Die Formel fiir den Beiwert des induzierten Widerstandes in Abhangig – keit vom Auftriebsbeiwert ist somit unabhangig von der Machschen Zahl.

Da die vorstehend besprochenen Ahnlichkeitsregeln nur fiir reine Unterschall – und reine Gberschallstromungen gelten, soil im folgenden auch noch eine AhnUchkeitsregel fiir die transsonische Stromung
(Ma^ = 1) angegeben werden. Den Ausgangspunkt hierfiir bildet die nichtlineare Potentialgleichung (8.41), welche fur Ma^ = 1 gilt. Wahrend bei den Ahnlichkeitsregeln fiir die reinen Unterschall – und Uberschallstromungen die Abhangigkeit der aerodynamischen Beiwerte von den geometrischen Fliigelparametern und der Machschen Zahl untersucht wurde, steht jetzt, weil Ma^ = const = 1 ist, nur noch die Abhangigkeit der aerodynamischen Beiwerte von den geometrischen Parametern zur Diskussion.

Wir gehen von folgender Fragestellung aus: Vorgegeben ist ein Fliigel mit alien seinen geometrischen Daten (GrundriB und Profil) beim Anstellwinkel Null. Gefragt ist, wie ein Vergleichsflugel, der ebenfalls mit Ma^ = 1 angestromt wird, aussehen muB, damit er eine affine Druckverteilung wie der vorgegebene Fliigel besitzt. Um diese Frage zu beantworten, wird in Gl. (8.41) die folgende Transformation eingefuhrt :

(8.61)

Da auch der Vergleichsflugel (Werte mit Strich) mit Ma^ — 1 an­gestromt wird, muB fur ihn ebenfalls Gl. (8.41) erfiillt sein. Damit folgt aus Gl. (8.61):

(8.62)

Um eine weitere Beziehung zwischen den Konstanten c3 und c4 zu er – halten, setzen wir fur beide Fliigel die kinematische Stromungsbedingung an:

(8.63 a, b)

wobei zK(x, y) die Kontur des Fliigels bedeutet. Setzt man Gl. (8.60) in (8.63 a) ein, so wird wegen w = d0fdz:

Mit w’ = d0’ldzf und mit Gl. (8.63b) erhalt man:

durch den Faktor c3 gegeben. Es gelten somit die Umrechnungsformeln:

Zuspitzung: V = A,

Als Beispiel fur diese v. Karmansche Ahnlichkeitsregel [37] ist in Abb. 8.23 die Transformation fiir einen gepfeilten Fliigel dargestellt.

Transformation der Druckverteilung. Die Transformation der Druck­verteilung erhalt man analog zu den Gin. (8.51) und (8.52), wobei lediglich c2 durch c4 zu ersetzen ist, also cp — c4c^. Mit c4 nach Gl. (8.65) ergibt sich somit:

Will man die Abhangigkeit der Druckverteilung auch von den geo – metrischen Parametern zum Ausdruck bringen, so hat man aus Gl. (8.67) unter Beriicksichtigung von Gl. (8.66) die folgende Beziehung:

Cp = 6213 g (а, Л tan9?, Л d1 ‘3, у, ^). (8.68)

Im Grenziibergang zur zweidimensionalen Stromung (A = 1, cp = 0 A -> oo) folgt hieraus, daB der Druckbeiwert proportional zu <52/3 ist in t)bereinstimmung mit Gl. .(3.181), vgl. Abb. 3.51a. Nach der linearen Unterschall – und t)berschalltheorie ist dagegen der Druckbeiwert proportional zu <5.

Aus Gl. (8.68) ergibt sich fur den Widerstandsbeiwert sofort die folgende Beziehung:

cw = <55/3 © (A, A tan?, Лд11*). (8.69)

Hiernach ist der Widerstandsbeiwert proportional zu <55^3. Die ent – sprechende Formel fiir den ebenen Fall wurde in Gl. (3.182) angegeben, vgl. hierzu Abb. 3.51b. Die experimentelle Nachpriifung fiir den ebenen Fall wurde in Abb. 3.50 gezeigt. Auch diese v. Karmansche Ahnlichkeits­regel fiir den raumlichen Tragfliigel eignet sich besonders gut fiir die iibersichtliche Darstellung von Versuchsergebnissen; man vgl. hierzu auch J. R. Spreiter [68].

Die Ahnlichkeitsregeln fiir Unterschall – und Uberschallstromung erhalt man aus einer Transformation der Potentialgleichung (8.40). Diese Transformation soil von der Art sein, daB in der transformierten Potentialgleichung die Mach-Zahl der Anstromung nicht mehr explizit vorkommt.

Zu diesem Zweck ordnen wir der vorgelegten kompressiblen Stro­mung eine transformierte Vergleichsstromung in geeigneter Weise zu. Wir versehen die GroBen in der transformierten Stromung mit einem Strich und setzen die Transformationsformeln folgendermaBen an (vgl. hierzu Кар. 3.34):

x’ = x, у’ = сху, z’ = сгг, Ф = с2Ф XJ’Q0 = V00. (8.42)

Fiihrt man dieses in Gl. (8.40) ein, so erhalt man

Aus dieser Gleichung bestimmen wir den Faktor cx > 0 so, daB die Mach-Zahl aus der Gleichung herausfallt. Dieses ergibt fur

Unterschallgeschwindigkeit: cx = У1 — Ma^ (Ma^ < 1), (8.44 a)

Uberschallgeschwindigkeit: cx = УMa^ — 1 (Ma^ > 1). (8.44b)

Beide Falle lassen sich auch zusammenfassen in die Gleichung

<a = V|1 – Mai і

д2Ф’ <№ дх’2 + dy’2 dz’2

Mit Gl. (8.44) ergeben sich aus Gl. (8.43) fiir die transformierte Ver­gleichsstromung folgende Differentialgleichungen fiir das Potential bei Unterschallgeschwindigkeit:

д2Ф’ д2Ф’ д2Ф’ ~м2 ~

bei Uberschallgeschwindigkeit:

Die transformierte Gleichung fiir die Unterschallstromung ist identisch mit der Potentialgleichung der inkompressiblen Stromung nach Gl. (2.72). Die transformierte Gleichung fiir Uberschallstromung ist identisch mit
der linearen Potentialgleiehung (8.40) fur die Mach-Zahl MaOQ= ]/2. Diese Transformation zeigt, daB man die Berechnung der Unter – schallstromungen fiir beliebige Machsche Zahlen zuriickfiihren kann auf die Berechnung der Stromung bei Maж — 0 und die Berechnung der tlberschallstromungen fiir beliebige Machsche Zahlen auf diejenige bei Max = f2.

Der Transformationsfaktor c2 in Gl. (8.42) bleibt zunachst noch un – bestimmt. Er wird weiter unten angegeben werden. Wir bezeichnen die

Abb. 8.19. Eriauterungsskizze zur
Flugelgeometrie.

a) FliigelgrundriB,

A = lJk, Zuspitzung,

Л = bl/F, Seitenverhaltnis,

F FlugelgrundriBflache,

<P Pfeilwinkel;

b) Profilschnifcfc у = const, zK(x) Profilkontur,

fll relative Wolbung, dll relative Dicke,

<x Anstellwinkel.

angegebene Transformation als die Prandtl-Glauert-Aclceretsche Ahnlich- keitsregel der raumhchen Tragfliigeltheorie.

Transformation der geometrischen Fliigeldaten. Es soil im folgenden gezeigt werden, wie sich die Transformationsformeln, Gl. (8.42), auf einen Tragfliigel endlicher Spannweite anwenden lassen. Das Koordinaten – system x, y, z sei nach Abb. 8.19 gewahlt. Die #-Achse fallt in die An – stromungsrichtung. Aus Gl. (8.42) ergeben sich die Vorschriften, wie aus einem vorgegebenen Fliigel fiir eine vorgegebene Mach-Zahl der trans – formierte Fliigel erhalten wird, dessen Umstromung nach der obigen Regel fiir Unterschallgeschwindigkeit bei Ma^ = 0 und fiir Gberschall – geschwindigkeit bei Ma^ = У 2 berechnet werden muB. Aus dem vor­gegebenen Tragfliigel erhalt man den transformierten Fliigel nach Gl. (8.42) dadurch, daB man seine Abmessungen senkrecht zur Anstromungs-
richtung, also in y – und z-Richtung, mit dem Faktor cx nach Gl. (8.45) verkleinert bzw. vergroBert.

Ftir den Fliigelgrundrip, vgl. Кар. 5.12, ergeben sich folgende Um – rechnungsformeln:

a vorgegebenerFUige!

b transformierte Huget

Ma^i	|/%co^ 1
/|			V
	M
Mdao	‘0J

Abb. 8.20. Anwendung der Prandtl-Glauert-Ackeretschen Regel auf das Beispiel eines zugespitzten

Pfeilfltigels.

a) Vorgegebener Flttgel, der fur die Mach-Zahlen = 0,7; 0,9; 1,1 und 2,0 berechnefc werden

soil;

b) transformierte Flttgel fttr diese Mach-Zahlen.

Zuspitzung:	X = A,	(8.48 a)
Seitenverhaltnis:	Л’ = лУ|1 – Mall,	(8.48b)
Pfeilung:	cot (pf = cot(p]/l — МаЦ.	(8.48 c)

11 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

Aus den Gin. (8.48b) und (8.48c) erhalt man sofort die bemerkenswerte Beziehung

A’ tan <p’ = Л tan <p. (8.48d)

Dabei ist es gleichgtiltig, auf welche im FliigelgrundriB festgelegte Ge – rade der Pfeilwinkel bezogen wird, z. B. Vorderkante oder Hinterkante.

In Abb. 8.20 ist die Transformation des Fliigelgrundrisses am Beispiel eines zugespitzten Pfeilfliigels erlautert. Der schraffierte FliigelgrundriB in Abb. 8.20a ist der vorgegebene Fliigel, dessen Umstromung fiir ver – schiedene Mach-Zahlen Ma= 0,7; 0,9; 1,1 und 2,0 ermittelt werden soil. Die dazugehorigen transformierten Fliigelgrundrisse sind in Abb. 8.20b dargestellt. Dabei sind fiir Ma^ < 1 die transformierten Fliigel bei inkompressibler Stromung (Ma= 0) und fiir Ma^ > 1 bei Ма„ — У 2 zu berechnen.

Die Transformation des Fliigelgrundrisses, wie sie durch Gl. (8.48a, b, c) gegeben ist, ist in Abb. 8.21 noch naher erlautert. In dieser Ab-

Abb. 8.21. Zur Anwendung der Prandtl-Glauert-Ackeretschen Kegel. Transformation des Fliigel- grundrisses: SeitenverMltnis Л’ und Pfeilwinkel <p’ des transformierten Fliigels in Abhangigkeit von der Machschen Zahl.

bildung ist Л’IA und cot 99’/cot 99 iiber derMach-Zahl Maaufgetragen. Es ist wie in Abb. 8.20 der schraffierte FliigelgrundriB der vorgegebene Fliigel, der bei verschiedenen Mach-Zahlen berechnet werden soil. Die nichtschraffierten Fliigelgrundrisse stellen die transformierten Fliigel dar, die zu den vorgegebenen Mach-Zahlen gehoren. Ist die vorgegebene Mach-Zahl Ma^ = 0 bzw. Ma^ = ]/~2, so stimmt der transformierte Fliigel mit dem vorgegebenen Fliigel iiberein. Man erkennt aus Abb. 8.21,
daB im Unterschallbereich mit wachsender Mach-Zahl fur den trans – formierten Fliigel sich das Seitenverhaltnis verkleinert, wahrend der Pfeilwinkel sich vergroBert. Fur Ma^ -> 1 strebt das Seitenverhaltnis des transformierten Fliigels A -> 0 und sein Pfeilwinkel gegen <p’ -> 90°. Im Dberschallbereich hat man bei Ma^ > У 2 fiir den transformierten Fliigel mit wachsender Mach-Zahl eine Zunahme des Seitenverhaltnisses und eine Abnahme des Pfeilwinkels. Im Grenzfall sehr groBer Mach-Zahl strebt das Seitenverhaltnis des transformierten Fliigels A -> oo und der Pfeilwinkel 9/ -> 0. Somit hat man das bemerkenswerte Ergebnis, daB bei groBen Uberschall-Machzahlen die raumliche Tragfliigelstromung in die ebene Tragfliigelstromung iibergeht.

Die Prandtl-Glauert-Ackeretsche Regel laBt sich auch fiir unsym- metrische Anstromung (schiebender Fliigel) anwenden, vgl. hierzu [76].

Fiir den Profilschnitt und den Anstellwinkel (Abb. 8.19b) ergeben sich aus den Gin. (8.42) und (8.45) folgende Umrechnungsformeln:

Wolbungsverhaltnis: І – — 11 — Ma^ | , (8.49a)

L L

Dickenverhaltnis: у = у У 11 — Ma^ | , (8.49b)

Anstellwinkel: ос’ = л У 11 — Ма^ | . (8.50)

Fiir Маоо < У 2 hat also der transformierte Fliigel geringere Wolbung und geringere Dicke sowie kleineren Anstellwinkel als der vorgegebene Fliigel, dagegen fiir Ma^ > У 2 groBere Wolbung, groBere Dicke und groBeren Anstellwinkel als der vorgegebene Fliigel.

Transformation der Druckverteilung. Im vorstehenden wurde die Auswirkung der Transformation Gl. (8.42) zunachst auf die Fliigel – geometrie diskutiert. Es muB jetzt noch angegeben werden, welche Beziehung zwischen der Druckverteilung des vorgegebenen und der – jenigen des transformierten Fliigels besteht.

Fiir die dimensionslosen Druckkoeffizienten cp = (p — Poo)^/^ gilt nach Gl. (3.32 a) im Rahmen der linearen Naherung:

Dabei wird vorausgesetzt, daB fiir den vorgegebenen und den trans­formierten Fliigel die Anstromungsgeschwindigkeit gleich groB ist. Hieraus folgt sofort wegen Gl. (8.42) :

Cp = c2Cp. (8.52)

r dzK 00 8x [34]

dx’9

Der noch nicht bekannte Transformationsfaktor c2 wird aus den kine – matischen Stromungsbedingungen fiir die beiden Fliigel ermittelt (Stromlinienanalogie). Diese lauten im Rahmen der linearen Naherung

wobei w und w> die z-Komponenten der Storgeschwindigkeit auf der Profilkontur zK bzw. z’K (Abb. 8.19b) bedeuten. Wegen w = дФ/dz und w’ = d0’ldz’ ergibt sich unter Beachtung von Gl. (8.42):

cfc2 = 1

und somit wegen Gl. (8.45):

_ 1

“ |1 —

Damit ist jetzt auch die Konstante c2 bestimmt.

In Worten kann man den Inhalt der Prandtl-Glauert-Ackeretschen Regel folgendermaBen zusammenfassen 😡

Fassung I: Aus dem vorgegebenen Tragfliigel und der vorgegebenen Mach-Zahl bildet man einen transformierten Fliigel dadurch, daB man seine Abmessungen in y – und z-Richtung und seinen Anstellwinkel mit dem Faktor cx = ^ 1 — Ma{% multipliziert, wahrend seine Ab­messungen in ж-Richtung ungeandert bleiben. Fiir den so erhaltenen transformierten Fliigel ist, wenn die vorgegebene Mach-Zahl im Bereich der Unterschallgeschwindigkeit liegt, die inkompressible Stromung zu berechnen. Liegt die vorgegebene Mach-Zahl dagegen im Bereich der tlberschallgeschwindigkeit, so ist fiir den transformierten Fliigel die kompressible Stromung fiir Ma^ = У 2 zu berechnen. Bei gleicher An – stromungsgeschwindigkeit fiir den vorgegebenen und fiir den transfor – mierten Fliigel besteht dann zwischen den Druckbeiwerten der Zu – sammenhang:

_ V – Poo _ Cp p q0о 11 — Md^ I *

Im HinbUck auf die praktischen Anwendungen ist es angebracht, eine solche Transformation zu haben, bei welcher nur die Abmessungen in der i/-Richtung (FliigelgrundriB) verzerrt werden, wahrend die Ab­messungen in der z-Richtung (Profil und Anstellwinkel) ungeandert bleiben. Eine solche Transformation erhalt man aus der obigen Fassung I

dadurch, daB man nachtraglich die Verzerrung in der z-Richtung nach den Gin. (8.49 a, b) und (8.50) wieder riickgangig macht. Damit andert sich dann der Druckbeiwert nach Gl. (8.55) im Rahmen der linearen Theorie noch nm den Faktor ]/11 — Ma% | . Man erhalt dann fur den Druckbeiwert:

(8.56)

Dieser Zusammenhang ist in Abb. 8.22 dargestellt. Damit ergibt sich fur die Prandtl-Glauert-Ackeretsche Regel die folgende Fassung:

Abb. 8.22. Zur Anwendung der Prandtl-Glauert-Aekeretschen Uegel (Fassung II). Transformation der Druckbeiwerte nach Gl. (8.56).

Fassung II: Aus dem vorgegebenen Tragfliigel und der vorgegebenen Mach-Zahl bildet man einen transformierten Fliigel derart, da В man seine Abmessungen in der y-Richtung mit dem Faktor cx = )/11 — Ma^ ( multipliziert, wahrend seine Abmessungen in x – und z-Richtung sowie der Anstellwinkel unverandert bleiben. Fur den so erhaltenen transformier­ten Fliigel ist, wenn die vorgegebene Mach-Zahl im Bereich der Unter – schallgeschwindigkeit liegt, die inkompressible Stromung zu berechnen. Liegt die vorgegebene Mach-Zahl dagegen im Bereich der Uberschall- geschwindigkeit, so ist fur den transformierten Fliigel die kompressible Stromung fiir Ma00 = У 2 zu berechnen. Bei gleicher Anstromgeschwin – digkeit fiir den vorgegebenen und fiir den transformierten Fliigel besteht dann zwischen den Druckbeiwerten der Zusammenhang nach Gl. (8.56).

Abhangigkeit der aerodynamischen Beiwerte von der Machschen Zahl. Aus der Prandtl-Glauert-Ackeretschen Regel ergeben sich fiir die

aerodynamisehen Beiwerte die f olgenden allgemeingtiltigen Beziehungen: Wenn die Funktion

= A’; «*,/;£;£) (8.57)

die Abhangigkeit des Druckbeiwertes von den geometrischen Fliigel- daten bei M= 0 oder Ma^ = ]/ 2 bedeutet, so erhalt man die ent – sprechende Abhangigkeit von den geometrischen Fltigeldaten bei einer beliebigen Mach-Zahl wegen der Gin. (8.48) und (8.56) in der Form:

c„= * dx-,Ai\-Mal ; cotqp ]/11 — I ; у; —V

V| 1 – Male] l 4

(8.58 a)

ШегЬеі bedeutet d entweder die relative Dicke d/l, die relative Wolbung //Z oder den Anstellwinkel <x. Diese Gleichung laBt sich auch noch in der folgenden einfacheren Form schreiben:

cP=~. 8 , Ч»ІЬЛіпаг, ЛІі-Mail ;Z;A. (8.58b)

Vi 1 – Male I I 4

Aus der vorstehenden Formel fur die Druckverteilung erhalt man durch Integration liber die Fliigelflache eine entsprechende Formel fiir den Auftriebsbeiwert:

Ca = 6 3f (a; Л tan?; Л ^ і 1 – Mai|). (8.59)

Уі і — і ‘ ‘

Hierin bedeutet jetzt d den Anstellwinkel oder die relative Wolbung. Im Grenziibergang zur ebenen Stromung (A = 1, (p = О, Л -> oo) geht diese Prandtl-Glauert-Ackeretsche Ahnlichkeitsregel fiir Unterschall- geschwindigkeit in die bekannte Prandtl-Glauertsche Regel nach Gl. (8.7) und fiir Gberschallgeschwindigkeit in die Ackeretsche Losung nach Gl. (8.17) iiber. Der besondere Wert der vorstehenden Formeln besteht darin, daB sie den EinfluB der Machschen Zahl in einfacher Weise zum Ausdruck bringen. Aber auch fiir das Ordnen von Versuchs – ergebnissen sind sie von groBem Nutzen.

Eine zu Gl. (8.59) analoge Formel fiir den Widerstandsbeiwert wird in Gl. (8.141) angegeben, die jedoch nur fiir Gberschallgeschwindigkeit Giiltigkeit hat.

8.21 Geschwindigkeitspotential

8.211 Allgemeine Potentialgleichung. In diesem Abschnitt beschaf – tigen wir uns mit dem Problem der dreidimensionalen kompressiblen Stromung im Hinblick auf die Anwendungen beim Tragfliigel end- licher Spannweite. Da in Кар. Ill die Grundlagen der kompressiblen Stromungen nur fur den zweidimensionalen Fall behandelt wurden, ist es erforderlich, hier fur den dreidimensionalen Fall einige Erganzungen zu den Grundlagen vorauszuschicken. Dabei wird im folgenden ebenso wie in Кар. Ill das stromende Medium als reibungslos angenommen.

Fur die dreidimensionale stationare kompressible Stromung mit den Geschwindigkeitskomponenten [7, F, W im rechtwinkligen Koordi – natensystem x, у, z lautet die Kontinuitatsgleichung nach Gl. (2.14):

№ + M+M=0, (8.30)

ox су dz

vgl. auch Gl. (3.71).

Die in Кар. 3.32 fur den zweidimensionalen Fall nachgewiesene Drehungsfreiheit der Stromung gilt auch, wie man sich leicht tiber-

Neben der Kontinuitatsgleichung (8.30) gelten fiir die kompressible dreidimensionale Stromung die Bewegungsgleichungen, wie sie in Gl. (2.50) angegeben wurden. Durch Einfiihrung von Gl. (8.31) in (8.30) und unter Beriicksichtigung der Bewegungsgleichungen so wie der Be – ziehung dp/dg — a2 nach Gl. (3.5) ergibt sich durch eine analoge Rech – nung wie in Кар. 3.33 fiir den zweidimensionalen Fall die folgende Gleichung fiir das Geschwindigkeitspotential der dreidimensionalen kompressiblen Stromung :

U2 д*Ф / 72а2Ф Л W2 д*Ф

дФ dx 9

а2) дх2 a2) dy2 a2) dz2

2 U V д2Ф _ 2VW д2Ф _ WJJ д2Ф a2 dx dy a2 dy dz a2 dz dx

In dieser Gleichung bedeutet a die mit dem Ort veranderliche Schall – geschwindigkeit. Die entsprechende Gleichung fiir das Potential der zweidimensionalen kompressiblen Stromung wurde in Gl. (3.79) an­gegeben. Man erhalt aus Gl. (8.32) die dreidimensionale Potential – gleichung fiir inkompressible Stromung, Gl. (2.72), wenn man die Schallgeschwindigkeit unendlich grofi werden laBt, a -> oo.

Fiir das Umstromungsproblem eines Korpers, welcher sich in einer Parallelstromung mit der konstanten Geschwindigkeit U^ befindet, gilt die folgende Beziehung zwischen der ort lichen Schallgeschwindig­keit a und der Schallgeschwindigkeit a^ der ungestorten Stromung:

/«2 , *-1^2 tU2+V2 + W2 ,. /OOON

t)-1–—n,————————- ‘)’ (8’33)

man vergleiche hierzu die Gin. (3.28a) und (3.80). Hierbei bedeutet

Max = — (8.34)

^OO

die Machsche Zahl der ungestbrten Stromung.

8.212 Linearisierung der Potentialgleichung. Wesentliche Verein – fachungen fiir die Integration der Gl. (8.32) ergeben sich fiir schlanke Korperformen (Tragfliigel), die in Richtung ihrer x-Achse (Langsachse) mit der Geschwindigkeit U^ angestrdmt werden. Bei der Umstromung solcher Korper ist die orthche Geschwindigkeit nach GroBe und Richtung
nur wenig von der Anstromungsgeschwindigkeit verschieden. Teilt man die Gesamtstromung in eine Grundstromung und eine iiberlagerte Storungsbewegung auf, setzt man also

U = Uoo + и, V = v und W = w, (8.35)

wobei u, v, w die sogenannten Storgeschwindigkeiten sind, so gelte:

и < ; v <^U oo; w^U^.

(1 + ™ dx2 dy2 dz2

Man erhalt dann aus Gl. (8.32) unter Beibehaltung nur der groBten Glieder (Linearisierung):

Dabei bedeutet Ma — U/a die ortliche Machsche Zahl.

Fiihrt man aueh fiir das Potential die Aufteilung in die Grund­stromung mit dem Potential x und die iiberlagerte Storungs­

bewegung ein, so ist sofort klar, daB Gl. (8.36) aueh fur die Storungs­bewegung gilt, wobei Ф jetzt das Potential der Storungsbewegung be­deutet. Es ist somit im folgenden:

If)’ = 1 – (* – 1 )Mal aoo/

Ma2

Bei den weiteren Betrachtungen der linearisierten Gl. (8.36) erfordert das erste Glied eine besondere Aufmerksamkeit, da es beim Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit (Ma = 1) sein Vorzeichen wechselt, womit sich der mathematische Charakter der partiellen Differential – gleichung andert. Um die ortliche Mach-Zahl Ma durch die Mach-Zahl der Grundstromung Ma^ auszudriicken, fiihren wir zunachst Gl. (8.35) in (8.33) ein und vernachlassigen die GUeder von zweiter Ordnung in den Storgeschwindigkeiten. Damit ergibt sich:

Fiihrt man dieses in Gl. (8.36) ein, so erhalt man die linearisierte Poten – tialgleichung in der Form:

к li/r 9 ч д2Ф, д2Ф, д2Ф 2 L, УС — 1 – щщ – о ц/г 9

(1 – _ + _+ _= _(1+ МаЦшІ

Diese Gleichung ist verwendbar fur Unterschall-, Schall – und Gber – schallanstromung des Tragfliigels. Sie ist in dem Geschwindigkeits – potential nichtlinear. Das Glied auf der rechten Seite von Gl. (8.39) ist nur bei Machschen Zahlen nahe Eins (transsonische Stromungen) von Bedeutung. Fur Machsche Zahlen in groBerer Entfernung von Eins kann dieses Glied vernachlassigt werden.

/< 2 ч д*Ф, д2ф. д2ф (1 – Maт* + w +1?

Somit hat man fiir die reine Unterschallstromung und die reine Vber – schallstrdmung die folgende einfachere Potentialgleichung[33]

Diese Differentialgleichung fiir Ф ist jetzt linear. Fiir reine Unter- schallstrdmung ist sie vom elliptischen Typus wie die Potentialgleichung bei inkompressibler Stromung. Fiir reine Gberschallstromung dagegen ist sie vom hyperbolischen Typus.

Ist die Anstromungsgeschwindigkeit gleich der Schallgeschwindigkeit (Маж = 1), dann nimmt Gl. (8.39) die Form an:

Diese Differentialgleichung fiir Ф ist nichtlinear. Deshalb ist die Berechnung der transsonischen Stromung wesentlich schwieriger als die Berechnung der reinen Unterschall – und der reinen Gberschallstromung.

Die vorstehend hergeleiteten Potentialgleichungen (8.40) und (8.41) sollen im folgenden dazu verwendet werden, Ahnlichkeitsregeln fiir die raumliche Tragfliigeltheorie bei Unterschall-, Uberschall – und trans – sonischer Stromung herzuleiten, die verwandt sind mit der in Кар. 3.34 besprochenen Prandtl-Glauert-Regel fiir ebene Unterschallanstromungen und mit der in Кар. 3.62 angegebenen v. Karmanschen Ahnlichkeits – regel fiir ebene transsonische Stromungen.

8.131 Lineare Theorie bei tJberschallgeschwindigkeit (Ackeret).

Ebenso wie bei Unterschallgeschwindigkeit laBt sich die Berech­nung der reibungslosen, kompressiblen Stromung um schlanke Korper (Tragfliigelprofile) auch fur Gberschallgeschwindigkeit nach einer linearen Naherungstheorie ausfiihren, wie in Кар. 3.33 gezeigt wurde. Die in Gl. (3.82) angegebene Unearisierte Potentialgleichung gilt sowohl bei Unterschall – als auch bei Uberschallgeschwindigkeit. Die Grundlagen dieser linearen Theorie fur Gberschallgeschwindigkeit, welche zuerst von J. Ackeret [1] angegeben wurden, sind in Кар. 3.51 bis 3.53 fur die ebene Stromung ausfiihrlich erlautert worden.

Der wesentliche Inhalt dieser linearen Theorie besteht darin, daB nach Gl. (3.122) die Storgeschwindigkeit и in x-Richtung nur von der Neigung & des Flachenelemeiites der Profilkontur gegeniiber der An – stromrichtung, von der Gesehwindigkeit und von der Mach-Zahl Ma abhangt:

u(x) = —f-— u„. (8.13a)

ІMa^ ~ 1

10 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

Fur die Geschwindigkeitskomponente w in z-Richtung folgt wegen der kinematischen Stromungsbedingung :

w(x) = – ФТ7" (8.13b)

Es bedeuten nach Abb. 3.26 &0 und &u die Neigungen der Kontur auf Ober – bzw. Unterseite des Profils gegen die Anstromrichtung. Diese betragen nach Abb. 8.12 und Gl. (3.136):

A>,.= ± (<*-£) (8.13 c)

mit oc als Anstellwinkel der Sehne und z{x) als Profilkontur.

Abb. 8.12. Zur Profiltheorie bei Uberschallgeschwindigkeit.

Druckverteilung. Fiir den Druck an einem Flachenelement der Kontur gilt nach Gl. (3.135):

VoAx) – Poo = – &o, Ax)

– 1

mit Poo und poo als Druck bzw. Dichte der ungestorten Stromung.

Fiir den dimensionslosen Druckbeiwert ist also:

Hierin gilt das obere Vorzeichen fiir die Oberseite und das untere Vor – zeichen fiir die Unterseite des Profils. Mehrere Beispiele fiir hiernach berechnete Druckverteilungen wurden bereits in Abb. 3.23 angegeben. Fiir die weitere Auswertung von Gl. (8.14) ist es zweckmaBig, ebenso wie bei der Profiltheorie bei inkompressibler Stromung in Кар. VI, die Profilkontur aufzuspalten in den Profiltropfen und die SkelettUnie, ygl. Gl. (5.16):

z = — = Z<8>±Z<« und X = (8-15)

L l

Dabei sind wie friiher in Gl. (5.18) die Koordinaten mit der Profiltiefe l dimensionslos gemacht worden. Es gilt das obere Vorzeichen fiir die Oberseite und das untere Vorzeichen fiir die Unterseite des Profils.

Fur den Druckunterschied zwischen Unter – und Oberseite des Profils (Lastverteilung) gilt nach Gl. (8.14) mit Gl. (8.15):

Aerodynamische Beiwerte. Die aerodynamischen Beiwerte erhalt man in einfacher Weise durch Integration aus der vorstehend angegebe – nen Druckverteilung.

Der Auftriebsbeiwert ist nach Gl. (6.66):

і

cA = (Acp(X) dX = ■ 4 «, (8.17)

J 11 Мс& – 1

0

ygl. auch Gl. (3.132). Der hieraus sich ergebende Auftriebsanstieg dcAldoc = 4lyMa^ — 1 ist in Abb. 3.24a in Abhangigkeit von Ma^ dargestellt.

Aus Gl. (8.17) folgt, daB fur alle Profile die Nullauftriebsrichtung mit der Profilsehne (x-Achse) zusammenfallt.

Fiir den auf die Profilvorderkante bezogenen Momentenbeiwert (schwanzlastig positiv) ergibt sich nach Gl. (6.67)[31]:

Aus den Gin. (8.17) und (8.18) folgt sofort fur die Neutralpunktlage:

XN _ _ dcM __ l dcA 2

Es ist bemerkenswert, daB fiir alle Profile bei Uberschallgeschwindigkeit der Neutralpunkt im Abstand Z/2 von der Profilvorderkante Uegt, wahrend er bei Unterschallgeschwindigkeit sich im Abstand Z/4 von der Vorderkante befindet, vgl. Abb. 3.24b.

Wie bereits in Кар. 3.53 gezeigt wurde, ergibt sich bei tlberschall – geschwindigkeit schon in reibungsloser Stromung ein Widerstand, der sog. Wellenwiderstand. Fiir den Widerstandsbeiwert erhalt man nach Gl. (3.138):

Ersetzt man hierin nach Gl. (8.17) oc durch cA und nach Gl. (8.15) Z0fU durch Z^ und Z^ dann wird

(8.21)

Bemerkenswert ist, daB der gesamte Wellenwiderstand sich additiv aus drei Anteilen zusammensetzt. Der erste Anted ist proportional zu c und unabhangig von der Profflgeometrie. Dieser Anted ist in Abb.

3.24 c in Abhangigkeit von der Mach-Zahl dargestellt. Der zweite und dritte Anted sind unabhangig vom Auftriebsbeiwert und propor­tional zum Quadrat der relativen Wolbung bzw. der relativen Dieke. Hieraus folgt sofort, daB die ebene Platte das sogenannte „beste Gber – schallprofd“ ist, da fiir diese der zweite und dritte Anted gleich Null sind.

In Tab. 8.2 sind die Formeln fur die aerodynamisehen Beiwerte bei Gberschallgeschwindigkeit zusammengestellt.

Tabelle 8.2. Aerodynamische Beiwerte eines Profits bei Uberschallgeschwindigkeit nach der linearen Theorie (Ackeret). Druckverteilung cp -=f 2 U dZ У M dl, — 1 dX} Auftriebsanstieg dcA doc 4 fMal, – 1 Neutralpunktlage xN l 1 ~~ 2 Nullauftriebswinkel (X0 = 0 Nullmoment CMo l – 4 fZwdX І Маї,-і J 0 Wellenwiderstand defy II 8^ 1 cWo 4 flldZ’y (dW yi iMal-i J U*/ J 0

Beispiele. Der charakteristische Unterschied in der Druckverteilung fur Anstromung bei Uberschallgeschwindigkeit und Unterschallge- schwindigkeit ist in Abb. 8.13 fur das Beispiel der angestellten ebenen

Abb. 8.13. Druckverteilung und Krafte an der angestellten ebenen Platte bei kompressibler Strdmung.

a) Fur Unterschallgeschwindigkeit (Ma^ < 1);

b) fur Uberschallgeschwindigkeit (Ma^ > 1).

Platte erlautert, vgl. hierzu auch Abb. 3.27 a. Bei Unterschallgeschwindig­keit gibt nach Abb. 8.13 a die Druckverteilung eine resultierende Kraft N normal zur Platte, und auBerdem liefert die Umstromung der scharfen Vorderkante eine Saugkraft S, die langs der Platte nach vorn gerichtet ist, vgl. hierzu auch Кар. 2.563. Die resultierende Kraft aus der Normal – kraft N und der Saugkraft S ist der Auftrieb A, welcher senkrecht zur Anstromungsgeschwindigkeit steht. Die resultierende Luftkraft

besitzt keine Komponente parallel zur Anstromungsrichtung, mit anderen Worten, es ist der Widerstand bei reibungsloser Unterschall – stromung gleich Null. Bei tlberschallgeschwindigkeit, Abb. 8.13b, steht die resultierende Kraft aus der Druckverteilung N ebenfalls senkrecht auf der Platte. Da die Vorderkante jedoch nicht umstromt wird, ist in diesem Fall eine Saugkraft parallel zur Platte nicht vorhan – den. Die Normalkraft N stellt somit die gesamte Kraft bei reibungsloser Stromung dar. Ihre Zerlegung in Komponenten senkrecht und parallel zur Anstromungsrichtung ergibt den Auftrieb A = N cos oc ^ N und den Widerstand W = N sin ос & Aoc. Dieser Widerstand heiBt der Wellenwiderstand bei Vberschallgeschwindigkeit. Er entsteht infolge der Druckwellen (Machsche Linien), die von Vorder – und Hinterkante der Platte ausgehen.

Als weiteres Beispiel der Druckverteilung an Profilen bei tlber­schallgeschwindigkeit sind in Abb. 8.14 ein bikonvexes Pardbelprojil

mit der Gleichung

Z® = 2^X(l-X)

und ein unendlich diinnes gewolbtes Parabelprofil mit der Gleichung

Z<*> = 4-f Z(1 – X)

l

gegeniibergestellt. Beide Profile werden sehnenparallel angestromt, oc — 0°. Infolgedessen ist nach Gl. (8.17) fur beide Profile cA = 0. Die nach Gl. (8.14) berechneten Druckverteilungen sind in Abb. 8.14 an-

Abb. 8.14. Druckverfceilung bei Uberschallgeschwindigkeit fur Parabelprofile bei sehnenparalleler Anstromung. a) Bikonvexes Tropfenprofil; b) Skelefcfcprofil.

gegeben. Wahrend fiir das bikonvexe Tropfenprofil das Nullmoment gleieh Null ist, hat das Skelettprofil ein kopflastiges Nullmoment. Fiir den vom Auftrieb unabhangigen Anteil des Wellenwiderstandes ergibt sich nach Gl. (8.21):

cWo = —p== (4-У (Tropfen), (8.22 a)

ЗУМа^-l 1!

cWQ= . “ =(j)’ (Skelett). (8.22b)

ЗІМаїс-іКЧ

Hieraus erkennt man, daB beide Profile den gleichen Widerstand haben, wenn / = d/2 ist.

Weiterhin mogen noch einige Angaben iiber die Abgangigkeit des Wellenwiderstandes von der Dickenriicklage fiir Doppelkeilprofile und Parabelprofile gemacht werden. Die Geometrie der Parabelprofile wurde in Gl. (5.24) angegeben. In Tab. 8.3 sind die Ergebnisse zusammen – gestellt, und in Abb. 8.15 ist der von cA unabhangige Anteil des Wellen­widerstandes in Abhangigkeit von der Dickenriicklage aufgetragen. Fiir

Tabelle 8.3. Wdlenwider8tand bei Uberschallgeschwindigkeit fur Doppelkeilprofile
und Parabelprofile, nach [78], vgl. Abb. 8.15.

Bezeiehnung	Doppelkeilprofil	Parabelprofil
Abbildung	* Z L i V
Ч&-	-—(g>—1
Kontur: Z	d X t – m = fur (I) 2 Xd [ 1 -У"""1	6 X(l-X) ~ 2 Xl+(t-2Xd)X
Wellenwider­stand : І Mai, – 1 ^	1 – Xd(l – Xd)	1 ~ 3*2(1 – xdf

die Dickenrucklage Xd = 0,5 ist der Wellenwiderstand fur das Doppel – keilprofil

(8.23)

Der Widerstand dieses Doppelkeilprofils ist somit im Vergleich zum Parabelprofil (Xd = 0,5) um den Faktor f kleiner. Das Doppelkeil- profil (Xd = 0,5) ist bei vorgegebener Dicke das Profil mit kleinstem

Wellenwiderstand. Angaben fiir weitere Profilformen findet man in einer Arbeit von F. Wegener und F. Kowalke [78].

Angaben liber die iibrigen aerodynamischen Beiwerte, namlich Nullauftriebswinkel und Nullmoment, sind in Abb. 8.16 fur Skelett-

Abb. 8.16. Aerodynamische Beiwerte fiir gewolbte Skelettprofile bei Unter – und t)berschallgeschwin- digkeit. a) Nullauftriebswinkel a0; b) Nullmomentenbeiwert cM0.

profile zusammengestellt. Dabei ist die Wolbungsriicklage Xf geandert worden. Die geometrischen Daten der Skelettlinie wurden in Gl. (5.24) angegeben. Zum Vergleich sind die Beiwerte fiir Unterschallgeschwindig – keit mit eingetragen. Abb. 8.16a zeigt den Nullauftriebswinkel und Abb. 8.16b das Nullmoment in Abhangigkeit von der Wolbungsriicklage. In beiden Fallen ist ein grundsatzlich verschiedenes Verhalten bei Unter – und Uberschallgeschwindigkeit festzustellen.

SchlieBlich moge noch die Anwendung dieser linearen Profiltheorie bei Uberschallgeschwindigkeit auf den Klappenfliigel gezeigt werden. In Abb. 8.17 sind die Beiwerte doc0ldrjk (Anderung des Nullauftriebs – winkels oc0 infolge Klappenausschlag f]k) und dcMoldr]k (Anderung des Nullmomentenbeiwertes cMo infolge Klappenausschlag rjk) in Ab­hangigkeit vom Klappentiefenverhaltnis lk/l angegeben. Zum Vergleich
sind auch die Beiwerte fur Unterschallgeschwindigkeit eingetragen.[32] Man vergleiche hierzu auch die Werte fur inkompressible Stromung nach

L

8.132 Hohere Naherungen beitlberschallgeschwindigkeit (Busemann).

Die vorstehende lineare Profiltheorie bei T)berschallgeschwindigkeit, bei welcher die Druckdifferenz (p — p^) proportional zur Profilneigung $ ist, ist spater von A. Busemann [9] zu einer Theorie hoherer Ordnung erweitert worden, indem Glieder mit #2 und #3 hinzugenommen wurden. Hieriiber wurde bereits in Кар. 3.53 berichtet.

Nach den Gin. (3.141) bis (3.143) ist:

Vo, и – Poo = – – Uio #o,„(l – £»„.•)

І Maio-l

mit

K = = J_ (Male — 2)2 + xMalc

~ Cj ~ 4 (Ma%, ~ 1)3/2 ’

In Gl. (8.24) stellt der Faktor vor der Klammer die lineare Theorie nach Ackeret, Gl. (8.13), dar, wahrend der Klammerausdruck den EinfluB der zweiten Naherung gibt. Die KorrekturgroBe К = K(Maoo) hangt nur von der Machschen Zahl ab und ist in Abb. 8.18 dargestellt.

Fiihrt man diesen Ausdruck in Gl. (8.17) ein, so ergibt sich nach Ausfuhrung der Integration fiir den Auftriebsbeiwert die gleiche Formel wie in Gl. (8.17). Dieses bedeutet, daB die zweite Naherung keinen EinfluB auf den Auftriebsbeiwert hat.

Setzt man in gleicher Weise Gl. (8.27 a) in (8.18) ein, dann erhalt man nach Aus – fiihrung der Integration fiir den Momentenbeiwert:

Das letzte Glied stellt das zusatzliche Moment infolge der zweiten Naherung dar. Es hangt vom Anstellwinkel und von der Profildicke ab. Wahrend das Nullmoment durch die zweite Naherung ungeandert bleibt, ergibt sich fiir die Neutralpunktlage:

1

^- = — -2K fzmdX. (8.29)

12 J

о

Dieses Ergebnis zeigt, daB unter Beriicksichtigung der zweiten Naherung der Neutralpunkt etwas vor dem Punkt x = I/2 liegt.

Die beschriebene zweite Naherung kann auch fiir die Berechnung des Wider – standsbeiwertes benutzt werden. Dabei ergeben sich fiir den vom Auftriebsbeiwert unabhangigen Anted des Wellenwiderstandes zusatzliche Glieder, die bei symmetri – schen Profilen proportional zu (d/l)z sind. Theoretische Widerstandsbeiwerte, die nach dieser Theorie zweiter Naherung berechnet wurden, sind in Abb. 3.28 mit Messungen von A. Busemann und 0. Walchner [8] verglichen worden. Dabei ergibt sich gute Gbereinstimmung zwischen Theorie und Messung.

Mit groBerer Genauigkeit als in der vorstehend geschilderten Theorie zweiter Naherung laBt sich die Uberschallstromung um diinne Profile nach dem Charakteristikenverfahren ermitteln. Die Grundziige dieses Yerfahrens wurden in Кар. 3.55 erlautert. Man vergleiche hierzu u. a. die zusammenfassenden Berichte von M. J. Lighthill [43] und A. Ferri

[17] .

Die in Кар. 8.12 und 8.13 besprochenen Naherungstheorien fur Stromungen mit Unterschall – bzw. Dberschallgeschwindigkeit ver – sagen beide, wenn die Anstromungsgeschwindigkeit nahezu gleich der Schallgeschwindigkeit ist (Ma^ ^ 1). Bei solchen transsonischen Stro – mungen treten meistens VerdichtungsstoBe auf, welche die theoretische Behandlung stark erschweren. In manchen Fallen findet jedoch auch ein stetiger Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit (ohne Ver – dichtungsstoBe) statt. Im letzteren Fall sind die transsonischen Stro- mungen einer theoretischen Behandlung mittels Naherungsverfahren zuganglich. Hierbei ergeben sich nach v. Karman [37] Ahnlichkeits – gesetze fur die Druckverteilung und den Widerstandsbeiwert, die recht gut mit Messungen ubereinstimmen, wie in Кар. 3.62 dargelegt wurde. Eine ausfuhrliche Darstellung dieses Sondergebietes der kompressiblen Stromung hat K. G. Guderley [24] gegeben.