Category Aerodynamik des Flugzeuges

8.121 Lineare Theorie bei Unterschallgeschwindigkeit (Prandtl – Glauertsche Regel). Die exakte Theorie der reibungslosen, kompressiblen Stromung fiihrt nach Кар. 3.33 auf eine nichtlineare Differential- gleichung fiir das Geschwindigkeitspotential, Gl. (3.79), welche fiir be- liebige Korperformen einer numerischen Losung kaum zuganglich. ist. Fiir schlanke Korperformen jedoch, insbesondere fiir Tragfliigelprofile, laBt sich diese Gleichung mit guterNaherung linearisieren, Gl. (3.82), und

H. Schlichting et al., Aerodynamik des Flugzeuges © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

damit fur solche Korperformen explizit losen. Die physikalische Voraus – setzung hierfiir besteht darin, daB die vom Korper erzeugten Storge- schwindigkeiten im Vergleich zur Anstromungsgeschwindigkeit klein sind. Diese Bedingung ist fiir Tragflugelprofile bei kleinen und maBigen An – stellwinkeln erfiillt. Die lineare Theorie der kompressiblen Stromung bei Unterschallgeschwindigkeit ftihrt auf die Prandtl-Glauertsche Regel, nach der die Ermittlung der kompressiblen Unterschallstromung auf die Berechnung einer ihr zugeordneten inkompressiblen Vergleichsstromung zuriickgefiihrt werden kann. Der wesentliche Inhalt dieser Prandtl – Glauertschen Regel besteht nach Кар. 3.34 in folgendem: Bei gleicher Korperform und bei gleichem Anstromungszustand sind die Druckunter – schiede in der kompressiblen Stromung im Verhaltnis 1/]/ 1 — Ma^ groBer als in der inkompressiblen Vergleichsstromung. Es bedeutet hier – bei Maoo = UJa^ die Machsche Zahl mit als Anstromgeschwin – digkeit und «oo als Schallgeschwindigkeit. Somit gilt fur die Druckver – teilung langs der Korperkontur nach Gl. (3.97):

P(x) ~ Poo = ….. 1 ■- [PikW ~ Poo]- (8.1)

ІІ-Маї

Dabei werden hier wie friiher die GroBen in der kompressiblen Stro­mung ohne Index und die GroBen in der inkompressiblen Vergleichs­stromung mit dem Index ik bezeichnet.

Druckverteilung. Fiir den dimensionslosen Druckbeiwert cp = ІР — Poo)I(QooI%) Ulc nach Gl. (3.30) ergibt sich damit die Umrechnungs – formel

Hierbei ist vorausgesetzt, daB die Profilkontur und der Anstellwinkel in der kompressiblen Stromung und in der inkompressiblen Vergleichs­stromung gleich groB sind, also:

Zik(X) = Z(X); <xik = <x. (8.3)

Dabei bedeuten X = x/l und Z = zjl die dimensionslosen Profilkoordi- naten nach Gl. (5.18).

Die experimented Nachpriifung von Gl. (8.2) ist in Abb. 8.1 fiir den einfachen Fall eines symmetrischen Profils von 12% Dicke bei symmetrischer Anstromung dargestellt. Die Dbereinstimmung zwischen Theorie und Messung ist im unteren Machzahlbereich sehr gut, wah – rend bei hoheren Mach-Zahlen gewisse Abweichungen auftreten. In Abb. 8.1 sind die Werte des kritischen Druckkoeffizienten (Erreichen der ortlichen Schallgeschwindigkeit, Ma — 1) mit angegeben. Sie werden
nach Gl. (3.52) und Abb. 3.9 ermittelt. Es wird also die ortliche Schall- geschwindigkeit zuerst bei Ma^ = 0,73 erreicht.

Kritische Machsche Zahl. Unter der kritischen Machschen Zahl Male wird die mit der Anstromungsgeschwindigkeit und der Schall-

geschwindigkeit des Anstromungszustandes gebildete Machsche Zahl verstanden, bei der ortlich am Profil die Schallgeschwindigkeit erreicht wird. Auf die Bedeutung der kritischen Machschen Zahl fur das ge – samte Stromungsbild wurde in Кар. 3.221 und 4.95 bereits hingewiesen. Mit dem Erreichen der kritischen Machschen Zahl treten im allgemeinen VerdichtungsstoBe und infolgedessen auch Stromungsablosungen und starke Widerstandserhohungen ein. Da beides in der linearen Theorie nicht erfaBt wird, gibt die kritische Machsche Zahl somit auch die Giiltigkeitsgrenze der linearen Profiltheorie an. Zu der kritischen Mach-Zahl Ma^ gehort der kritische Druckbeiwert c*. Die Beziehung

Diese Beziehung ermoglicht es, die kritisehe Machsche Zahl zu er- mitteln, wenn fur das Profil der groBte Unterdruck bei inkompressibler Stromung bekannt ist. Abb. 8.2 zeigt die graphische Ermittlung der

Abb. 8.2. Zur Bestimmung der kriti-
schen Machschen Zahl Mag ernes
Tragflugelprofils; x = 1,4.
Kurve 1 nach Gl. (8.5);

Kurve 2 nach Gl. (8.6).

kritischen Machschen Zahl. Der Schnittpunkt der beiden gestrichelten Kurven ergibt Mag nach Gl. (8.6), wahrend der Schnittpunkt der beiden ausgezogenen Kurven Mag nach Gl. (8.5) liefert. Der Wert von cpmin hangt stark ab von der Profilform und vom Anstellwinkel. Er wird aus der potentialtheoretischen Geschwindigkeitsverteilung durch cpmin

auf der Profilkontur bedeutet. Setzt man noch WKmax = XJ00 – f – wmax mit um&x als maximale Ubergeschwindigkeit am Profil, so gilt im Rahmen der linearen Theorie n = Die maximalen Uber-

geschwindigkeiten fiir verschiedene Profile bei inkompressibler Stro – mung sind in Abb. 6.30 in Abhangigkeit von der Dickenriicklage und in Abb. 6.29 in Abhangigkeit vom Dickenverhaltnis dargestellt. Die kritischen Mach-Zahlen bei symmetrischer Anstromung sind fiir mehrere Profile in Abb. 8.3 in Abhangigkeit von der Profildicke d = djl und der Dickenriicklage Xd = xdJl angegeben. Mit wachsendem Dickenverhaltnis nimmt die kritische Mach-Zahl erwartungsgemaB fiir alle Profile stark ab. Dberdies hat auch die Dickenriicklage erheblichen EinfluB auf den Wert der kritischen Machschen Zahl, wie die drei Kurven fiir die er – weiterten Parabelprofile, Gl. (5.24), zeigen. Abb. 8.3 zeigt, daB bei vor – gegebener Profildicke Ellipsenprofile gegeniiber Joukowsky-Profilen ein giinstigeres Verhalten aufweisen.

Auftrieb. Der Auftrieb, der durch Integration der Druckverteilung iiber die Profiltiefe gewonnen wird, wachst beim Dbergang von der inkompressiblen zur kompressiblen Stromung wegen Gl. (8.2) eben – falls mit l/]/l — Ma% an. Damit ergibt sich fiir den Auftriebsanstieg nach Gl. (3.116), vgl. Abb. 3.18:

dcA =________ 1____ idcA = 2я 7

d<* Vi – Ma^ [dajik Уі – Mob ’ *

Dieser Zusammenhang ist in Abb. 8.4 nochmals dargestellt. Die t}ber- einstimmung dieser Beziehung mit experimentellen Ergebnissen wurde in Abb. 3.19 bereits fur symmetrische Profile verschiedener Dicke ge – zeigt. Dabei sind in Abb. 3.19 auch die Werte der kritischen Mach-Zahlen angegeben. Es zeigt sich, dab die Prandtl-Glauertsche Regel bis etwa Madie Messungen gut wiedergibt. Die experimentellen Ergebnisse fur den Auftriebsanstieg nach Abb. 3.19 sind in einer etwas anderen Dar – stellung (doppelt-logarithmischer MaBstab) in Abb. 8.5a nochmals auf – getragen.

Andere aerodynamische Beiwerte. Die Prandtl-Glauertsche Regel gestattet es, auch die tibrigen mit dem Auftrieb zusammen – hangenden aerodynamischen Beiwerte in einfacher Weise aus der in – kompressiblen Stromung zu ermitteln. Fur die inkompressible Stro­mung wurde die Bestimmung der Neutralpunktlage, des Nullauftriebs – winkels, des Nullmomentenbeiwertes sowie des Anstellwinkels und des Auftriebsbeiwertes des stoBfreien Eintritts in Кар. 6.323 angegeben.

Die Umrechnungsformeln von der inkompressiblen Stromung zur kom- pressiblen Stromung sind in Tab. 8.1 zusammengestellt. Nach der vorliegenden linearen Theorie sehr diinner Profile soil die Neutralpunkt – lage unabhangig von der Machschen Zahl sein. Die experimentellen Ergebnisse in Abb. 8.5b zeigen jedoch fur die dort ausgewahlten

Profile mit wachsender Dicke eine betrachtliche Abhangigkeit der Neutralpunktlage von der Machschen Zahl.

Widerstand. Einige experimentelle Ergebnisse uber die Abhangig­keit des Profilwiderstandes von der Machschen Zahl wurden bereits in Abb. 3.20 angegeben. Die dort fur symmetrische Profile wieder – gegebenen Kurven von cWp in Abhangigkeit von Ma^ zeigen ein starkes Ansteigen nach Uberschreiten der kritischen Machschen Zahl Ma^. Weitere experimentelle Ergebnisse sind in Abb. 8.6 und 8.7 dargestellt. Abb. 8.6 zeigt den EinfluB des Anstellwinkels oc auf den Verlauf der Kurven cWp(MaOQ). Wahrend bei symmetrischer Anstromung (tx = 0°) die Machsche Zahl des steilen Widerstandsanstieges stark von der Profil – dicke abhangig ist (Abb. 8.3), hat bei (x=j=0° die Profildicke kaum noch einen EinfluB auf den Widerstandsanstieg. ErwartungsgemaB ver – schiebt sich mit der Anstellung des Profils der Widerstandsanstieg zu kleineren Machschen Zahlen. Der EinfluB der geometrischen Profil –

parameter Dickenrucklage, Nasenradius und Wolbung auf den Verlauf der Kurven cWp(MaOQ) ist in Abb. 8.7 dargestellt.

Abb. 8.6. Profilwiderstand von NACA-Profilen verschiedener Dicke in AbMngigkeit von der Mach-
schen Zahl bei Unterschallgeschwindigkeit, nach Messungen von B. GOthert [22].
a) Symmetrische Anstromung, a = 0°; b) unsymmetrische Anstromung, a = 4°.

Abb. 8.7. Profilwiderstand von NACA-Profilen in AbMngigkeit von der Machschen Zahl bei Unter-
schallgeschwindigkeit nach Messungen von B. GOthert [22]; Profildicke djl = 0,12; cA = 0.
a) EinfluB der Dickenriicklage x^/l] b) EinfluB des Nasenradius ry/Z; c) EinfluB der Wolbung //J;
Wolbungsrucklage xfjl — 0,35.

8.122 Hohere Naherungen bei Unterschallgeschwindigkeit (y. Karman – Tsien, Krahn). Ans der Herleitung der Prandtl-Glauertschen Regel in Кар. 3.34 ergibt sich, daB die Abweichungen dieser Naherungs-

losung von der exakten Losung um so groBer sind, je naher die Machsche Zahl an den Wert Eins herankommt. Dieses zeigen auch die Druck- verteilungsmessungen in Abb. 8.1. Deswegen hat man sich verschiedent – lich bemuht, die Prandtl-Glauertsche Naherung zu verbessern. Als ein Schritt in dieser Richtung konnen die hoheren Naherungen (Glieder mit Ma^, . . .) des Janzen-Rayleigh-Verfahrens, Кар. 3.41, aufgefaBt

werden. Diese Methode ist jedoch wegen ihrer Kompliziertheit fiir die Profiltheorie praktisch nicht anwendbar.

Ein weiterer Schritt in dieser Richtung wurde von Th. v. Karman und H. S. Tsien [77] unternommen. Auch die Arbeiten von E. Krahn

[40] und A. Betz und E. Krahn [6] haben in diesem Zusammenhang Bedeutung erlangt.

Formel von v. Karman-Tsien. Auch bei der v. Karman-Tsien – schen Formel wird die Berechnung der kompressiblen Stromung um ein vorgegebenes Profil zuriickgefiihrt auf die Ermittlung der inkompres – siblen Stromung des gleichen Profils. Ohne auf die Ableitung dieses Ver – fahrens einzugehen, sei hier nur das Ergebnis mitgeteilt. Es gilt:

Wie man sofort erkennt, geht fiir kleine Werte von (cp)ik diese Glei – chung in die Prandtl-Glauertsche Formel, Gl. (8.2), iiber. Fur Unter – driicke erhalt man nach v. Karman-Tsien groBere und fiir tlberdriicke kleinere Werte als nach Prandtl-Glauert. Die numerische Auswertung
von Gl. (8.8) ist in Abb. 8.9 mit eingetragen. In Abb. 8.8 ist die v. Kar- man-Tsien-Regel mit Messungen am Profil NACA 4412 verglichen, wobei auch die Prandtl-Glauert-Regel mit eingetragen ist. Man sieht, daB bei den hoheren Mach-Zahlen in der Nahe von c* die v. K&rman-Tsien-Regel merklich besser mit den Messungen ubereinstimmt als die Prandtl – Glauert-Regel.

Formel von Krahn. Es laBt sich leicht einsehen, daB fur die Ge- schwindigkeitsverteilung WK und die Stromdichteverteilung q Wk langs einer umstromten Kontur im Bereich der Ubergeschwindigkeiten die folgenden beiden Ungleichungen gelten:

(8.9)

Qoo U oo U oo fik U oo

Im Bereich der Untergeschwindigkeiten ist in dieser Gleichung das <-Zeichen durch das >-Zeichen zu ersetzen. E. Krahn fiihrt die Annahme ein, daB in Gl. (8.9) das mittlere Glied gleich dem geometri – schen Mittel der beiden anderen Glieder ist. Daraus folgt:

Eil = i/e~ (Ejl (8.Ю)

Uoo ]/ e Uoojik’

Um diese Gleichung als eine Beziehung zwischen den Druckkoeffizienten bei kompressibler und inkompressibler Stromung zu schreiben, fuhren wir fiir das Dichteverhaltnis Gl. (3.33) und fur die Geschwindigkeitsver – teilung Gl. (3.32) ein. Dieses liefert:

(8.11)

Die numerische Auswertung dieser Formel ist in Abb. 8.9 fur ver- schiedene Werte von (cp)ik angegeben. Zum Vergleich sind auch die Kurven nach Prandtl-Glauert, Gl. (8.2), mit eingetragen. Bei den hoheren Mach-Zahlen ergeben sich nach Krahn etwas groBere Werte fur cp als nach der Naherung von Prandtl-Glauert. In Abb. 8.9 ist auch noch die Kurve c*{MaOQ) aus Abb. 3.9 angegeben, welche zur Be – stimmung der kritischen Mach-Zalil entsprechend Abb. 8.2 dient. Die c*-Kurve begrenzt den Giiltigkeitsbereich der Naherungen nach den groBen Mach-Zahlen.

Staupunkt.’ Zum AbschluB mogen noch die Druckbeiwerte im Stau – pUnkt nach den verschiedenen Naherungsverfahren verghchen werden.

Fur den Staupunkt ist (cp)ik — 1. Damit ergeben sich fur den Druck – beiwert im Staupunkt bei kompressibler Unterschallstromung aus den

1 Prandtl-Glauert, Gl. (8.2);

2 Krahn, Gl. (8.11);

3 v. KArmAn-Tsien, Gl. (8.8);

c* kritischer Druckbeiwert nach Gl. (3.52).

Gin. (8.2), (8.8) und (8.11) folgende Beziehungen:

In Abb. 8.10 sind die Druckbeiwerte cp0 in Abhangigkeit von Ma^ nach diesen Formeln dargestellt. Der exakte Wert fur den Druckbeiwert im Staupunkt cp0 wurde friiher in Gl. (3.64) angegeben. Durch Vergleich von Gl. (8.12 c) mit Gl. (3.64) stellt man fest, daB die Krahnsche Formel fur cp0 mit der exakten Formel ubereinstimmt. In Abb. 8.10 ist auch noch die schon friiher in Gl. (3.65) angegebene Naherungsformel cp0 = 1 + + Ma^14: mit eingetragen. Die Prandtl-Glauertsche und die v. Karman – Tsiensche Formel verheren bei Ma^ -> 1 ihre Giiltigkeit, was auf Grund

ihrer Herleitung auch zu erwarten ist. Hierbei ist noch anzumerken, daB bei der Anwendung der Prandtl-Glauert-Formel der Staupunkt ohnehin auszuschlieBen ist, vgl. Кар. 3.33.

8.123 ReibungseinfluB. Wird die Anstrom-Machzahl eines Trag – fliigelprofiles iiber die kritische Machzahl Ma^ krit == Ma^ hinaus erhoht

(Abb. 8.11 a), so tritt ein VerdichtungsstoB auf, der mit wachsender Mach­zahl stromabwarts wandert und an Starke zunimmt. Die durch den StoB gemaB Abb. 8.11c veranderte Druckverteilung liefert zusatzhche Saug – krafte am ruckwartigen Ted des Profils, welche den Widerstandsbeiwert ansteigen lassen (Abb. 8.11a). Von einer gewissen Starke des StoBes an verursacht der Druckanstieg im StoB Ablosung der Grenzschicht, welche
den Widerstand weiter erhoht und ferner wegen des instationaren Cha – rakters dieser Stromung zu heftigem Schiitteln fiihrt. Diese Erscheinung bezeichnet man in der Flugtechnik auch als,,Buffeting“. Sowohl die Machzahl des plotzlichen Widerstandsanstieges als auch die Buffeting – Machzahl hangen von der Profilform und dem Anstellwinkel, vgl. hierzu Abb. 8.11b, ab. Die sog. Schiittelgrenze beschrankt den fiir ein Flugzeug fliegerisch zulassigen Machzahl-Bereich. Erhoht man die Anstrom – Machzahl auf Gberschallgeschwindigkeit, so riickt der StoB in die Fliigel – hinterkante, und die Schiittelerscheinungen verschwinden wieder. Bei sehr diinnen, schwach angestellten Profilen kann dieser Zustand erreicht werden, ohne dab der StoB vorher eine zum Auslosen des Buffeting hin- reichende Starke erlangt hat. Die einzelnen Phasen der Stromung in Abb. 8.11b werden durch die in Abb. 8.11c dargestellten Druckver – teilungen erlautert.

Wegen der verwickelten Stromungsvorgange oberhalb der kritischen Machzahl ist eine Berechnung der Schiittelgrenze auf rein theoretischem Weg nicht moglich. Jedoch ist von F. Thomas [74] ein halbempirisches Verfahren fur die Ermittlung der Buffeting-Grenze angegeben worden, vgl. C. S. Sinnott [65], [66].

Uber eingehende experimented Untersuchungen zu diesem fur die Flugtechnik sehr wichtigen Problemkreis haben H. H. Pearcey [53],

[55] und D. W. Holder [30] ausfiihrlich berichtet.

8.1 Tragfliigel unendlicher Spannweite bei kompressibler Stromung (Profiltheorie)

8.11 Allgemeines

Nachdem die Theorie des Tragfliigels bei inkompressibler Stromung fur das ebene Problem (unendliche Spannweite) in Кар. VI und fur das raumliche Problem (endliche Spannweite) in Кар. VII erortert worden ist, soli nunmehr in diesem Kapitel der Tragfliigel bei kom­pressibler Stromung behandelt werden. Die hierfiir erforderlichen Grundlagen der Theorie kompressibler Stromungen wurden in Кар. Ill (Gasdynamik) bereitgestellt. Dort wurden auch bereits einige Ergebnisse zur Tragfliigeltheorie bei kompressibler Stromung angegeben, Кар. 3.4 und 3.5.

Die Ausfiihrungen dieses Kapitels sollen so gegliedert werden, daB in Anlehnung an Кар. VI bzw. VII zunachst der Tragfliigel unendlicher Spannweite bei kompressibler Stromung (Profiltheorie) und anschlieBend der Tragfliigel endlicher Spannweite bei kompressibler Stromung be­handelt wird. In Кар. Ill wurde dargelegt, daB die kompressiblen Stromungen fiir Unter- und Uberschallgeschwindigkeiten von grundsatz – Uch verschiedenem Charakter sind; das gleiche gilt naturgemaB auch fiir die Tragfliigelstromung. Was die theoretische Behandlung der kom­pressiblen Tragfliigelstromung anbetrifft, so stellen wir im folgenden die sogenannten,,linearen Theorien“ in den Vordergrund, da zur Zeit nur diese eine ausgedehnte numerische Losung und damit die Gewinnung allgemeingiiltiger und praktisch wichtiger Ergebnisse gestatten. Fiir die theoretischen Betrachtungen soil ebenso wie in Кар. Ill, VI und VII das stromende Medium als reibungslos angenommen werden.

In den bisherigen Abschnitten dieses Kapitels wurde fiir die Theorie des Auftriebes das stromende Medium als inkompressibel und reibungs – los angenommen. Die hieraus entwickelte Tragfliigeltheorie stimmt im Bereich kleiner und maBiger Anstellwinkel gut mit Messungen uberein, vgl. hierzu z. B. die Abb. 7.39; 7.42; 7.43; 7.47; 7.48 und 7.49. Erst im Bereich groBer Anstellwinkel wird der EinfluB der Reibung fur den Auftrieb wesentlich. Insbesondere wird der maximale Auftriebsbeiwert eines Tragfliigels auBer durch seine geometrischen Daten durch den Ein­fluB der Reibung sehr wesentlich bestimmt. Die Ermittlung des maxi – malen Auftriebsbeiwertes eines Tragfliigels ist auf rein theoretischem Wege bisher noch nicht moglich.

Auf Grund von Messungen ist bekannt, daB der maximale Auftriebs­beiwert stark abhangig ist von den geometrischen Profilparametern

(Dicke, Wolbung, Nasenradius) und von der Reynoldsschen Zahl. Hieniber wurde in Кар. 6.4 bereits kurz berichtet (Abb. 6.39; 6.42; 6.43 und 6.44). Es moge zu diesen friiher mitgeteilten Ergebnissen noch be – merkt werden, daB die Frage des Maximalauftriebes eines ungepfeilten Tragflugels im wesentlichen ein Problem der zweidimensionalen Stromung ist. Bei Tragfliigeln endlicher Spannweite kann bei ungepfeilten Fltigeln ein groBes Seitenverhaltnis keinen nennenswerten EinfluB auf die Ab – losung der Stromung und damit auf den Hochstauftrieb haben, weil in diesem Fall fxir den iiberwiegenden Teil des Fliigels die Stromung von der ebenen Stromung nur wenig verschieden ist. Anders liegen die Verhalt – nisse bei Flugeln mit kleinem Seitenverhaltnis, weil hierbei die Rand – umstromung bis in die Tragfliigelmitte himibergreift. Bei stark nach ruckwarts gepfeilten Flugeln, zu denen auch der Deltafliigel gehort, sind

Abb. 7.85. Maximale Auftriebs – beiwerte von Rechteckflugeln (ф — 0) und Pfeilfliigeln konstan – ter Tiefe (ф Ф 0), Reynolds-Zahl Re & 106.

a) Maximaler Auftriebsbeiwert ca max in Abhangigkeit vom

Seitenverhaltnis Л;

b) Anstellwinkel <x bei Ca max in AbMngigkeit vom Seitenverhalt­nis Л.

Kurve 1: ф = 0°; Profil КАСА 0015 nach [7];

Kurve 2: ф = 45°; Profil КАСА 0012, nach [76];

Kurve 3: ф = 0°; <5 ^ 0,10; Mittelwerte verschiedener Mes – sungen;

Kurve 4: ф = 35°; <5 tv 0,10; Mittelwerte verschiedener Mes – sungen.

die Stromungsverhaltnisse dadurch besonders kompliziert, daB die Vor – derkante hierbei in ahnlicher Weise wirkt wie die Seitenkante eines un- gepfeilten Rechteckfliigels. Fur solche Fliigel ist auch die nicht abgeloste Stromung erheblich schwieriger zu iibersehen als beim ungepfeilten Fliigel, weil in der Grenzschicht die Stromungsrichtung unter Um – standen von derjenigen der AuBenstromung abweicht (Abwandern der Grenzschicht nach auBen, Grenzschichtzaun Abb. 4.53).

Im Gegensatz zum ungepfeilten Fliigel hat man beim stark gepfeilten unverwundenen Fliigel die erste ortliche Ablosung an der Fliigelspitze, weil dort die Auftriebsbelastung am groBten ist, vgl. Abb. 7.46. Mit wachsendem Anstellwinkel dehnt sich das abgeloste Gebiet in Spann – weitenrichtung nach innen aus. Diese Verhaltnisse werden in [22] naher beschrieben.

Im folgenden soil an Hand einiger MeBergebnisse tiber den EinfluB des Seitenverhaltnisses und des Pfeilwinkels auf den maximalen Auf- triebsbeiwert berichtet werden.

In Abb. 7.85 sind Ergebnisse fur den maximalen Auftriebsbeiwert fur Rechteckflugel und Pfeilflugel konstanter Tiefe (cp = 45°) dargestellt. Die Reynoldsschen Zahlen dieser Messungen liegen bei etwa Re = 106. Dureh Abb. 7.85a wird bestatigt, daB der maximale Auftriebsbeiwert fur Л > 2 nahezu unabhangig ist vom Seitenverhaltnis. Fiir sehr kleine Seitenverhaltnisse ist cAmax etwas groBer als bei den groBen Seitenver-

Abb. 7.86. Auftriebsbeiwerte cA in Abhangigkeit vom Anstellwinkel л fiir Deltafliigel von verschie – denem Seitenverhaltnis Л, Zuspitzung Л = 1/8, Dickenverhaltnis б = 0,12, Reynolds-Zahl

Re ™ 7 • 105, nach [76].

haltnissen. Besonders auffallig ist in Abb. 7.85b, daB der Anstellwinkel, bei welchem der maximale Auftriebsbeiwert erreicht wird, fiir Seiten – verhaltnisse Л <2 sehr stark ansteigt und Werte um etwa oc — 30° erreicht.

Eine sehr umfangreiche Zusammenstellung liber das Verhalten von Pfeilfliigeln bei groBen Auftriebsbeiwerten und hohen Reynoldsschen Zahlen ist von G. C. Furlong und J. G. McHugh [12] gegeben worden.

In Abb. 7.86 sind fiir eine Serie von Deltaflilgeln die Kurven des Auftriebsbeiwertes iiber dem Anstellwinkel dargestellt. Mit abnehmen – dem Seitenverhaltnis Л wird der Auftriebsanstieg erheblich kleiner, wahrend der maximale Auftriebsbeiwert und der dazugehorige An­stellwinkel anwachsen. Die Auftriebsanstiege dcAldoc dieser Fltigel wurden bereits in Abb. 7.42 angegeben. Maximale Auftriebsbeiwerte max fiir diese und weitere Deltafliigel (Dreieckflugel) sind in Abb. 7.87a in Abhangigkeit vom Seitenverhaltnis wiedergegeben. Im Ver-

gleich mit Abb. 7.85a erkenrit man, daB fiir Deltafliigel der Anstieg von сАтак bei kleinen Seitenverhaltnissen erheblich groBer ist als bei Rechteckfliigeln und Pfeilfliigeln. Auch Abb. 7.87b zeigt in tlberein – stimmung mit Abb. 7.85b eine starke Zunahme von ac bei den

A max

kleinen Seitenverhaltnissen. Experimentelle Untersuchungen liber das AbreiBverhalten von Deltafliigeln mittels einfacher Nachlaufmessungen wurden von E. Trtjckenbrodt und E. G. Feindt [78] durchgefiihrt.

Bei Deltafliigeln von kleinem Seitenverhaltnis mit scharfer Vorder- kante tritt schon bei sehr kleinen Anstellwinkeln (a = 3°) eine Stro-

Abb. 7.88. Aufplatzen der freien Wirbel eines Deltaflugels nach D. Hummel [25].
Seitenverhaltnis Л = 0,78, Zuspitzung A = 0,125.

a) Wirbelbildung schematisch;

b) a = 20°, P = 0°, kein Aufplatzen;

c) a = 30°, P — 0°, Aufplatzen der Wirbel bei hohen Anstellwinkeln;

d) a = 20°, P = — 10°, Aufplatzen eines Wirbels beim schiebenden Fltigel;

e) a = 20°, P = 0°, Aufplatzen eines Wirbels durch kiinstlichen Druckanstieg.

mungsablosung an der Vorderkante nach der Art von Abb. 7.88 auf. Es bilden sich an den beiden Vorderkanten zwei Wirbelschichten, welche an der Fliigelspitze beginnen, sich stromabwarts aufrollen und als freie Wirbel nach hinten abgehen.

Diese Erscheinung wurde zuerst von R. Legendre [50] diskutiert und ist in zahlreichen weiteren Arbeiten behandelt worden [6], [11], [25],

[45] , [87]. Das Aufrollen der Wirbelflachen wurde von M. Roy [65] und K. W. Mangler und J. H. B. Smith [54] theoretisch untersucht und von M. Roy durch zahlreiche Stromungsaufnahmen im einzelnen verfolgt. Unter gewissen Umstanden kann man eine auffallende Veranderung der Struktur der aufgerollten Wirbelflachen beobachten, die man als Aufplatzen der Wirbel bezeichnet. In Abb. 7.88b bis e sind Rauchauf – nahmen dieser Erscheinung nach D. Hummel [25] dargestellt. Das Auf­platzen der Wirbel tritt auf (1.) bei symmetrischer Anstromung bei groBen Anstellwinkeln, Abb. 7.88c, (2.) beim schiebenden Fliigel in dem Wirbel auf der vorgehenden Seite, Abb. 7.88d, und (3.) beim Einbringen eines Hindernisses in die Wirbelstromung, Abb. 7.88e. Das Aufplatzen der Wirbel hat naturgemaB einen starken EinfluB auf die aerodynami – schen Eigenschaften des Deltaflugels, man vergleiche hierzu [26], [27], [28], [28a], [46]. Von H. Ludwieg [52], [53] wurde gezeigt, daB das Aufplatzen der Wirbel bei einem schlanken Fltigel in engem Zusammenhang steht mit der Stabilitat einer reibungslosen, rotationssymmetrischen Stromung im Ringraum zwischen zwei konzentrischen Zylindern; man vergleiche hierzu auch eine Arbeit von A. Das [8].

Eine zusammenfassende tlbersicht uber die neueren Ergebnisse der Aerodynamik des Tragfliigels wurde kurzlich von H. Schlichting [67] gegeben.

Um die raumliche Stromung um einen flachen Korper von der Art eines Tragfliigels endlicher Spannweite und endlicher Dicke zu berechnen, ordnet man in einer Ebene auf der Flache F (FliigelgrundriBebene) eine Quell-Senkenverteilung an. 1st q(x, y) die Quellintensitat pro Flachen-

einheit, so tragt ein Flachenelement dxdy nach Abb. 7.76 die Quell – belegung

d? Q(x, y) = q(x, y) dx dy. (7.218)

Die Quellintensitat q(x, y) muB, damit sich ein geschlossener Korper ergibt, die sogenannte SchUeBungsbedingung erfullen:

ff q(x, y)dxdy = 0. (7.219)

(F)

Man vergleiche hierzu die entsprechende Beziehung fur den ebenen Fall, Gl. (6.117).

Gberlagert man dem von der Quellbelegung hervorgerufenen Ge- schwindigkeitsfeld eine Translationsstromung mit der Geschwindigkeit U0o, deren Richtung in der Quellebene Uegt (Abb. 7.76), so ergibt sich hierbei eine geschlossene Stromflache, die als Kontur des Trag-

fliigels endlicher Dicke aufgefaBt wird; man vergleiche hierzu wieder Кар. 6.33. Es seien u, v und w die von der Quellbelegung induzierten Ge – schwindigkeiten und z^(x, y) — z0(x, y) die Form der zur x, ?/-Ebene symmetrischen Kontur des Fliigels. Dann lautet die Bedingung dafiir, daB die resultierende Geschwindigkeit iiberall tangential zur Kontur ist:

w = (Uoo + u)^ + v-^. (7.220)

ox су

Dieses ist die kinematische Stromungsbedingung.

Da fiir flache Korper die Geschwindigkeiten и und v im Vergleich zur Anstromungsgeschwindigkeit V^ mit Ausnahme der unmittel – baren Umgebung der Vorderkante und der seitlichen Fliigelenden klein sind, geniigt es, Gl. (7.220) in der vereinfachten Form

ґ) У

w=U°o^ (7.221)

zu benutzen. Dieses ist formal dieselbe Beziehung wie beim ebenen Fall.

Sowohl in der kinematischen Stromungsbedingung als auch fiir die Berechnung der Druckverteilung auf der Kontur werden die induzierten Geschwindigkeitskomponenten u, v, w auf der Kontur benotigt. Fiir flache Korper geniigt es jedoch, diese Geschwindigkeitskomponenten in der Ebene z — 0 zu berechnen, wodurch die Behandlung recht er – hebhch vereinfacht wird.

Creschwindigkeitspotential. Es sei Ф (x, у, z) das Geschwindigkeits – potential der Quellbelegung. Dann ist tv = grad Ф und somit

das Feld der induzierten Geschwindigkeiten. Die in Gl. (7.218) an- gegebene Quellbelegung ist als raumliche Quelle im Sinne von Кар. 2.356 anzusehen. Somit lautet der Beitrag des an der Stelle x у’ befindhchen Quellelementes zum Geschwindigkeitspotential nach Gl. (2.99):

d?<P(x, y,z-,x’,y’) = Ldx’dy’ (7.223)

4 71 r

mit

r = i{x — x’f + (y – y’f + z2.

Das Potential der gesamten Quellbelegung erhalt man hieraus durch Integration iiber die mit Quellen belegte Flache F zu

Hieraus ergeben sich nach Gl. (7.222) die induzierten Geschwindigkeits – komponenten zu:

u(x, y, z) = ^ ff Жх’> у’) dx’ dv’> (7.225a)

(F)

v(x, y, z) = ^ Jjq(x’, y’) y-=^~ Ax’ dy’, (7.225b)

(F)

w{x, y, z) = ^ jjq(x’, y’) ^ dx’ dy’. (7.225c)

(F)

Wie bereits oben angegeben, werden von den induzierten Geschwindig- keiten nur die Werte in der Flugelebene z — 0 gebraucht. Diese erhalt man aus Gl. (7.225a, b, c) zu:[29]

Das obere Zeichen gilt fur z > 0, das untere Zeichen fur z < 0. Die indu – zierte Geschwindigkeit normal zur x, i/-Ebene hat also in der Quellschicht einen Sprung.

Geschwindigkeitsverteilung auf der Fliigelkontur. Fuhrt man Gl. (7.226c) in die kinematische Stromungsbedingung Gl. (7.221) ein, so ergibt sich:

q(x, y) = 2U0Oj£-. (7.227)

Hiernach ist also die Quellintensitat proportional der Neigung der Kontur in der z, #-Ebene, vgl. auch Gl. (6.116).

Fiihrt man Gl. (7.227) in die Gin. (7.226a) und (7.226b) ein, dann erhalt man fur die Komponenten der induzierten Geschwindigkeit:

Fur den Tragfliigel unendlicher Spannweite (ebenes Problem) ergibt sich nach Gl. (6.120):

i

«еь = — f dx’_ ‘ (7.230)

Uoo 71 J dx’ X — x’

0

AuBerdem ist hierfiir veb == 0.

Es sei hier vermerkt, daB die tfbergeschwindigkeiten von Tragflugeln endlicher Spannweite nach den Gin. (7.228) und (7.229) proportional dem Profildickenverhaltnis d = dl sind, in gleicher Weise wie bei der ebenen Profiltheorie, Gl. (7.230). Die vorstehende lineare Theorie gibt fur praktische Zwecke ausreichende Genauigkeit fur Dickenverhaltnisse bis etwa <5 == 1/4.

Die resultierende Geschwindigkeit auf der Kontur ist

WK = i(Ux + и)2 + Vі ^ t/oo + m, (7.231)

wenn man quadratische GUeder in и und v vernachlassigt. Im folgenden sollen nun einige einfache Beispiele besprochen werden.

7.631 Rechteckfliigel endlicher Spannweite. Fur den einfachen Fall des Rechteckfliigels l(y) = l mit einem konstanten Profil langs Spann­weite ist fur —s fg у ^ s:

zo{x> У) = zo(x)- (7.232)

Damit wird nach Einsetzen in Gl. (7.228) und Ausfuhrung der Inte­gration liber у:

U __ Ueb,

Uoo Uoo ^ Uoo

Man verifiziert leicht, daB die GroBe Ли im allgemeinen negativ ist. Dieses bedeutet, daB durch die endliche Spannweite des Fliigels die Ubergeschwindigkeiten auf der Kontur verkleinert werden.

Fur den Fliigelmittelschnitt у = 0 erhalt man aus Gl. (7.234):

Fur grofie Seitenverhaltnisse A — bjl laBt sich die tlbergeschwindigkeit fur den Mittelschnitt durch Reihenentwicklung der Wurzel unter dem Integral sowie durch Umformung mittels partieller Integration in der folgenden Form schreiben:

l

7Г – = TT~ – -4r f ад dX (Л = grofi). (7.235a)

Uoo Uoo JlA2 J 0

Als neue Abkiirzungen wurden Z0 = zjl und X = xjl eingefuhrt. Der EinfluB des Seitenverhaltnisses ist fur alle Werte von x derselbe; er hangt nur von der Volligkeit des Profils ab.

Fur kleine Seitenverhaltnisse erhalt man:

= АЫЛ (Л = klein). (7.235b)

Uoo n dX2

Fiir A = 0 ergibt sich hieraus и — 0.

Parabelprofil. Fiir das Parabelprofil Z0 = 2<5X(1 — X) mit dem Dickenverhaltnis d = djl erhalt man fiir die maximale Gbergeschwindig – keit im Mittelschnitt у = 0 und an der Stelle x = If2 nach den Gin. (7.233) und (7.235):

^ = — й Л ar sinh (4) • (7.236)

U oo n A]

Fiir den ebenen Fall, A -> oo, folgt hieraus Mmax, eb/^oo = 4<5/л; in Gbereinstimmung mit Abb. 6.30. In Abb. 7.77 sind die Ergebnisse fiir den Rechteckfliigel mit Parabelprofil angegeben. Abb. 7.77 a zeigt fiir die beiden Schnitte rj = 0 und rj = 0,5 den Verlauf der maximalen t)ber-

geschwindigkeit, die bei X = 0,5 liegt, in Abhangigkeit vom Seitenver – haltnis. In Abb. 7.77b sind die maximalen tTbergeschwindigkeiten in Abhangigkeit von der Spannweitenkoordinate fiir verschiedene Seiten – verhaltnisse dargestellt. AbschlieBend kann man feststellen, daB erst ftir

Abb. 7.77. Maximale Ubergeschwindigkeiten an Rechteckflugeln mit Parabelprofil beim Auftrieb

Null.

Fur unendliche Spannweite gilt: wmax, eb = 4In • dU^ bei хЦ = X = 0,5.

a) Abhangigkeit vom Seitenverhiiltnis Л;

b) Abhangigkeit von der Spannweitenkoordinate r] — yjs.

Seitenverhaltnisse Л < 2 die maximale tjbergeschwindigkeit am Trag – fliigel endlicher Spannweite merklich kleiner als am Fltigel unendlicher Spannweite ist.

7.632 Ellipsenfliigel. Wahrend die in Кар. 7.62 dargelegte Theorie ftir die Berechnung der tjbergeschwindigkeiten und auch das vorstehend behandelte Beispiel ftir den Rechteckfltigel Naherungslosungen ftir kleine

Dickenverhaltnisse d sind, soil nunmehr ein Beispiel einer exakten Losung angegeben werden.

Ein Fltigel mit elliptischem GrundriB und Ellipsenprofil nach Abb. 7.78 ist ein dreiachsiges Ellipsoid, bei welchem die beiden Achsen- verhaltnisse sehr voneinander verschieden sind. Sind ax, bv cx die drei

Halbachsen des Ellipsoids, so ist: das Seitenverhaltnis

das Dickenverhaltnis

Fur ein dreiachsiges Ellipsoid laBt sich die Geschwindigkeitsverteilung auf der Kontur in geschlossener Form angeben. Es gilt nach K. Mabuhn

[55] fiir die Druckverteilung auf der Oberflache des Ellipsoids bei An – stromung langs der x-Achse:

Dabei bedeutet cp = (p — Poo)/(^/2) U^ den dimensionslosen Druck – beiwert und A = А eine GroBe, die von den beiden Achsen-

verhaltnissen des Ellipsoids abhangig ist. Diese Abhangigkeit ist in [55] angegeben.

Gl. (7.238) lehrt, daB bei x = 0 das Druckminimum und damit das Geschwindigkeitsmaximum vorhanden ist. Dieses Geschwindigkeits – maximum ist langs der i/-Achse konstant. Nach Gl. (7.238) ist

^pmin — 1 — 1 (^max/^oo)2» wobei f^max — ^"oo ~~ ^max

maximale Geschwindigkeit auf der Kontur bedeutet. Hieraus ergibt sich die maximale tJbergeschwindigkeit zu:

^ = А{д, Л) – 1.

U oo

Dabei hangen <5 und Л mit den Achsenverhaltnissen und c1/b1 naeh Gl. (7.237) zusammen. In Abb. 7.79 ist das Verhaltnis ^max/i%ах>еъ in Abhangigkeit vom Seitenverhaltnis A fur verschiedene Dicken – verhaltnisse d aufgetragen. Dabei ist umaXf6b = b U^. Die Kurve <5-^0 stellt die lineare Theorie dar. Die Kurven fiir die anderen Werte von d zeigen, urn wieviel die exakte Losung von der linearen Theorie ab – weicht.[30]

7.633 Gepfeilter Fliigel. Als weiteres Beispiel moge der Pfeilfliigel konstanter Tiefe behandelt werden, und zwar zunachst derjenige von unendlicher Spannweite, Abb. 7.80. Es sei cp der Pfeilwinkel, und

Abb. 7.80. Zur Geometrie des
Pfeilflugels unendlicher Spann-
weite.

das Profil Zq{x, у) == z0(Xi) mit x{ als #-Koordinate im Mittelschnitt sei langs der Spannweite konstant.

Der Fliigelschnitt in groBem Abstand von der Symmetrieebene be – findet sich in einer,,quasi-ebenen“ Stromung. Seine Geschwindigkeits – verteilung kann ermittelt werden, indem man den Profilschnitt senkrecht

zur Vorderkante mit der Geschwindigkeit cos99 anstromt. Hierbei ergibt sich, daB die Gbergeschwindigkeit in #-Richtung fur den ge – pfeilten Flugel um den Faktor cos 99 kleiner ist als diejenige des unge – pfeilten Flugels (ebenes Problem):

uv(y -> 00) = ucb cosy. (7.240)

Es soli jetzt die Geschwindigkeitsverteilung im Mittelschnitt berechnet werden. Nach Abb. 7.80 ist fur diesen

x — xf = xt — x — y’ tan 99.

Fiihrt man dieses in Gl. (7.228) ein, so wird:

= 1 f ІЗ» / C any—– —

U°° л J 8x’ J V(z, — x’i— y’ tan <pf + у’2,3 I

Die Ausfiihrung der Integration erfordert besondere Aufmerk – samkeit, vgl. die FuBnote zuGl. (7.226). AlsErgebnis erhalt man fur den Mittelschnitt:

Meb

Uoo

— ar tanh(sin99) П 3x v

Diese Beziehung wurde von S. Neu – mark [60] erstmalig angegeben. Das erste Glied stellt die Geschwindig­keitsverteilung des Flugelschnittes in sehr groBem Abstand von der Fliigelsymmetrieebene dar, Gl. (7.240). Das zweite Glied gibt die durch den Fliigelknick hervorgeru – fene Anderung der Geschwindigkeits­verteilung an. BeiRiickwartspfeilung (<P > 0) wird die Ubergeschwindig-

Abb. 7.81. Geschwindigkeitsverteilung im Mittel­schnitt von Pfeilfliigeln unendlicher Spannweite mit erweitertem Parabelprofil nach Gl. (5.24) bei Nullauftrieb.

Pfeilwinkel g> = — 45°, 0°, + 45°.

a) Dickenriicklage Xd = 0,2;

b) Dickenriicklage Xd = 0,3;

c) Dickenriicklage Xd = 0,5.

keit im vorderen Teil des Mittelschnittes infolge der Pfeilung verkleinert und im hinteren Teil des Mittelschnittes vergroBert.

Parabelproftl. Die vorstehende Gleichung ist fur die erweiterten Parabelprofile nach Gl. (5.24) und Abb. 6.30 ausgewertet worden. Das Ergebnis ist in Abb. 7.81 fur Profile mit den Dickenriicklagen Xd = xdjl = 0,2; 0,3 und 0,5 dargestellt. Die Kurven fiir die Pfeilwinkel

<p = —45°, 0° und – f-45° zeigen einen sehr betrachtlichen EinfluB der

Pfeilung auf die Geschwindigkeits – verteilung des Mittelschnittes. Die maximalen Dbergeschwindigkeiten sind in Abb. 7.82 in Abhangigkeit vom Pfeilwinkel noch einmal geson – dert dargestellt.

Fiir einen Pfeilfliigel konstanter Fliigeltiefe und endlicher Spannweite

sind solche Rechnungen von S. Neumark [60] durchgefuhrt worden. In Abb. 7.83 ist die Geschwindigkeitsverteilung и fiir einen Fliigel mit dem Seitenverhaltnis A — 2 und mit dem Pfeilwinkel (p = 53° fiir ver­schiedene Schnitte langs Spannweite dargestellt. Sie ist bezogen auf die maximale tlbergeschwindigkeit des Pfeilfliigels unendlicher Spannweite fiir einen Schnitt in groBem Abstand von der Mitte, Gl. (7.240). Fiir den gleichen Fliigel sind in Abb. 7.84 die Kurven konstanter Geschwindigkeit (== Isobaren) im FliigelgrundriB dargestellt. Man erkennt aus dieser

Abbildung besonders gut, daB in der Umgebung des Flugelmittel – schnittes die maximale "Dbergeschwindigkeit durch die Pfeilung gegen – iiber dem AuBenschnitt betrachtlich erhoht wird, und daB das Ge – schwindigkeitsmaximum im Mittelschnitt weit nach hinten verschoben ist.

Untersuchungen iiber die Druckverteilung im Mittelschnitt eines gepfeilten Fliigels unendlicher Spannweite mit Auftrieb wurden von D. Ktichemann und J. Weber [41] und mit beliebigem symmetrischen Profil von J. Weber [81] durchgeftihrt.

Die in den bisherigen Abschnitten dieses Kapitels besprochene Theorie des Tragfliigels endlicher Spannweite arbeitet mit der Vor – stellung eines sehr diinnen Profils (Skelett). Wahrend fiir die Theorie des Tragfliigels unendhcher Spannweite die Erweiterung von der Ske – lett-Theorie zur Theorie des angestellten Tragfliigels endhcher Dicke seit langem vorhegt, Кар. 6.33 und 6.34, steht fiir den Tragfliigel endhcher Spannweite diese Erweiterung in ihrer allgemeinsten Form noch aus. Fiir den Tragfliigel endhcher Spannweite und endhcher Dicke der Fliigelprofile (symmetrische Profile) existieren jedoch bereits Be – rechnungsverfahren, welche es gestatten, die Druckverteilung auf der Oberflache solcher Tragfliigel zu berechnen, falls der Gesamtauftrieb Null ist. Hierbei handelt es sich insbesondere um Arbeiten von F. Keune

[36] und S. Neumark [60]. Das verwendete Verfahren ist die Singulari – tatenmethode, bei welcher der umstromte Korper durch ein System von Quellen und Senken ersetzt wird. Die Grundlagen dieses Verfahrens wurden fiir die zweidimensionale Stromung in Кар. 6.33 bereitgestellt und dort auch bereits in erhebhchem Umfang auf das ebene Umstro – mungsproblem des Tragfliigels angewendet.

Sowohl fiir die ebene, insbesondere aber auch fiir die raumliche Tragfliigelstromung ist es im Hinbhck auf den EinfluB der Kompressi – bilitat wichtig, die am РгоШ auftretenden groBten Gbergeschwindig-

keiten zu kennen, vgl. Кар. 3.221 und 8.121. Die in den folgenden Ab – schnitten dargelegten Berechnungsverfahren fur die Geschwindigkeits – verteilung an Tragfliigeln endlicher Spannweite und endlicher Dicke sind deshalb von Bedeutung fur die Aerodynamik des Tragfliigels bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten.

7.531 Schiebeflug. Beim stationaren Schiebeflug ist der Anstromungs – zustand des Fliigels auBer durch den Anstellwinkel oc durch den Schiebe – winkel /? bestimmt, Abb. 7.59. Infolge der nnsymmetrischen Anstromung entstehen neben dem Auftrieb, Widerstand und Nickmoment noch zu – satzliche Krafte und Momente, namlich die Schiebeseitenkraft Y, das Sehieberollmoment L und das Schiebegiermoment N. Diese andern sich bei kleinen Schiebewinkeln linear mit /?, ygl. Abb. 5.15. Deshalb sind die Anstiege der dimensionslosen Beiwerte mit dem Schiebewinkel, namlich dcy/df}, dcLld(} und dcNjd(} unabhangig vom Schiebewinkel. Man be – zeichnet sie als Stabilitatsbeiwerte der Seitenbewegung. Alle drei Beiwerte hangen fur den Flugel stark ab von dem Pfeilwinkel und von der V – Stellung.

Im folgenden soli zunachst der Flugel ohne V-Stellung behandelt werden und anschlieBend der EinfluB der V-Stellung gesondert betrachtet werden.

Abb. 7.63. Zirkulationsverteilung von drei unverwundenen Flugeln beim Schieben, gerechnet nach
dem Tragfiachenverfahren [75].

Anstellwinkel « = 1, gemessen im Schnitt parallel zur Anstromrichtung. Es bedeutet у = Г/Vb.
Geometrische Daten der Flugel nach Tab. 7.5.

a) Trapezfliigel: <p = 0°; Л — 2,75; X = 0,5;

b) Pfeilfliigel: <p = 50°; Л = 2,75; X = 0,5;

c) Dreieckfliigel: <p = 52,4°; Л = 2,31; -1 = 0.

Fliigel ohne V-Stellung. Ein unsymmetrisch angestromter (schie- bender) Fliigel entspricht aerodynamisch einem Fliigel mit unsym – metrischem GrundriB, vgl. Abb. 7.13. Als solcher kann seine Zirkulations­verteilung nach der erweiterten Traglinientheorie, Кар. 7.34, oder der Tragflachentheorie, Кар. 7.35, berechnet werden. Der Rechenaufwand ist jedoch wegen der Unsymmetrie des Fliigelgrundrisses erheblich groBer als bei symmetrischer Anstromung.1 Als Ergebnis einer solchen Rechnung erhalt man die Zirkulationsverteilung iiber die quer zur An- stromungsrichtung gemessene Spannweite. Aus dieser kann man unter Anwendung der in Кар. 7.35 angegebenen Formeln den Gesamtauftrieb und die Neutralpunktlage ermitteln. Damit ergibt sich dann auch das Rollmoment um die experimentelle #-Achse.

Das Schieberollmoment ist hiernach proportional dem Gesamtauftrieb. Nach diesem Verfahren ist fiir die drei friiher bereits behandelten un – verwundenen Fliigel die Zirkulationsverteilung bei drei verschiedenen Schiebewinkeln berechnet worden. In Abb. 7.63 sind die Zirkulations – verteilungen fiir P = 0° und /3 = 10° iiber der quer zur Anstromrichtung gemessenen Spannweitenkoordinate aufgetragen. Fiir alle drei Fliigel andert sich die Zirkulationsverteilung mit dem Schiebewinkel sehr wenig. Es moge bemerkt werden, daB diese Aussage allgemein fiir Fliigel ohne V-Stellung gilt. In die Fliigelgrundrisse sind die Lagen der Neutral – punkte fiir drei Schiebewinkel eingetragen. Die Beiwerte des Schiebe – rollmomentes sowie die Koordinaten des Neutralpunktes sind in Tab. 7.7 zusammengestellt.

Das Schiebegiermoment riihrt her von dem Unterschied des Wider – standee der beiden Fliigelhalften. Es besteht aus einem Anted des Profil-

widerstandes und einem Anteil des induzierten Widerstandes. Der letztere Anteil ist, wie der induzierte Widerstand, proportional dem Quadrat des Auftriebes. Eine zuverlassige Berechnung des Schiebegier – momentes ist nach der Tragflachentheorie noch nicht moglich.

Eine grundlegende Behandlung des schiebenden Flugels ist zuerst von J. Weissinger [82] gegeben worden. Die dabei entwickelte Theorie kann als einfache Traglinientheorie im Sinne von Кар. 7.343 bezeichnet werden. Bei dieser Theorie wird angenommen, daB nur von der Hinter – kante freie Wirbel parallel zur Anstromungsrichtung abgehen. Die

Schragstellung des freien Wirbelbandes gegemiber der Symmetrieachse des Tragfliigels hat auf die Ergebnisse dieser Weissingerschen Theorie nur einen untergeordneten EinfluB. Spater hat К. H. Gronau [20] nach der Methode der erweiterten Traglinientheorie umfassende Rech – nungen fur das Schieberollmoment und das Schiebegiermoment, ins- besondere von Pfeil – und Deltafliigeln, durchgefuhrt. Auch hier wird der EinfluB der Schragstellung des freien Wirbelbandes naherungsweise mit beriicksichtigt.

In Abb. 7.64 sind die aus verschiedenen Quellen stammenden MeB- ergebnisse fur das Schieberollmoment von Rechteckfliigeln, Pfeilflugeln und Deltaflugeln in Abhangigkeit vom Seitenverhaltnis dargestellt. Zum Vergleich sind die theoretischen Kurven nach К. H. Gronau [20] mit eingetragen. Die Dbereinstimmung zwischen Messung und Theorie
ist gut. Mit abnehmendem Seitenverhaltnis nimmt das Schieberoll – moment stark zu. Man sieht aus dieser Darstellung auch, daB durch die Pfeilung das Schieberollmoment stark anwachst. Dies bedeutet besonders fiir Pfeilfliigel und Deltafliigel eine sehr starke Abhangigkeit des Schiebe – rollmomentes vom Auftriebsbeiwert. Abb. 7.65 gibt die entsprechende Darstellung fur das Schiebegiermoment.

Schieberollmoment. Im folgenden soil nun noch ein vereinfachtes Berechnungsverfahren fiir das Schieberollmoment von Fliigeln ohne V-Stellung angegeben werden. Wir setzen voraus, daB die Zirkulations – verteilung bei kleinen Schiebewinkeln die gleiche ist wie bei symmetri – scher Anstromung. DaB dies mit guter Naherung zutrifft, zeigen die Beispielrechnungen in Abb. 7.63. Ferner sei vorausgesetzt, daB nach Abb. 7.66 die freien Wirbel in Richtung der Symmetrieachse verlaufen. Nach dem Gedankenmodell der tragenden Linie sei der Fliigel belegt mit dem tragenden Wirbel in der Z/4-Linie und mit Wirbeln, welche von der Z/4-Linie nach hinten abgehen und die Lange f l besitzen. Der Auftrieb eines Flachenstreifens der Breite dy ist nach Kutta-Joukow – sky:

Q АГ

dA = oVcos^ Г dy — q Fsin^/’tan^ dy + Q Fsin^— l — dy. (7.195) " 4 dy

Der erste Term riihrt her von der Anstromung des gebundenen Wirbels mit der Geschwindigkeitskomponente V cos^, der zweite Term von der Anstromung des gebundenen Wirbels mit der Geschwindigkeitskompo­nente Vsin/?.[23] Der dritte Term entsteht aus dem noch auf dem Fliigel

liegenden freien Wirbelstiick der Lange f Z, das ebenfalls als eintragender Wirbel angesehen werden muB. +8

Bildet man das Rollmoment durch die Integration L= — j yd A,

— 8

so liefert dabei das erste Glied in Gl. (7.195) keinen Beitrag. Die beiden

iibrigen Glieder ergeben

L = —qV sin/?

Mit den dimensionslosen Gr5Ben у = Г/bV und rj = 2ylb = yls er – halt man nach Ausfiihrung einer partiellen Integration in dem ersten Integral fair den Beiwert des Schieberollmomentes cL = L/Fsq den Ausdruck:

і і

J^ (y *?) У d4 + A J tan<vvn d4- (7-196)

-1 -1

In dieser Formel gibt das erste Glied den EinfluB der Fliigeltiefen- verteilung an, wahrend das zweite Glied den EinfluB der Pfeilung ent – halt.

Fur den Fliigel konstanter Pfeilung ergibt sich, weil tan<p auf den beiden Fliigelhalften entgegengesetztes Vorzeichen hat,

і і

= ЗЛ J^ (y »?) У dv + 2tan9?Л j yrj dr). (7.196a) о о

In dieser Beziehung stellt cp den Pfeilwinkel der rechten Flugelhalfte dar. Hieraus wird fur den gepfeilten Fliigel mit konstanter Tiefe

jjf = (y + Va tan 9) сл (l = const). (7.197 a)

Hierin bedeutet nach Gl. (7.75) rjA den seitlichen Abstand des Auf – triebsschwerpunktes einer Flugelhalfte von der Symmetrieebene. Der Faktor x wurde nach einem Vorschlag von J. Weissinger [82] zur Erfassung des Einflusses der Fliigelendkappen eingefiihrt, vgl. hierzu auch [20]. Bei gerade abgeschnittenen Fliigelenden ist x = 3/2, wahrend man bei abgerundeten Fliigelenden besser mit x = 1,0 rechnet. Fur den Dreieckfliigel erhalt man aus Gl. (7.196a) und wegen Gl. (5.13):

$ = I(1 _ Va) Ca (Dreieck) • (7-197 b)

Fiir die numerische Auswertung von Gl. (7.197a) und (7.197b) nehmen wir der Einfachheit halber an, daft eine elhptische Zirkulationsverteilung

vorhegt; dann ist rjA = 4/3 n. Die damit berechneten Werte von —

ca dP

sind in Abb. 7.67 fur cp = 0° und (p = 45° sowie fiir den Dreieckfliigel liber dem Seitenverhaltnis darge – stellt. Die Tendenz dieser Naherungs – kurven stimmt mit den Messungen nach Abb. 7.64 gut iiberein. Die numerischen Unterschiede beruhen auf der stark vereinfachten Annahme uber das zugrunde gelegte Wirbel – system. Zum Vergleich ist fiir den Dreieckfliigel vom Seitenverhaltnis Л = 2,31 der nach der Tragflachen – theorie gefundene Wert mit ein – getragen.

Schiebeseitenlcraft. Die Schiebe- seitenkraft eines Fliigels ohne V – Stellung kann man naherungsweise aus der tlberlegung erhalten, da6 beim schiebenden Flugel der Profil – widerstand parallel zur An – stromungsrichtung, der induzierte Widerstand jedoch in Richtung der Flugelsymmetrieachse ist. Infolge- dessen wirkt bei Schraganstromung in Richtung der fliigelfesten Quer – achse nur eine Komponente des Profilwiderstandes cY = cWp sin Damit ist der Seitenkraftanstieg

^f=cWp. (7.198)

dp

Fliigel mitY-Stellung. Unter der V-Stellung eines Fliigels verstehen wir die Neigung der linken und rechten Fliigelhalfte gegeniiber der x, i/-Ebene, Abb. 7.68. Wir bezeich – nen den Winkel der V-Stellung mit v; im allgemeinen Fall kann v langs der Spannweite veranderlich sein, Abb. 5.8 c. Die Stabilitatsbeiwerte des Schiebeflugesдсу/dp, dcLldf}und dcNjdp hangen fiir den Fliigel stark von der V-Stellung ab. Fiir das ganze

Flugzeug sind die Beitrage des Fliigels zur Schiebeseitenkraft dcy/df} und zum Schiebegiermoment dcN/d^ verhaltnismaBig klein, wahrend der Beitrag des Fliigels zum Schieberollmoment des ganzen Flugzeuges von entscheidender Bedeutung ist. Die Wahl der V-Stellung des Fliigels ge – schieht ausschlieBlich im Hinblick auf den flugmechanisch giinstigsten Wert des Schieberollmomentes.[24]

Die aerodynamische Wirkung der V-Stellung besteht darin, daB beim Schiebeflug auf der vorgehenden Fliigelhalfte der Anstellwinkel um einen Betrag Aoc vergroBert und auf der riickgehenden Halfte um den gleichen Betrag Aoc verkleinert ist. Dieser Winkel Aoc laBt sich in folgender Weise ermitteln: Die seitliche Anstromungskomponente Vy = Fsin/? erzeugt nach Abb. 7.68b auf den beiden Fliigelhalften eine Normalkomponente senkrecht zur Fliigelflache vom Betrage

Vn = ± Vy sinr.

Zusammengesetzt mit der Anstromungskomponente Vx = Fcos/? er – gibt sich so die zusatzliche Anstellwinkelanderung

(7.199)

Fiir kleine Schiebewinkel und kleine V-Stellungswinkel hat man somit

Ax = ztfiv.

Die Auftriebsverteilung eines Fliigels mit V-Stellung beim Schieben kann somit ermittelt werden, indem man fiir den Fliigel ohne V-Stellung zu seiner geometrischen Anstellwinkelverteilung noch die antimetrische Verwindung nach Gl. (7.200), vgl. Abb. 7.68c, hinzufiigt.

An der vorgehenden Fliigelhalfte hat man nach Abb. 7.68b beim Schieben den Auftrieb (A/2 + AA2) senkrecht zur Fliigelflache und an der zuriickgehenden Fliigelhalfte (A/2 — AA2). Dabei ist A der Auftrieb bei symmetrischer Anstromung und AA2 der Zusatzauftrieb einer Fliigelhalfte beim Schieben.

Bei der Ermittlung der Luftkraft fiir die beiden Fliigelhalften ist nach Abb. 7.68d noch zu beachten, daB gegeniiber der symmetrischen Anstromung auf der vorgehenden Fliigelhalfte die resultierende An – stromungsrichtung um den Winkel A oc nach oben und auf der zuriick­gehenden Halfte um den gleichen Winkel A oc nach unten abgelenkt ist. Die gleichen Richtungsanderungen erfahren somit auch die resultieren – den Luftkrafte auf den beiden Fliigelhalften.

Die exakte Ermittlung der Schiebeseitenkraft, des Schieberoll- momentes und des Schiebegiermomentes erfordert fur den vorgelegten Fliigel eine Auftriebsyerteilungsrechnung mit der antimetrischen An – stellwinkelverteilung nach Gl. (7.200). Fur die genaue Festlegung des V-Stellungswinkels aus der vorgegebenen Flugelgeometrie hat man beim Tragflachenverfahren Gl. (5.27) und bei der Traglinientheorie Gl. (5.28) zugrunde zu legen.

Naherungswerte fur die aerodynamischen GroBen des schiebenden Fliigels mit V-Stellung, die ihre Abhangigkeit von dem V-Stellungs – winkel und vom Gesamtauftriebsbeiwert des Fliigels erkennen lassen, kann man jedoch bereits aus den nachfolgenden Abschatzungen ge – winnen:

Schiebeseitenkraft. Die Schiebeseitenkraft infolge V-Stellung ist nach Abb. 7.68b

Г = 2 — sinv = dAv.

2

Der Zusatzauftrieb einer Fliigelhalfte ist

Dabei ist nach Gl. (7.200) Aoc — vf}. Somit ergibt sich der Beiwert der Schiebeseitenkraft zu:

w=«7-2о‘»

Der hierbei auftretende Beiwert (dcAldoc)v kann genau genommen nur aus einer Auftriebsyerteilungsrechnung mit der antimetrischen Ver – windung nach Abb. 7.68 c ermittelt werden. Naherungsweise darf man annehmen, daB dieser Beiwert gleich demjenigen eines unverwundenen Fliigels mit dem Seitenverhaltnis Л/2 ist. Man ersieht aus Gl. (7.201), daB der Beiwert der Seitenkraft proportional dem Quadrat des Winkels der V-Stellung und unabhangig vom Gesamtauftriebsbeiwert ist.

Fiihrt man in Gl. (7.201) fiir den Auftriebsanstieg den Wert der erweiterten Traglinientheorie mit dem Seitenverhaltnis Л/2 nach Gl. (7.125) ein, dann erhalt man fiir ungepfeilte Fliigel:

dcY я Л

Ік2 + 4 + 2

Hierin ist к = тіЛІс’Лоо. Diese Beziehung ist in Abb. 7.69 dargestellt. Messungen, die die vorstehende Formel bestatigen, sind in der zu – sammenfassenden Darstellung [66] mitgeteilt.

Schieberollmoment. Das Rollmoment infolge V-Stellung ist nach Abb. 7.68b:

wobei yA den Abstand des Angriffspunktes der Zusatzkraft AAj2 yon der Flugelmitte bedeutet. Fur den Rollmomentenbeiwert cL = L/qFs ergibt sich entsprechend dem oben Gesagten:

$=(&)>>■’" f7-203»

Hierin ist (rjA)v = yA/s der dimensionslose Abstand des Angriffspunktes des Zusatzauftriebes von der Flugelmitte. Diese Gleichung lehrt, dafi der Beiwert des Schieberollmomentes infolge V-Stellung dem Winkel der V-Stellung proportional und unabhangig vom Gesamtauftriebsbeiwert ist. Fur (rjA)v kann man mit guter Naherung (rjA)v = 4/3л = 0,424 ein – setzen. Damit ergibt sich, wenn man wieder (dcAldoc)v fur das halbe Seitenverhaltnis Л/2 nach Gl. (7.125) einfiihrt, fur ungepfeilte Fliigel[25]

dcL 4 tzA

dp 3n 4-4 4- 2

Diese Beziehung ist in Abb. 7.70 dargestellt. Messungen, die diese Formel bestatigen, werden in [66] mitgeteilt.

Schiebegiermoment. Das zusatzliche Schiebegiermoment infolge V – Stellung ist im allgemeinen sehr klein. Es hat ein solches Vorzeichen, da6 es den vorgehenden Fliigel nach vorn zu drehen sucht. Dieses kommt dadurch zustande, daB, wie in Abb. 7,68d angegeben, an der

Abb. 7.71. Zur Aerodynamik des rollenden Tragfltigels.
a) FltigelgrundriB; b) zusatzliche antimetrische Anstellwinkelverteilung Лес = rQx c) resultierende
Anstromrichtung und resultierende Luftkraft der beiden FliigelMlften.

vorgehenden Fliigelhalfte die resultierende Luftkraft nach vorn und an der zurtickliegenden Halfte nach hinten gedreht wird. Messungen sind in [66] angegeben.

7.532 Rollbewegung. Fiihrt der Fliigel nach Abb. 7.71a eine Dreh – bewegung um die Langsachse aus, so ergibt sich dadurch eine langs der Spannweite linear veranderliche Vertikalgeschwindigkeit Vz = оэху. Zusammen mit der Anstromgeschwindigkeit V ergibt sich hieraus nach Abb. 7.71b und c eine zusatzliche antimetrische Anstellwinkelverteilung

Aoc(r]) = rjQx (7.205)

mit der dimensionslosen Rollwinkelgeschwindigkeit Qx = coxsl~V. Diese Anstellwinkelverteilung erzeugt eine antimetrische Auftriebsverteilung langs Spannweite und damit ein Moment um die я-Achse, welches die Drehbewegung stets zu hemmen sucht. Man bezeichnet dieses Moment als Roll-Rollmoment oder Rolldampfung. Aus der unsymmetrischen Kraftverteilung langs Spannweite entsteht weiterhin ein Giermoment, das sogenannte Roll-Giermoment. Diese beiden Momente sind pro­portional der dimensionslosen Rollwinkelgeschwindigkeit Qx, so daB ihre Beiwerte dcLldQx und dcNldQx unabhangig von Qx sind. Bei der Ermittlung der Luftkraft fiir die beiden Fliigelhalften nach Abb. 7.71c ist zu beachten, daB gegemiber der symmetrischen Anstromung auf der abwarts gehenden Fliigelhalfte die resultierende Anstromrichtung um den Winkel A <x nach oben und auf der aufwarts gehenden Fliigelhalfte die resultierende Anstromrichtung um den gleichen Winkel A <x nach unten abgelenkt ist. Die gleichen Richtungsanderungen erfahren somit auch die ortlichen Luftkrafte auf den beiden Fliigelhalften.

Rolldampfung: Um fiir einen vorgegebenen Fliigel die Rolldampfung zu ermitteln, ist nach einem Verfahren fiir die Berechnung der Auftriebs­verteilung, Кар. 7.3, nach Gl. (7.205) mit der Anstellwinkelverteilung

oca = r] (7.205a)

die antimetrische Zirkulationsverteilung ya{r]) langs Spannweite zu ermitteln. Hieraus ergibt sich nach Gl. (7.74) fiir die Rolldampfung:

і

j^ = – Ajy^dr,. (7.206)

-1

Der Rolldampfungsbeiwert dcLjdQx ist somit unabhangig vom Gesamt – auftriebsbeiwert des Fliigels. In Abb. 7.32 ist fiir die schon friiher be – handelten drei Fliigel (Trapezfliigel, Pfeilfliigel, Dreieckfliigel) die antimetrische Zirkulationsverteilung langs Spannweite aufgetragen.

Die daraus ermittelten Rolldampfungsbeiwerte sind in Tab. 7.5 an- gegeben.

Eine einfache Naherungsformel fiir die Rolldampfung von un – gepfeilten Fliigeln erhalt man, wenn man in Gl. (7.127) oc = rj setzt:

dcL _ Jl_________ nA

4 ypqr4 + 2

Diese Beziehung ist in Abb. 7.72 dargestellt. Bei Fliigeln mit starker Pfeilung empfiehlt es sich, nicht diese Naherungsformel zu verwenden, sondern eine genauere Rechnung durchzuftihren.

Rollgiermoment: Das Rollgiermoment hat ein solches Vorzeichen, daB es die abwarts drehende Flugelhalfte nach vorn zu drehen sucht. Dieses kommt folgendermaBen zustande: An der abwarts gehenden Fliigelhalfte wird die resultierende Anstromungsrichtung nach oben und damit die resultierende Luftkraft nach vorn gedreht. An der auf – warts gehenden Flugelhalfte wird die resultierende Luftkraft ent – sprechend nach hinten gedreht. An einem Schnitt у eines ungepfeilten Fliigels erhalt man somit in Richtung der ungestorten Anstromung die Kraft dW’ = dW{ — dA Aoc = dA(oc{ — Aoc).[26] Dabei ist nach Gl. (7.2) dWi = dAoci. Die Integration liefert fiir das induzierte Roll­giermoment :

+S

N = j (осі — Aoc) у dA.

-8

Fiihrt man hier nach Gl. (7.5) dA = qVГdy und у — Г/bV sowie Aoc nach Gl. (7.205) ein, dann findet man fiir den Beiwert des Giermomentes
cN = N/qFs:

і

% = ^1 / У (*< – £*»?) »? dfj.

-1

Die Gesamtzirkulation у setzt sich zusammen aus dem Anteil des symmetrisch angestromten Fliigels y8 und dem infolge der Drehbewegung zu oca = rj gehorenden Anteil ya, d. h. у = y8 – f – Qxya. Entsprechend gilt fiir den induzierten Anstellwinkel oc{ = oci8 + iixocia. Setzt man diese Beziehungen in die obige Gleichung ein, dann ergibt sich:

і

= A J t(*<0 — п) У г + ««.у»] n drj – (7.208)

-1

Fiir den unverwundenen Ellipsenflugel laBt sich das Integral noch einfacher auswerten. Nach den Beziehungen aus Кар. 7.33 wird

^■ = ^Ла1(6а2 – 1). (7.209)

Hierin bedeuten nach Gl. (7.81) аг = сАІлЛ und nach Gl. (7.82) a2 = — (2/яЛ) • (8cLjdQx). Setzt man in Gl. (7.209) ein, dann erha. lt

man folgenden einfachen Zusammenhang zwischen dem Rollgier – moment, dem Auftriebsbeiwert und der Rolldampfung:

= °A (1 і 12 dcL dQx 4 TtA dQx)

Setzt man hierin Gl. (7.207) ein, dann findet man schlieBlich die folgende Naherungsformel fur den Beiwert des Rollgiermomentes:

dcN _ _ 1 jk2 + 4 – 1 dQx 4 yjfca + 4 + 2

Hiernach ist der Beiwert des Rollgiermomentes proportional zum Gesamtauftriebsbeiwert. In Abb. 7.73 ist diese Beziehung liber dem Seitenverhaltnis Л aufgetragen.

7.533 Gierbewegung. Die Drehbewegung des Flugzeuges um die Hochachse erzeugt nach Abb. 7.74 am Fliigel zusatzliche Langsge-

schwindigkeiten, die auf den beiden Flugelhalften verschiedene Vor – zeichen haben. Hieraus resultiert eine unsymmetrische Auftriebs – verteilung langs Spannweite, die ein Rollmoment und ein Giermoment ergibt. Das so entstehende Gier­moment wirkt der Drehbewegung entgegen und heiBt daher Gier – oder Wendedampfung des Flugels. Die Wendedampfung des Flugels ist im Vergleich zu derjenigen des ganzen Flugzeuges sehr klein. Wir konnen deshalb auf ihre Berechnung ver – zichten.

Wenderollmoment: Das durch

die Gierbewegung erzeugte Roll – moment bezeichnet man als Gier – rollmoment oder Wenderollmoment. Das Wenderollmoment hat ein solches Vorzeichen, daB es die vor – gehende Flugelhalfte nach aufwarts. zu drehen sucht.

Zur Berechnung des Wenderoll – momentes konnen wir folgender – maBen vorgehen: Durch die Dreh­bewegung mit der Drehgeschwindig – keit a)z entsteht langs der Spannweite nach Abb. 7.74b eine lineare Ver – teilung der Langsgeschwindigkeit

уx{y) = v – 0)zy-

Damit in dieser inhomogenen Stromung der Fliigel zur Stromflache wird, muB die kinematische Stromungsbedingung

V„(x, y) + w(x, y) = 0 (7.212)

in jedem Punkt der Flugelflache erfiillt sein. Dabei ist Vn nach Abb. 7.74c die Komponente der Langsgeschwindigkeit Vx senkrecht zur Flii – gelsehne, also Vn = ос Vx. Mithin laBt sich Gl. (7.212) folgendermaBen schreiben:

7 + «y=0. (7.213)

In einer homogenen Stromung, Vx = V, lautet die kinematische Stro­mungsbedingung (w/F) + л = 0. Durch Vergleich mit Gl. (7.213) sieht man, daB die inhomogene Stromung aquivalent ist einer homogenen Stromung mit dem geometrischen Anstellwinkel

*6 = *y = *(1 – Q, v) (7.214)

mit Qz = ct)zsjV. Man kann somit die Zirkulationsverteilung fur die inhomogene Stromung berechnen, indem man die in Кар. 7.3 bereit – gestellten Berechnungsverfahren anwendet und dabei eine Anstell – winkelverteilung nach Gl. (7.214) zugrunde legt. Das Ergebnis ist eine Zirkulationsverteilung rb — bVyb. Ein Fliigelstreifen der Breite dy hat dann den Auftrieb dA = q VxTb dy = ^F(l — Qzrj)rbdy. Hieraus erhalt man das Rollmoment zu

s s

L = — J у dA = —q J Vxrby dy.

Fur den Beiwert des Rollmomentes cL = L/qFs findet man also

і

cL = —Л j (1 — Qtrj) dr].

-1

Die Zirkulationsverteilung yb, die zum Anstellwinkel ocb nach Gl. (7.214) gehort, kann folgendermaBen zusammengesetzt werden:

Уъ = ocyu — ocDzya. (7.215)

Hierin bedeuten yu die zu a = 1 und ya die zu oca = rj, vgl. Gl. (7.205a), gehorenden Zirkulationsverteilungen. Der Einfachheit halber sei ein unverwundener Fliigel oc = const angenommen.

Setzt man Gl. (7.215) in die Gleichung fur den Rollmomenten – beiwert ein, dann wird:

Щ = (aJ dr, + AJ yar, dr^j сл. (7.216)

Diese Gleichung lehrt, daB der Beiwert des Wenderollmomentes der Drehgeschwindigkeit Qz und dem Gesamtauftriebsbeiwert cA pro­portional ist.[27]

Fur den ungepfeilten Ellipsenfhigel erhalt man unter Verwendung der Gin. (7.207) und (7.125) die folgende, auch fur andere ungepfeilte Flugelformen brauchbare Naherungsformel:

j_ = 111 + Жкі

cA dQ, 4 ( У** +4 + 2 /

In Abb. 7.75 ist diese Beziehung liber dem Seitenverhaltnis Л auf – getragen. Es ergibt sich ein vom Seitenverhaltnis nahezu unabhangiger

Das zweite Integral war bereits bei der Ermittlung der Rolldampfung, Gl. (7.206), aufgetreten.

Wert.[28] Fur die drei friiher schon behandelten Fliigel (Trapezfliigel, Pfeil – und Dreieckfliigel, Tab. 7.5) sind in Tab. 7.8 die Beiwerte fiir das Wenderollmoment angegeben.

7.521 Geradeausflug. Bei der Langsbewegung laBt sich die resul – tierende Luftkraft darstellen durch Auftrieb, Widerstand und Nick- moment. Gber deren Abhangigkeit vom Anstellwinkel wurde in den vor – stehenden Abschnitten berichtet. Die beiden wichtigsten Beiwerte sind der Auftriebsanstieg dcAjdoc und der Nickmomentenanstieg dcMjdcA. Letzterer gibt nach Gl. (7.154) die Lage des aerodynamischen Neutral – punktes des Fliigels an. Der Auftriebsanstieg dcAldoc ist fur verschiedene Fliigelformen in den Abb. 7.33, 7.42, 7.43, 7.45 und 7.47 sowie in Tab. 7.5
angegeben. t)ber die Neutralpunktlage fur yerschiedene Fliigelformen geben die Abb. 7.38, 7.42, 7.43 und 7.48 sowie Tab. 7.5 Auskunft. Die flugmechanischen Rechnungen erfordern beziiglich der Neutralpunktlage eine sehr groBe Genauigkeit. Da die Neutralpunktlage sehr stark von der individuellen GrundriBform abhangig ist, muB im allgemeinen fiir die Be – stimmung des Neutralpunktes eine Berechnung der Auftriebsverteilung nach einem Tragflachenverfahren, vgl. z. В. Кар. 7.352, durchgefiihrt werden.

7.522 Nickbewegung. Die Nickbewegung ist an sich eine instationare Bewegung. Sie verlauft jedoch im allgemeinen so langsam, daB sie,,quasistationar“ behandelt werden kann. Fiihrt der Fliigel nach Abb. 7.60 um die durch xs festgelegte Querachse eine Drehbewegung mit der

Drehgeschwindigkeit coy aus, so wird hierdurch eine liber die Fliigeltiefe linear veranderliche vertikale Zusatzgeschwindigkeit Vz = coy(x — xs) erzeugt. Zusammen mit der Anstromgeschwindigkeit V ergibt dieses eine durch die Drehbewegung hervorgerufene zusatzliche Anstellwinkelver – teilung in Tiefenrichtung oc(x) = VZV vom Betrage

*(*) = ^-(*-*e). (7.188)

Diese Anstellwinkelverteilung erzeugt eine zusatzliche Auftriebsver­teilung, durch deren Integration man einen zusatzlichen Auftrieb und ein zusatzliches Nickmoment erhalt. Wir nennen diese GroBen den Nick – auftrieb und die Nickdampfung. Beide hangen linear von coy ab. Es ist deshalb zweckmaBig, die Beiwerte

als Nickauftrieb

und

als Nickdampfung

einzufiihren, wobei

Q, = ^ (7.189)

die dimensionslose Nickwinkelgeschwindigkeit und die schonin Gl. (5.7) eingefuhrte Bezugsflugeltiefe bedeuten. Diese Beiwerte sind nur von der Fliigelgeometrie und der Lage der Drehachse abhangig.

Im folgenden soil erlautert werden, wie diese beiden GroBen er- mittelt werden konnen und insbesondere auch, wie ihre Werte sich mit der Lage der Drehachse xs andern.1

Es leuchtet anschaulich ein, daB es eine Drehachslage xQ gibt, fur welche der Nickauftrieb gleich Null ist. Fur einen Rechteckfliigel liegt diese Drehachslage im Abstand – f l von der Vorderkante entsprechend dem Theorem von Pistolesi, vgl. Кар. 6.351. Die Nickdampfung da – gegen kann fur keine Drehachslage Null sein. Um den Nickauftrieb zu berechnen, schreiben wir die Anstellwinkelverteilung nach Gl. (7.188) in der Form

Ф) = ^ ~ *o) + ^ (xo – xs)- (7.190)

Denkt man in dieser Gleichung xs = xQ gesetzt, so verschwindet der zweite Term, wahrend der erste Term definitionsgemaB einen ver – schwindenden Nickauftrieb liefern muB, {dcAldQy)0 = 0. Den Beitrag des ersten Terms zur Nickdampfung bezeichnen wir mit (8cM/8Qy)0. Das zweite Glied in Gl. (7.190) stellt einen konstanten Anstellwinkel dar und liefert den gesamten Nickauftrieb zu

(дсА = dcA xo – xs

dQyJs d(x

Hierbei ist dcjda der Auftriebsanstieg des Fliigels. Gl. (7.191) lehrt, daB sich der Nickauftrieb linear mit der Lage der Drehachse andert, vgl. Abb. 7.61a.

Das Moment der Nickdampfung erhalt man nach Gl. (5.50) aus

Setzt man noch Gl. (7.191) ein, so ergibt sich:

(8cM __ /dcM __ xN – xs x0 – xs dcA 8Qy)s d&y) о Ip If* da

Diese Gleichung lehrt, daB die Nickdampfung parabolisch von xs ab – hangig ist. Insbesondere erkennt man sofort, daB fiir xs = xN und

xs = x0 die Nickdampfung den gleichen Wert, namlich (8cMl8Qy)0 hat, Abb. 7.61b.

Um das Nickdampfungsmoment nach Gl. (7.192) fiir eine beliebige Drehachslage xs berechnen zu konnen, ist hiernach die Ermittlung von (8см/8Оу)0 und xjl^ er – forderlich, wahrend die Beiwerte dcAjdoc und Xffjlp von friiher bereits bekannt sind. Nach Gl. (7.192) ist fiir xs = xN:

Abb. 7.61. Nickauftrieb (a) und Nick – j)]e Aufgabe der Ermittlung des Nickauf – dampfung (b) in AbMngigkeit von der ° °

Drehachslage xs. triebes und der Nickdampfung fiir eine

2hsto«rhSl’ Nick – beUebige Drehachslage haben wir damit auftrieb. zuriickgefiihrt auf die Berechnung der

beiden Beiwerte (dcAld Qv)n und (8cMj 8Qy)N fiir die Drehachslage im Neutralpunkt. Um diese beiden Beiwerte zu erhalten, hat man nach der Tragfliigeltheorie den Auftrieb und das Nick – moment fiir die Anstellwinkelverteilung

«(*) = iLTSLfi*

zu ermitteln.

In Abb. 7.62 sind fiir den Trapezfliigel, den Pfeilfliigel und den Dreieckfliigel nach Tab. 7.5 der Nickauftrieb und die Nickdampfung in Abhangigkeit von der Drehachslage dargestellt. Die Zahlenwerte von Axjlp und (8cMl8Qy)0 sind in Tab. 7.6 angegeben. Man vergleiche hierzu [13] und [19].

Bei einem Flugzeug mit getrenntem Etohenleitwerk ist der Beitrag des Fliigels zur Nickdampfung imVergleich zu demjenigen desHohen – leitwerkes klein, so daB seine genaue Berechnung sich eriibrigt. Da-

Tabelle 7.6. Lage der Drehachse fur verschwindenden Nickauftrieb und zugehorige
Nickddmpfung fiir einen Trapezfliigel, einen Pfeilfliigel und einen Dreieckfliigel
nach Tab. 7.5. Der Abstand A x0 ist vom geometrischen Neutralpunkt N25 aus gemessen,
dessen Lage in Tab. 7.5 angegeben ist.

a) Trapezfliigel: q> = 0°; Л = 2,75; A = 0,5;

b) Pfeilflugel: (p = 50°; Л = 2,75; A = 0,5;

c) Dreieckfliigel: <p — 52,4°; Л = 2,31; A = 0.

gegen ist beim Nurfliigelflugzeug, bei welchem nahezu die gesamte Nickdampfung vom Flugel geliefert wird, eine genauere Rechnung von Fall zu Fall erforderlich.

Nachdem in Кар. 7.1 bis 7.4 die Verfahren zur Berechnung der Luftkrafte an einem Tragfliigel eingehend erortert worden sind, soil in diesem Abschnitt gezeigt werden, wie man hiermit die flugmechani – schen Beiwerte eines Tragfliigels ermitteln kann. Eine Dbersicht iiber diese Beiwerte wurde bereits in Кар. 5.3 gegeben.

Die flugmechanischen Beiwerte werden bestimmt durch die Be- wegungsform des Tragfliigels zusammen mit der Fliigelgeometrie. Im folgenden sollen nur diejenigen Beiwerte betrachtet werden, die fiir die Stabilitdt des Flugzeuges von Bedeutung sind. Die Beiwerte, welche die Steuerbarkeit bestimmen, werden spater in Кар. XII behandelt.

AuBer dem Fliigel liefern die iibrigen Teile des Flugzeuges (Rumpf, Leitwerke) z. T. wesentliche Beitrage zu diesen flugmechanischen Bei – werten. Diese Anteile werden ebenfalls spater erortert werden. In dem vorhegenden Abschnitt soil nur der Beitrag des Tragfliigels an – gegeben werden.

Die flugmechanischen Beiwerte des Fliigels sind abhangig von zahl- reichen geometrischen Parametern des Fliigels, wie z. B. von der Fliigel- grundriBform (Seitenverhaltnis, Zuspitzung, Pfeilung), der Verwindung und der V-Stellung, vgl. Кар. 5.1. Die Abhangigkeit der flugmecha­nischen Beiwerte von der Fliigelgeometrie ist so vielgestaltig, daB wir darauf verzichten miissen, in der Beschreibung dieser Zusammenhange Vollstandigkeit anzustreben. In manchen Fallen ist der Anteil des Trag-

fliigels an den Stabilitatsbeiwerten des ganzen Flugzeuges gering. Wir wollen uns deshalb im folgenden auf solche Falle beschranken, in denen der Tragfliigel einen wesentlichen Beitrag liefert. Bei den folgenden Be- trachtungen stiitzen wir uns auf zusammenfassende Berichte von A. Betz [2], H. Schlichting [66] und H. Multhopp [57].

Im folgenden legen wir das experimentelle Achsensystem nach Abb.

5.12 zugrunde. Das Achsensystem ist in Abb. 7.59 nochmals wieder – gegeben. Wir verzichten jedoch darauf, bei den Kraften und Momenten sowie deren Beiwerten den Index,,e“ anzugeben, der auf das verwendete Achsensystem hinweist. Fur die dimensionslosen Beiwerte gelten nach Gl. (5.34) die folgenden Definitionsgleichungen:

Die Formeln fur die Umrechnung der Krafte und Momente vom experi- mentellen auf das flugzeugfeste System sind in Gl. (5.32) angegeben worden.

Der allgemeine Bewegungszustand des Flugzeuges laBt sich, wie in Кар. 5.3 bereits ausgefuhrt, aufteilen in eine Langsbewegung und in eine Seitenbewegung. Bei der Langsbewegung andert sich die Lage der Flugzeugsymmetrieebene nicht. Diese Bewegung ist gekennzeichnet durch die drei Parameter Fluggeschwindigkeit V, Anstellwinkel oc und Nickwinkelgeschwindigkeit ajy, Abb. 5.19. Die Seitenbewegung wird bestimmt durch den Schiebewinkel f}9 die Rollwinkelgeschwindigkeit cox und die Gierwinkelgeschwindigkeit coz, Abb. 5.19. Unter den StabiUtats – beiwerten verstehen wir die Anderungen der Kraft – und Momenten – beiwerte mit den vorstehend angegebenen Bewegungsparametern.

7.441 Tangentialkraft. Bereits in Кар. 5.22 wurden neben den stromungsfesten Komponenten der Luftkraft, Auftrieb und Wider – stand, die fliigelfesten Komponenten, Normalkraft und Tangential­kraft, eingefiihrt. Fiir kleine Anstellwinkel ist nach Gl. (5.32) die Nor­malkraft nahezu gleich dem Auftrieb, wahrend die Tangentialkraft von dem Widerstand auch schon bei kleinem Anstellwinkel erheblich ver­schieden ist. Die Tangentialkraft T wird positiv gezahlt in der Richtung von der Fliigelvorderkante zur Hinterkante. Fiir ihren Beiwert cT = = T/Fgilt bei Beschrankung auf kleine und maBige Anstellwinkel nach Gl. (5.32):

Cy = Cjy — Сдое. (7.177)

Dabei bedeutet cw den Beiwert des Gesamtwiderstandes, der sich aus dem Profilwiderstand und dem induzierten Widerstand nach Gl. (7.157) zusammensetzt. Setzt man cw nach Gl. (7.157) und oc = (docldcA)cA in Gl. (7.177) ein, dann wird

Cr = cWp — (|^ — —j) ca ■ (7.178)

Der Klammerausdruck wird fiir die einfache Traglinientheorie mit dcAd(x nach Gl. (7.89a) gleich 1 lcAoo. Somit gilt fiir Fliigel groBen

Seitenverhaltnisses

CT = cWp-4~ (A = groB). (7.179)

C’A oo

Fuhrt man den Wert von dcA/d(x der erweiterten Traglinientheorie nach Gl. (7.125) in (7.178) ein, dann wird

cr = cWp-Glc2. (7.180)

Dabei ist к = пЛс’Аоо.

In Abb. 7.56 ist die Differenz (cWp — cT)lcA nach Gl. (7.179) und (7.180) liber dem Seitenverhaltnis aufgetragen. Fur groBe Seitenverhaltnisse ist

hiernach diese Differenz und damit auch die Tangentialkraft unabhangig vom Seitenverhaltnis.

Abb. 7.57 zeigt die Abhangigkeit des Tangentialkraftbeiwertes vom Auftriebsbeiwert fur Flugel mit verschiedenem Seitenverhaltnis Л. Dabei ist ein Profilwiderstandsbeiwert von cWp = 0,05 angenommen worden. Bemerkenswert ist, daB bei Auftriebsbeiwerten cA > 0,5 der Beiwert der Tangentialkraft negative Werte annimmt. In diesem Fall ist also die Tangentialkomponente der resultierenden Luftkraft langs der Fliigelsehne nach vorn gerichtet. In Abb. 7.57 sind auch die Widerstandspolaren cw(cA) mit eingetragen.

7.442 Saugkraft. Die Betrachtungen zum Widerstand eines Trag- fliigels unendlicher Spannweite in Кар. 2.563 haben gezeigt, daB bei reibungsloser Fliissigkeit die Umstromung der Vorderkante eines angestellten Profils eine nach vorn gerichtete Saugkraft liefert, Abb. 2.61 a. Diese kommt zustande durch die starken Unterdriicke in der Nahe der Flugelvorderkante. Wir wollen jetzt die Saugkraft beim Tragflugel endlicher Spannweite betrachten. Hierbei ist bei Zerlegung des gesamten Widerstandes in den Profilwiderstand und in den induzierten Wider-
stand nach Gl. (7.156) die Saugkraft in dem induzierten Widerstand mit enthalten. Es gilt somit

mit Saugkraft: cw = cWp – f – cWi. (7.181)

In Кар. 2.563 wurde bereits darauf hingewiesen, dab bei sehr scharfer Vorderkante die Saugkraft nicht vorhanden ist, weil dann die Um-

stromung der Vorderkante zu einer lokalen Ablosung fiihrt und infolge – dessen die starken Unterdriicke, welche die Saugkraft erzeugen, nicht vorhanden sind. Vielmehr ergibt sich bei scharfkantiger Nase die resul- tierende Kraft aus der Druckverteilung senkrecht zur Flugelflache und hat somit in Richtung der Anstromung die Komponente A a. Also gilt fur den Widerstandsbeiwert

ohne Saugkraft: cw = cWp + cAoc. (7.182)

Die Differenz der Widerstandsbeiwerte nach Gl. (7.181) und (7.182) gibt den Beiwert der Saugkraft cs = S/Fq^ zu[22]

cs = — cwi• (7.183)

Setzt man fiir cWi = с\пЛ und fiir oc = (daldcA) cA ein, dann wird

Durch Vergleich mit Gl. (7.178) wird:

cs — Cwp — Cf. (7.185)

Somit ist die in Abb. 7.56 dargestellte GroBe auch unmittelbar ein MaB fur die Saugkraft. Insbesondere ergibt sich fur den Tragfliigel sehr groBer Spannweite cs = c/2n in "Obereinstimmung mit Gl. (6.99a), wenn man dort wegen des symmetrischen Profils den Auftriebsbeiwert des stoBfreien Eintritts cAS — 0 setzt. Fur Л -> 0 erhalt man aus Gl. (7.184) wegen Gl. (7.121) die einfache Formel

cs = с\пЛ.

Zur Bestatigung dieser tlberlegungen sollen abschlieBend noch einige experimentelle Ergebnisse an Tragflachen von kleinem Seiten – verhaltnis nach M. Hansen [21] mitgeteilt werden. Abb. 7.58 zeigt

Abb. 7.58. Widerstandspolaren kreis – formiger Tragflftchen mit verschiede – ner Abrundung der Vorderkante, nach Messungen von Hansen [21]. Theorie nach Kinner [37]. Von denMeBwerten ist der Widerstand bei cA — 0 ab – gezogen.

Scheibe I und II: cwp = 0,012, Scheibe III: cWp = 0,008.

Kurve 1: mit Saugkraft nach
Gl. (7.181):

cw = cWp + 0,247 4;

Kurve 2: ohne Saugkraft nach
Gl. (7.182):
cw = Cwp + 0,55c^.

fur die ebene Kreisscheibe die Widerstandspolaren. Um den EinfluB der Saugkraft zu zeigen, wurden bei den Messungen die Vorderkanten der Kreisflache in verschiedener Weise ausgebildet, wie aus Abb. 7.58 zu er – sehen ist. Die Saugkraft ist um so groBer, je besser die Abrundung der Vorderkante ist. In dieser Abbildung sind die beiden theoretischen Kur – ven fur den Widerstandsbeiwert mit und ohne Saugkraft nach Gl. (7.181) und (7.182) mit angegeben. Die Messungen zeigen das erwartete Ergeb – nis, daB bei guter Abrundung der Vorderkante der gemessene Wider­stand auf die theoretische Kurve mit Saugkraft fallt, wahrend er bei starker Zuscharfung der Vorderkante nahe an der theoretischen Kurve ohne Saugkraft liegt. Samtliche Messungen mit verschieden ausgebildeter Vorderkante liegen zwischen den beiden theoretischen Kurven.

Aus Gl. (7.158) erhalt man die Formel fur den Beiwert des induzierten Widerstandes mit у = Г/b und oc( = w{U^ nach Gl. (7.67) sowie mit rj = у Is zu:

і

Cwi = л j у{г))оч(г}) dr), (7.172)

-1

wie bereits friiher in Gl. (7.76) angegeben. Zur Ermittlung des induzierten Widerstandes bedient man sich am besten der Quadraturformel, Gl. (7.103).

Gl. (7.172) fur den induzierten Widerstand soil jetzt auf Trapez- fltigel mit symmetrischer Verwindung angewendet werden, um an die – sem Beispiel darzulegen, wie der induzierte Widerstand von der Ver­windung abhangig ist. In Кар. 7.33 wurde gezeigt, in welcherWeise die Zirkulationsverteilung eines symmetrisch verwundenen Fltigels durch Superposition aus derjenigen des unverwundenen Fltigels und einer Null- verteilung zusammengesetzt werden kann. Es ist nach Gl. (7.73):

y(rj) = <xyu(ri) + y0(fj).

In gleicher Weise kann man auch den induzierten Anstellwinkel des ver­wundenen Fltigels aufteilen:

0Ci(rj) = ocociu(rj) + ocio(f]).

Damit ergibt sich aus Gl. (7.172) ftir den induzierten Widerstand des verwundenen Fltigels:

(7.174b)

l

co = Л f y0ai0drj. (7.174c)

-1

Beim unverwundenen Flugel bestimmt sich der induzierte Widerstand nur aus dem Glied (C2). Beim verwundenen Flugel kommen zu diesem Glied ein zu cA proportionales Glied (Сг) und ein von cA unabhangiges Glied (G0) hinzu. Dabei ist das erstere in der Verwindung linear und das letztere in der Verwindung quadratisch. Wie man leicht durch Ver-

gleich mit Gl. (7.24) ersieht, ist fur die elliptische Zirkulationsverteilung C2 = 1. Der Koeffizient C2 bedeutet deshalb physikalisch fur den unver­wundenen Flugel das Verhaltnis des induzierten Widerstandes zu dem Minimalwert bei elliptischer Zirkulationsverteilung.

Als Beispiel ist in Abb. 7.55 der induzierte Widerstand fur verwun- dene Trapezfliigel angegeben. Es ist eine symmetrische lineare Verwin­dung mit (x8(rj) = ?j осг zugrunde gelegt worden. Die zugehorige Zirku­lationsverteilung wurde nach der Tragfiachentheorie berechnet. Aus Abb. 7.55b erkennt man, daB der induzierte Widerstand des unver – wundenen Fliigels fur alle Seitenverhaltnisse Л etwa bei der Zuspitzung X ^ 0,45 ein Minimum hat, dessen Wert nur wenig von dem des Ellipsen – fliigels (C2 = 1) verschieden ist. Fur Dreieckfliigel (X — 0) und Recht – eckfliigel (X = 1) ist cWi z. T. erheblich groBer als beim elliptischen Flugel. Der vom Auftrieb unabhangige Anteil, Abb. 7.55c, ist durchweg positiv. Der vom Auftriebsbeiwert linear abhangige Anteil, Abb. 7.55d, andert sein Vorzeichen mit der Zuspitzung. Bei der Zuspitzung X ^ 0,45 ist dieser Anteil fur alle Seitenverhaltnisse gleich Null. Dieses hangt da – mit zusammen, daB der unverwundene Flugel bei diesem Wert der Zu­spitzung nahezu elliptische Zirkulationsverteilung hat.

Uberdies laBt sich fiir einen Ellipsenfliigel mit behebiger Verwindung mit Hilfe von Gl. (7.83a) zeigen, daB C1 — 0 ist. Mithin gilt fiir diesen

dr* = -£[+ W (7.175)

Dabei ist

M

%»o = Co = яЛ 2 паї (7.176)

n=2

der von der Verwindung herriihrende Anteil des induzierten Widerstandes.