Category Aerodynamik des Flugzeuges

7.421 Anwendung des Kutta-Joukowskyschen Satzes. Der induzierte Widerstand eines ungepfeilten Tragfliigels endhcher Spannweite ergibt sich nach Gl. (7.6) zu:

s

W, = ef r(y)wi(y)dy. (7.158)

Dabei bedeutet Г(у) die Zirkulationsverteilung und w{ (y) nach Gl. (7.8) die Verteilung der induzierten Abwindgeschwindigkeit iiber die Spann­weite —s < у < s.

Im folgenden soli gezeigt werden, daB Gl. (7.158) auch fiir beliebige Fliigelgrundrisse giiltig ist. GemaB Abb. 7.12 werde der Fliigel durch sog. Elementarfliigel der infinitesimalen Spannweite dy und der Fliigel – tiefe l(y) ersetzt. Das Wirbelsystem eines Elementarfliigels besteht nach Abb. 7.13 aus einer Schar hintereinander liegender Hufeisenwirbel der Breite dy. In Abb. 7.53 sind zwei auf der Tragflache von den Stellen yx und x2, y2 ausgehende Hufeisenwirbel mit den Zirkulationsstarken dTx bzw. dT2 dargestellt. Wahrend der Hufeisenwirbel dTx an der Stelle x2, у % die Abwartsgeschwindigkeit dw2X induziert, liefert der Hufeisen­wirbel dT2 an der Stelle xv yx die induzierte Abwartsgeschwindigkeit dwX2. Entsprechend dem Kutta-Joukowskyschen Satz, vgl. Gl. (7.5), liefern die tragenden Zirkulationselemente dTx und dT2 infolge der An-

stromung durch die Abwartsgeschwindigkeiten dw12 bzw. dw2l Krafte, die senkrecht zur Richtung der Abwartsgeschwindigkeit stehen. Nimmt man an, daB die freien Wirbel der Hufeisenwirbel in Anstromrichtung

Abb.. 7.53. Zur Berechnung des induzierten Widerstandes.

verlaufen, dann stellen diese Krafte Beitrage zum induzierten Wider- stand dar. Das in Abb. 7.53 gezeigte Wirbelsystem besitzt, unter Be – achtung des Drehsinns der Zirkulationselemente, den induzierten Teil – widerstand:

d2 Wi = d2 WV2 + d2 W21 = – dTx dw12 – dr2 dw2V (7.159)

Wegen dT = kdx findet man, sofern yx =|= y2 ist, aus Gl. (7.38) in Ver- bindung mit Gl. (7.39b) fiir die induzierten Abwartsgeschwindigkeiten sofort:

(7.160a)

(7.160b)

Man erkennt, daB sich die zweiten Glieder in den eckigen Klammern nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Setzt man Gl. (7.160) in Gl. (7.159) ein, dann liefern diese Glieder keinen Beitrag zum induzierten

Widerstand. Somit verbleibt:

(7.161)

Aus dieser Betrachtung folgt unmittelbar, daB die Lage der tragenden Zirkulationselemente in x-Richtung fiir den Widerstand ohne EinfluB ist. Somit gilt fiir den gesamten induzierten Widerstand eines Fliigels von beliebigem GrundriB die bereits fiir den ungepfeilten Fliigel in Gl. (7.158) angegebene Beziehung. Da die induzierte Abwindgeschwindigkeit wx (y) nach Gl. (7.8) nur von der Verteilung der Zirkulation iiber die Spannweite abhangt, gilt, daB auch der Gesamtwert des induzierten Widerstandes nur von der Zirkulationsverteilung iiber Spannweite abhangig ist. Er ist unabhangig von der Anordnung der elementaren Hufeisenwirbel in Richtung der Fliigeltiefe (Flugrichtung). Dieses Ergebnis wurde schon friihzeitig von M. Munk [59] erkannt und wird als Munkscher Ver – schiebungssatz bezeichnet. Es ist somit fiir die GroBe des induzierten Widerstandes gleichgiiltig, ob die Zirkulationsverteilung durch die FliigelgrundriBform (Seitenverhaltnis, Pfeilung, Zuspitzung), durch eine Fliigelverwindung oder durch eine Wolbung der Fliigelflache erzeugt wird.

7.422 Anwendung des Energiesatzes. Wahrend sich der Gesamtauf – trieb eines Tragfliigels entsprechend Кар. 7.32 durch Anwendung des Impulssatzes in einfacher Weise berechnen laBt, ist die Berechnung des induzierten Widerstandes mittels des Impulssatzes erhebhch schwieriger, da hierbei die Neigung der Wirbelschicht hinter dem Fliigel nicht ver – nachlassigt werden darf.1 Benutzt man dagegen den Energiesatz, so kann man die Neigung der freien Wirbelflache entsprechend Abb. 7.19 gegen – iiber der Anstromrichtung vernachlassigen.

Die durch ein Flachenelement dy dz der Flache II pro Zeiteinheit hindurchfheBende Masse q dy dz erfahrt einen Energiezuwachs dEu = (p/2) С7ТО (v^ + w^) dydz. Hierbei sind vund wdie indu­zierten Geschwindigkeiten in y – bzw. z-Richtung. Da auf der Flache I die induzierten Geschwindigkeiten Null sind, ist das Flachenintegral iiber dEji gleich der in der Zeiteinheit geleisteten Arbeit des induzierten Widerstandes Wx. Somit wird:

(7.162)

und nach Division durch :

w< = jff («& + «&) dvdz – (7.163)

(И)

Diese Beziehung gilt sowohl fur die nichtaufgerollte als auch fur die auf – gerollte Wirbelflache hinter dem Fltigel.

Im folgenden moge fur die nichtaufgeroUte Wirbelflache die Gleichwertigkeit der Gl. (7.163) und Gl. (7.158) gezeigt werden. Das induzierte Geschwindigkeitsfeld sehr weit hinter dem Fltigel mit den Komponenten Voo (y, z) und Woo (y, z) laBt sich nach Gl. (7.55a) mit Hilfe eines zweidimensionalen Geschwindigkeitspotentials Ф(у, z) darstellen:

дФ дФ

Voo = —– und Woo = ————— • (7.164)

dy dz

Dabei gentigt Ф (y, z) der Potentialgleichung

а2Ф а2Ф

дуг dz2

Somit hat man nach Gl. (7.163) und Gl. (7.164):

Durch partielle Integration, und zwar nach у ftir das erste und nach z ftir das zweite Glied, ergibt sich hieraus unter Beachtung von Gl. (7.165):

Dabei ist jetzt die Flache II bis ins Unendliche ausgedehnt worden. Da an den Grenzen у = ±oo und z = ±oo die Werte Ф und die Ableitungen dФ|dy und dФ/dz verschwinden, wahrend bei z — ±0 das Potential in z-Richtung einen Sprung vom Betrage

hat, wird

Wi = – J §M(y, b)d-f;(.y, b)dy.

Dabei konnen die Integrationsgrenzen у = ioo durch у = ersetzt werden, weil auBerhalb der Fltigelspannweite Ф (y, 0) = 0 ist. Innerhalb der Fltigelspannweite ist, wie in Gl. (7.52b) gezeigt, der Potentialsprung ЛФ gleich der Zirkulation Г(у); damit ergibt sich mit Gl. (7.164):

s

"”-I

Setzt man hier Gl. (7.8a) mit Woo(y) — —2wi(y) ein, dann wird schlieBlich

s

Wi = Q j r(y)wi(y)dy (7.168)

in Ubereinstimmung mit Gl. (7.158).

Gl. (7.162) gilt fiir die nichtaufgerollte Wirbelflache. W. Kaufmann [34] hat gezeigt, daB sich bei aufgerolUer Wirbelflache der gleiche Betrag des induzierten Widerstandes ergibt wie bei nicht aufgerollter Wirbel­flache. Dabei muB jedoch angenommen werden, daB die beiden freien Einzelwirbel Wirbelkerne mit endlicher Geschwindigkeit besitzen.

7.423 Vereinfachte Betrachtung. Fiir die Ermittlung des induzierten Widerstandes mit ffilfe des Energiesatzes betrachteten wir das vom

Abb. 7.54. Zur vereinfachten Berechnung des induzierten Widerstandes mittels Energiesatz. К = Kontrollflfiche.

Tragfliigel induzierte Geschwindigkeitsfeld sehr weit hinter dem Fliigel. Besonders einfach ist der Fall, bei dem die induzierte Abwartsgeschwin – digkeit sehr weit hinter dem Fliigel iiber die Tragfliigelspannweite kon – stant ist, vgl. Abb. 7.17. Die hinter dem Fliigel zuriickbleibende Stro-

mung kann man in diesem Fall entstanden denken durch Abwarts – bewegung eines Brettes, das mit gleichformiger Geschwindigkeit nach unten bewegt wird. Dieses Geschwindigkeitsfeld hat Abwarts – und Auf – wartsgeschwindigkeiten, wobei jedoch die ersteren iiberwiegen. Fur die weitere Betrachtung ist in Abb. 7.54 ein Tragfliigel mit diesem Ge­schwindigkeitsfeld perspektivisch dargestellt. Wir legen um den Trag – fliigel eine sehr lange zylindrische Kontrollflache K. Auf der Eintritts – seite dieser Kontrollflache ist die Abwartsgeschwindigkeit uberall gleich Null. Auf der Austrittsseite kann man sich nach L. Prandtl die Ab – wartsbewegung vereinfacht so vorstellen, daB auf dem Querschnitt Fx = tc6[16] [17]/4 eine konstante Abwartsgeschwindigkeit vorhanden ist, wah – rend auBerhalb dieses Querschnittes die Abwartsgeschwindigkeit Null ist.

Die Anwendung des Impulssatzes nach Gl. (7.60) auf diese Kontroll­flache liefert fiir die Vertikalrichtung den Auftrieb

A=qQw00 = qF1Vw009 (7.169)[18]

wobei Q = Fx V das durch die Kontrollflache pro Zeiteinheit durch – fliefiende Volumen und die induzierte Abwartsgeschwindigkeit weit hinter dem Fliigel (positiv nach unten) ist.

Den induzierten Widerstand erhalt man aus der tlberlegung, daB bei verlustloser Stromung die pro Zeiteinheit neu erzeugte kinetische Energie der Abwartsbewegung gleich der Arbeit pro Zeiteinheit des induzierten Widerstandes ist. Dieses ergibt:

Q^wl = WiV

oder

Wi = F1^w200. (7.170)

Die Elimination von mittels Gl. (7.169) ergibt mit Fx = (тг/4)62 undq = (Ql2)V[19] [20] [21]:

A2

Wi=—>T (7-171)

nqb2

in Ubereinstimmung mit Gl. (7.18).

7.41 Allgemeines

Der gesamte Widerstand eines Tragfliigels endlicher Spannweite setzt sich aus dem Profilwiderstand und dem induzierten Widerstand zusammen:

W= Wp+ Wi. (7.156)

Der Profilwiderstand Wp entsteht durch den EinfluB der Reibung. Er ist nahezu unabhangig vom Seitenverhaltnis des Fliigels. Ein Ver – fahren fiir die theoretische Ermittlung des Profilwiderstandes wurde in Кар. 4.83 angegeben. Experimentell kann der Profilwiderstand durch Nachlaufmessungen (Impulsverlustmessungen) hinter dem Tragfliigel er – mittelt werden, wie in Кар. 2.626 gezeigt wurde.

Der induzierte Widerstand W{ ist nur beim Tragfliigel endlicher Spannweite vorhanden. Er entsteht durch die Stromungsvorgange an den seithchen Fliigelenden und laBt sich aus den Gesetzen der reibungs – losen Stromung ermitteln. In Кар. 7.14 wurde gezeigt, daB der indu­zierte Widerstand dem Quadrat des Auftriebes proportional ist.

Fiir den Beiwert des Widerstandes gilt bei elliptischer Auftriebs – verteilung nach Gl. (7.26):

cw = cWp + cWi = cWp + (7.157)

wobei A nach Gl. (5.4) das Seitenverhaltnis des Fliigels ist.

Fur die rechnerische Ermittlung des induzierten Widerstandes hat man zwei Verfahren, die sich in der physikalischen Betrachtungsweise unterscheiden. Bei dem ersten Verfahren ermittelt man den induzierten Widerstand aus den am Fliigel selbst angreifenden Druckkraften. Bei dem zweiten Verfahren wird der induzierte Widerstand aus einer Energie – betrachtung gewonnen.

Die letztere Betrachtung vermag nur den induzierten Widerstand des ganzen Fliigels zu ermitteln, wahrend die erstere Methode auch die ortliche Verteilung des induzierten Widerstandes langs Spannweite liefert.

Im folgenden soil die Ermittlung des induzierten Widerstandes erlautert werden.

Die bisher in diesem Kapitel behandelte Tragfliigeltheorie liefert einen linearen Zusammenhang zwischen dem Auftriebsbeiwert imd dem Anstellwinkel. Man bezeichnet sie deswegen als lineare Tragfliigel – theorie. Aus experimentellen Untersuchungen ist bekannt, daB bei Fliigeln von sehr kleinem Seitenverhaltnis, etwa fiir A < 1, die Kurven des Auftriebsbeiwertes cA iiber dem Anstellwinkel a von der linearen Theorie nach oben betrachtlich abweichen. Abb. 7.49 zeigt diese Er – scheinung fiir Rechteckfliigel mit den Seitenverhaltnissen A = 0,2; 0,5;

1,0 und 5,0 nach einer Zusammenstellung von K. Gebsten [15], [17]. Die gestrichelt eingetragene theoretische Kurve entspricht der linearen Tragflachentheorie, wie sie vorstehend besprochen wurde. Wahrend die
lineare Theorie den Auftriebsanstieg (dcAldoc)^=0 auch bei kleinen Seitenverhaltnissen noch richtig wiedergibt, weichen schon bei kleinen Anstellwinkeln die Messungen stark von dem linearen Verlauf ab.

Allen bisher besprochenen Tragfliigeltheorien liegt die ver- einfachte Vorstellung zugrunde, daB die gebundenen und freien Wirbel sich in der gleichen Ebene befinden. ffieraus folgt zwangs – laufig ein linearer Zusammenhang zwischen Auftrieb und Anstell – winkel. Will man den nichtline- aren Zusammenhang zwischen Auftrieb und Anstellwinkel theo – retisch erklaren, so muB man dieses stark vereinfachte Wirbel – modell verlassen. Ein erster Ver- such in dieser Richtung stammt von W. Bollay [5]. Er verwendet ein Wirbelmodell nach Abb. 7.50 a, bei welchem die freien Wirbel nicht mehr in einer Ebene liegen, son – dern an den Seitenkanten unter dem Winkel ocj2 zur Flugelebene nach hinten abgehen. Bei Bollay werden die gebundenen Wirbel langs der Spannweite als konstant angenommen. K. Gersten [15] hat dieses Wirbelmodell dadurch verfeinert, daB er eine uber die Spannweite veranderliche Zirku – lationsverteilung zugrunde legt,

Abb. 7.50b. Die nach dieser Theorie berechneten c^(&)-Kur – ven sind in Abb. 7.49 als aus- gezogene Linien eingetragen. Sie stimmen sehr gut mit den Messun­gen uberein. Nach dieser Theorie Abb. 7.49. Gemessene Auftriebsbeiwerte cA in Ab-

Mngigkeit vom Anstellwinkel a ftir Rechteckfltigel
vom Seitenverhalfcnis Л — 0,2; 0,5; 1,0 und 5,0
aus [15].

– j j. л j, . _ Kurve 1: lineare Theorie nach Scholz [70];

Stand und ше Auitriebsvertei – Kurve 2: nichtlineare Theorie nach Gersten [15].

lung langs Spannweite ermittelt worden, wobei sich auch hier gute Ubereinstimmung zwischen Messung und Theorie ergibt [17]. Die in

Abb. 7.50. Wirbelmodell der nichtlinearen Tragfltigeltheorie.
a) Wirbelmodell nach Bollay [5]; b) Wirbelmodell nach Gersten [15].

Abb. 7.51. Auftriebsbeiwert von gepfeilten Fldgeln mit scharfer Vorderkante und kleinem Seitenverh&ltnis in Abh&ngigkeit vom Anstell – winkel nach [17].

……… Lineare Theorie,

nach Gl. (7.121);

——— nichtlineare Theorie

nach Gersten [17]; О Messung.

a) Pfeilfltigel Л =1, Д = 1, q> = 45°;

b) Deltafliigel Л = 0,78,

Я = 1/8. [15]

Deltaflugel die nach dieser Theorie ermittelten cA (a)-Kurven und den Vergleich mit Messungen.

Aus Versuchsergebnissen ist bekannt, daB fur Fliigel von kleinem Seitenverhaltnis die aerodynamischen Beiwerte auch stark abhangig sind von der Ausbildung der Fliigelvorderkante. Dieses gilt vor allem fur Pfeil – und Deltaflugel, bei denen eine scharfe Fliigelvorderkante lokale Ablosung verursacht, die zur Ausbildung eines freien Wirbel-

\

r4*

Abb. 7.52. Ablosung und Wirbelbildung an
einem Deltaflttgel von kleinem Seifcen-
verMlfcnis mit scharfer Vorderkanfce.

paares fiihrt, Abb. 7.52. Diese Vorgange sind sowohl fiir den Auftrieb und das Nickmoment als auch fiir den Widerstand von Bedeutung.

Weitere Untersuchungen iiber die nichtlinearen Effekte bei Tragfliigeln mit kleinem Seitenverhaltnis, insbesondere bei Deltafliigeln findet man in [6], [14], [17], [24], [50], [54], [71] und [85].

7.351 Allgemeiner Losungsansatz. Die Integralgleichung zur Be­rechnung der Zirkulationsverteilung nach der Tragflachentheorie wurde in Кар. 7.22, Gl. (7.40) bereitgestellt.

Wir fuhren die folgenden dimensionslosen GroBen ein:

„„d, = (7.131)

OS OS

9=-Sr – (7-132)

bUoo

Weiterhin bezeichnen wir den in Gl. (7.40) auf der linken Seite stehen – den Klammerausdruck der Einfachheit halber mit

dz(,)

*(£,гі) = »р—(7.133)

Es ist dieses der ortliche Anstellwinkel der gewolbten tragenden Flache. Somit wird aus Gl. (7.40):

*(*> у) = V Uoo 2 Cn(y)hn(x). L П = 0

x — xv (y) v 1 .. , . (7.139) Hier bedeutet l(y) die Fliigeltiefe und xv die Lage der Fltigelvorderkante des Schnittes y. Fur die Werte n = 0, 1 und 2 sind die Verteilungen in Abb. 7.34 dar- gestellt, Vgl. Abb. 6.22. Die Verteilung Abb – 7-34- Die Funktionen A0, К und A* fur 7 . її, . і – г»- і і. die Verteilung des Auftriebes iiber die n0 stellt die erste Birnbaumsche Normal – Flugeltiefe, nach [75]; vgl. Gl. (6.114). verteilung und die Verteilung eine Kombination der ersten und zweiten Birnbaumschen Normal verteilung і dar, derart, daB das Integral J h1(X)dX = 0 ist. о Die Funktionen h0 und hx nach Gl. (7.138) sind so normiert, daB nach Einsetzen in Gl. (7.135) ihre Integration iiber die Flugeltiefe,

vgl. die Gin. (6.66) und (6.67), den ortlichen Auftriebsbeiwert bzw. den ortlichen Momentenbeiwert, bezogen auf den Z/4-Punkt, ergibt, und zwar gilt:

Ca(y) = c0 Ы, (7.140)

cm(y) = (7.141)

Fiihrt man die Verteilungsfunktionen hn nach Gl. (7.138) in (7.137) einr so erhalt man explizite Ausdriicke fur die Funktionen Hn(x, y ; y’), die nur nioch von der Form des Fliigelgrundrisses abhangig sind. Die Aus – wertung der ersten EinfluBfunktion H0(x, y;y’) ist in Abb. 7.35 an-

gegeben (Kurven H0 — const). Dabei ist auch ein FliigelgrundriB mit eingetragen, um die Verwendung dieses Diagramms zu erlautern.

Schreibt man die Funktion G nach Gl. (7.136) in dimensionsloser Form unter Berucksichtigung von Gl. (7.132), dann wird

mit

Setzt man die so erhaltene Funktion in die Integralgleichung

(7.134) ein, so ergibt sich schlieBlich

Dieses ist ein System von Integralgleichungen fur die (N 1) Funk – tionen fn(rj), (n = 0, 1, . . ., N). Wahlt man (N – f 1) Verteilungs­funktionen, so werden diese dadurch bestimmt, daB man die kine – matische Stromungsbedingung auf (N – f – 1) Aufpunktlinien langs Spannweite erfullt. Nachdem man aus diesem Gleichungssystem die Funktionen f0(rj), fx(rj) usw. ermittelt hat, findet man fur die Auftriebs – verteilung[14]

= fo(v) = y(n)

und fur die Momentenverteilung (Momentenbeiwert bezogen auf I/4- Punkt)

= – jfiiv) = /«(»?)•

Entsprechend dem Ansatz nach Gl. (7.135) und der Beziehung nach Gl. (7.41) erhalt man die resultierende Druckverteilung von Unter – und Oberseite (Lastverteilung) zu:

ACp = PuzlPo = f К(І)Ш – (7-147)

9^oo I’W) n=«o

Im folgenden Abschnitt soil fiir dieses Verfahren die numerische Durch – fuhrung kurz erlautert werden.

7.352 Yerfahren von Multhopp und Truckenbrodt. Fur die numerische Auswertung des vorstehend geschilderten Verfahrens sind von H. Mult­hopp [58] und E. Truckenbrodt [75] unabhangig voneinander Ver­fahren angegeben worden. Wahrend E. Reissner [64] nur den Recht – eckfliigel behandelt, sind die beiden anderen Verfahren fur allgemeine FlugelgrundriBformen anwendbar. In beiden Arbeiten werden die zwei Verteilungsfunktionen h0 und hx zugrunde gelegt. Wahrend H. Multhopp die beiden Aufpunktlinien in 34,5% und 90,5% der orthchen Fliigeltiefe legt, bevorzugt E. Truckenbrodt die Lage der Aufpunktlinien in der Hinterkante und in der Z/4-Linie des Flugels.

Die weitere Darlegung der Rechnung schlieBt sich eng an [75] an. Wie schon angegeben, werden nur zwei Verteilungsfunktionen iiber Tiefe gewahlt, so daB in dem Verfahren nur die beiden EinfluBfunktionen H0 und Hx vorkommen. Wir fiihren als neue Bezeichnungen ein

H0(S>r>ri’) = i(£>r>ri’)> (7.148a)

4 Hx&nri’)=j&riri’). (7.148b)

(7.149)

wobei /0 und fx nach den Gin. (7.145) und (7.146) durch у und p ersetzt worden sind. Diese Gleichung muB fur zwei Werte von erfiillt werden, und zwar fur

f v = f i — f i und f p = Іл — £ и •

Hierbei bedeutet £i(r}) die Z/4-Linie und £h(v) die Hinterkante.

In Gl. (7.149) sind nunmehr die beiden Funktionen y(rj) und /г (rj) gesucht. Unmittelbar gegeben sind aus der Fliigelgeometrie die Anstell – winkelverteilung <x(fp, rj) und mittelbar in Abhangigkeit von der GrundriBform des Fliigels die EinfluBfunktionen і und j, vgl. Abb. 7.35. Von der Anstellwinkelverteilung werden in Gl. (7.149) nur die Werte auf der Z/4-Linie und an der Hinterkante benotigt.

S. Wagner [80] hat das geschilderte Tragflachenverfahren auf mehr als nur die zwei Verteilungsfunktionen uber die Fliigeltiefe h0 und hx erweitert. Entsprechend muB auch die Anzahl der Aufpunktlinien erhoht werden. Bei der Wahl von fiinf Verteilungen h0 bis &4 werden in [80] die Aufpunktlinien in die Vorderkante, die Einviertelpunkt-, Ein – halbpunkt-, DreiviertelpunktUnie und in die Hinterkante gelegt.

Quadraturverfahreu. Die numerische Auflosung von Gl. (7.149) ge- schieht durch ein erweitertes Quadraturverfahren in Anlehnung an das Multhoppsche Verfahren fiir die Traglinientheorie, vgl. [75], [80]. Wegen des groBen Umfangs der Rechnungen empfiehlt sich der Einsatz von elektronischen Rechenmaschinen.

Auftriebsverteilung. Nachdem man aus der Auflosung des Gleichungs- systems die Werte y(rj) und ju(rj) erhalten hat, ist die Auftriebsver­teilung langs Spannweite durch Gl. (7.145) gegeben. Die Lastverteilung uber die Fliigeltiefe liefert sodann Gl. (7.147), vgl. auch die Gin. (6.113) und (6.114),

Acp(X, rj) = [h0(X)y(rj) +M1(X)f*(rl)], (7.151)

wobei die Funktionen h0 und durch Abb. 7.34 gegeben sind.

Gesamtauftrieb und Rollmoment. Den Gesamtauftriebsbeiwert erhalt man nach Gl. (7.72) oder (7.102) und den Rollmomentenbeiwert nach Gl. (7.74) oder (7.104).

Nickmoment. Das ortliche Nickmoment um den ortlichen Z/4-Punkt ist gegeben durch Gl. (7.146). Bezeichnen xt(y) die Z/4-Linie und xa(y) die Linie der ortlichen Luftkraftangriffspunkte nach Abb. 7.36, so ist das Moment eines Fliigelschnittes у um den Z/4-Punkt:

dM = —Axa dA.

Fuhrt man hier dM = c^^l2 dу und dA = ^q^ldy ein, dann erhalt

Abb. 7.36. Zur Berechnung des Nickmomentes; xa(y) Lage der ortlichen Luftkraft-Angriffspunkte,
xi(y) ortliche Z/4-Linie, N Neutralpunkt des ganzen Fltigels.

man den Abstand der ortlichen Luftkraft vom ortlichen Z/4-Punkt zu

Axa(y)

Unter Einfiihrung von у und fi nach den Gin. (7.145) und (7.146) wird:

ДХдІЇ) _ Xg(n) – *l(n) = _ VM

l(Tj) Щ) y(rj)

Um das Nickmoment des ganzen Fliigels zu erhalten, sind die Beitrage der einzelnen Schnitte dM = —xadA um die y-Achse zu summieren. Dieses ergibt

s s

M = — f xa(y) dA = – J [x,(y) + Axa{y)} dA.

Hieraus erhalt man fiir den Momentenbeiwert cM = Mjq^Fl^ mit Іи als Bezugsfliigeltiefe nach Gl. (5.7):

(7.153)

Die Lage des Neutralpunktes des ganzen Fliigels ist dann schheBUch nach Gl. (5.51):

(7.154)

Im folgenden Abschnitt soil iiber einige Beispiele berichtet werden.

7.353 Beispiele undVergleich mit Messungen. Die Beispielrechnungen dieses Abschnittes beziehen sich auf Rechteckfliigel, Trapezflugel, Pfeilfliigel und Dreieckfliigel.

In Abb. 7.31 wurden bereits fiir einen Trapezflugel, einen Pfeilfliigel und einen Dreieckfliigel die Zirkulationsverteilungen der unverwundenen Fliigel nach verschiedenen Berechnungsverfahren mitgeteilt. Die geo – metrischen Daten dieser drei Fliigel sind in Tab. 7.5 zusammengestellt. Aus Abb. 7.31 hatte sich ergeben, daB der Unterschied zwischen der erweiterten Traghnientheorie und der Tragflachentheorie recht gering ist. Das gleiche gilt nach Abb. 7.32 fiir lineare Verwindung. In Abb. 7.37 ist fiir die drei unverwundenen Fliigel die Auftriebsverteilung iiber Spannweite in der Form callcAlm dargestellt. Hierbei ergibt sich, daB in dieser Darstellung die Rechenergebnisse praktisch iibereinstimmen. Die Auftriebsanstiege dcAldoc der drei Fliigel sind fiir die verschiedenen Theorien in Tab. 7.5 angegeben.

Die einfache und auch die erweiterte Traghnientheorie gestatten nicht die Ermittlung der ortUchen Neutralpunktlage, da nach diesen Verfahren der orthche Neutralpunkt auf die tragende Linie (Z/4-Linie) gelegt wird. Erst die Tragflachentheorie ermoghcht die Berechnung der ortUchen Neutralpunktlage nach Gl. (7.152). In Abb. 7.38 sind fiir die – selben drei Fliigel wie in Abb. 7.37 die ortUchen Neutralpunktlagen iiber Spann weite angegeben, vgl. auch Tab. 7.5. Beim ungepfeilten Fliigel Uegen die ortUchen Neutralpunkte langs der ganzen Spannweite vor der //4-Linie. Bei den beiden gepfeilten Fliigeln dagegen hat man

in der Umgebung der Flugelmitte ortliche Neutralpnnktlagen hinter der I/4-Linie und in der Nahe der Fliigelenden ortliche Neutralpunkt- lagen vor der Z/4-Linie. Die nach den Gin. (7.153) und (7.154) ermittelten

Abb. 7.37. Auftriebsverteilung caljcAlm yon drei unverwundenenFliigeln nach Tab. 7.5 und Abb. 7.31;
c’AOQ = 2 л, lm = F/b = mittlere Fliigeltiefe.

Kurve 1: einfache Traglinientheorie nach Mitlthopp [56]; Kurve 2; erweiterfce Traglinientheorie
nach Weissinger [83]; Kurve 3: Tragfl&chentheorie nach Truckenbrodt [75]; Kurve 3a:
Tragflachentheorie nach Wagner [80], (funf Tiefenverteilungen).

a Tnapezflugel h Pfeilf/ugel c Dneieckf/iigel

Abb. 7.38. Ortliche Neutralpunktlagen von drei unverwundenenFliigeln nach Tab. 7.5; c’ = 2n;

A oo

Tragflftchentheorie: Kurve 1 nach [75], Kurve 2 nach [80]; Ntt geometrischer Neutralpunkt des ganzen
Fltigels, N aerodynamischer Neutralpunkt des ganzen Fliigels.

Gesamtneutralpunktlagen sind in Abb. 7.38 eingetragen. In dieser Ab-
bddung sind auch die geometrischen Neutralpunkte nach Gl. (5.11) mit
angegeben. Der Abstand des aerodynamischen vom geometrischen

5 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

Neutralpunkt ist besonders beim Dreieckfliigel sehr groB. Die Zahlen – werte dieser Verschiebung sind in Tab. 7.6 zusammengestellt.

In Abb. 7.39 ist fur einen Dreieckfliigel die theoretische Auftriebs – verteilung iiber Spannweite mit Messungen verglichen. Fur Anstell-

Abb. 7.39.

Auftriebsverteilung cal/2b a eines Deltafliigels vom SeitenverhiUtnis Л = 2,3; Profil NACA 65 A 005 nach Messungen von K. Kraemer [38]; Vergleich mit Tragflftchen – theorie [75].

winkel bis etwa oc = 5° ist die tlbereinstimmung zwischen Theorie und Experiment sehr gut. Fur die groBen Auftriebsbeiwerte weichen die gemessenen Auftriebsverteilungen stark von der Theorie ab, weil Ablosung der Stromung an den auBeren Teilen des Fliigels vorliegt. In Abb. 7.40 sind die ortlichen Neutralpunktlagen mit der Theorie verglichen. Auch fur diese ist befriedigende tlbereinstimmung vor – handen. Fiir den gleichen Flugel sind in Abb. 7.41 fur einige Schnitte langs Spannweite die gemessenen Druckverteilungen mit der Theorie nach Gl. (7.151) verglichen. Im groBen und ganzen ist die "Oberein – stimmung befriedigend. Die Abweichungen zwischen Theorie und Mes – sung riihren z. T. daher, daB die Theorie fur ein unendlich diinnes Profil gilt und somit den EinfluB der Profildicke nicht enthalt.

Weitere MeBergebnisse an Deltafliigeln nach [76] sind in Abb. 7.42 an – gegeben, und zwar fiir eine Serie von Fliigeln mit den Seitenverhaltnissen Л = 1 bis 4. Dargestellt sind der Auftriebsanstieg dcAld(x und die Neutralpunktverschiebung AxNjlfX in Abhangigkeit vom Seitenver – haltnis. Auch hier ist gute tlbereinstimmung zwischen Theorie und Messung zu verzeichnen.

Ergebnisse fur eine Reihe von Pfeilfliigeln mit konstanter Tiefe sind in Abb. 7.43 angegeben. Sowohl fur den Auftriebsanstieg als auch fur die

Abb. 7.42. Auftrieb und Neutralpunktlage von Deltafliigeln von verschiedenem Seitenverhfiltnis mit der Zuspitzung Л = 1/8; = 0,68 Z*. Vergleich von

Theorie [75] und Messung [76]. Profil NACA 0012.
a) Auftriebsanstieg; b) Neutralpunktverschiebung, Axy = Abstand des aero-
dynamischen Neutralpunktes N vom geometrischen Neutralpunkfc Nti.

Abb. 7.43. Auftrieb und Neutralpunktlage von Pfeilfliigeln konstanter Tiefe
von verschiedenem Seitenverhftltnis; Pfeilwinkel <p = 45°; Vergleich von Theorie
[75] und Messung [76]. Profil NACA 0012.
a) Auftriebsanstieg; b) Neutralpunktverschiebung.

Neutralpunktlage werden die Messungen durch die Theorie gut wieder – gegeben. Hierbei ist bemerkenswert, daB der Auftriebsanstieg des ge – pfeilten Fliigels besonders bei groBen Seitenverhaltnissen betrachtlich kleiner ist als derjenige des ungepfeilten Fliigels, cp = 0. Diese Ab- minderung des Auftriebsanstieges durch die Pfeilung laBt sich besonders einfach libersehen, wenn man den Pfeilflugel von unendlichem Seiten – verhaltnis betrachtet. Abb. 7.44 zeigt einen Ausschnitt der Spannweiten-

Abb. 7.44. Erlfiuterungsskizze zum Auftrieb des gepfeilten Fliigels unendlieher Spannweite.

erstreckung b aus einem ungepfeilten und einem gepfeilten unendlich langen Fliigel. Fiir den ungepfeilten Fliigel hat das Flachenstiick den Auftrieb

А = ±и*вЫс’Лаа«.

Der gepfeilte Fliigel mit dem Pfeilwinkel (p sei so angestellt, daB in der Ebene, welche die Anstromungsrichtung enthalt, der Anstellwinkel oc gleich demjenigen des ungepfeilten Fliigels ist. Dann ist in der Ebene senkrecht zur Yorderkante der Anstellwinkel л* = л/cos 99. Fiir den Auf­trieb des gepfeilten Fliigels ist nur die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Yorderkante Ucos<p maBgebhch. Somit hat das schraf- fierte Flachenstiick des gepfeilten Fliigels den Auftrieb

A* = | (Ux соs<p)4lc’Aoo-^ = I Ulblc’Aoo « cosy.

Mithinist der Auftriebsbeiwert des gepfeilten Fliigels cA = A*lbl(g/2)

— c’aoo ^cos99, wahrend fiir den ungepfeilten Fliigel {ca)v=q = c’Aoo<x
gilt. Fur die beiden Auftriebsanstiege gilt somit der Zusammenhang

(7.155)

Diese Beziehung ist von W. Jacobs [30] experimentell bestatigt worden. Sie gilt in guter Naherung auch fur die Druckverteilung langs der Fliigeltiefe.

Um den EinfluB des Pfeilwinkels auf den Auftriebsanstieg zu zeigen, ist in Abb. 7.45 fur Pfeilfliigel konstanter Tiefe der Auftriebsanstieg

dcAjdoc in Abhangigkeit vom Pfeilwinkel und vom Seitenverhaltnis nach J. De Young und C. W. Harper [90] aufgetragen. Fur groBe Seiten – verhaltnisse A ist der Abfall des Auftriebsanstieges mit wachsendem Pfeilwinkel erheblich starker als bei kleinem Seitenverhaltnis. Fur A = oo ist das cos^-Gesetz nach Gl. (7.155) zum Vergleich mit einge – zeichnet.

Der Pfeilwinkel hat auch einen starken EinfluB auf die Verteilung der Zirkulation liber die Spannweite. Dieses erkennt man aus Abb. 7.46, in welcher fur einen Rechteckfltigel (<p = 0) und einen Pfeilfliigel (cp = 45°) die Zirkulationsverteilung langs Spannweite dargestellt ist. Fur den Pfeilfliigel hat die Auftriebsverteilung ihr Maximum im AuBenteil des Fliigels. Infolge der Pfeilung verschiebt sich also die Stelle des maxi – malen ortlichen Auftriebsbeiwertes von der Mitte nach auBen. Damit wird das Ablosungsverhalten des gepfeilten Fliigels bei groBen Anstell-
winkeln gegenxiber dem ungepfeilten Fliigel verschlechtert. In dieser Be- ziehung hat also die Riickwartspfeilung einen ahnlich ungiinstigen Ein-

Abb. 7.46. Zirkulationsverteilung und Verteilung des drtlichen Auftriebsbeiwertes l&ngs Spann-
weite ftir zwei Fliigel konstanter Tiefe vom Seitenverhftltnis Л = 5 und der Pfeilung <p = 0 und
<P = 45°; c’AOQ = 2л; л = 1; Tragfiachentheorie nach [75].

Abb. 7.47. Auftriebsanstieg von Rechteckfltigeln von verschiedenem Seitenverh&ltnis Л; Vergleich
von Theorie und Messung. Theorie nach N*. Scholz [70] (Mehrpunktmethode). Messungen nach [69],

[89] und КАСА Report 431.

fluB wie eine starke Zuspitzung bei einem ungepfeilten Fliigel, vgl. Abb. 7.25.

Es sollen jetzt noch fiir ungepfeiUe Fliigel (Rechteckfliigel) Mes­sungen mit der Theorie verglichen werden. In Abb. 7.47 ist der Auf-

triebsanstieg in Abhangigkeit yom Seitenverhaltnis dargestellt. Die theoretische Kurve ist nach der Mehrpunktmethode von N. Scholz [70] berechnet worden; sie stimmt uberein mit der in Abb. 7.30 angegebenen Kurve fur die erweiterte Traglinientheorie. Die aus verschiedenen Quellen ([69], [89]) stammenden MeBpunkte liegen gut auf der theoreti – schen Kurve. In Abb. 7.48 ist nach [69] und [70] fur die gleiche Serie

von Rechteckfltigeln die Neutralpunktlage iiber dem Seitenverhaltnis aufgetragen. Mit abnehmendem Seitenverhaltnis A riickt der Neutral – punkt betrachtlich vor die i/4-Linie. Die mit eingetragenen Messungen an Rechteckplatten stimmen mit der Theorie gut uberein.

Abweichend von dem hier dargestellten Tragflachenverfahren hat

D. Kuchemann [41], [42], [43] eine Pfeilfliigeltheorie entwickelt, die nicht mit Bimbaumschen Normalverteilungen iiber Fliigeltiefe arbeitet. Diese z. T. empirische Methode berucksichtigt auch die Fliigeldicke und die Reibungsschicht sowie gewisse nichtlineare Einfliisse und stimmt daher mit MeBergebnissen sehr gut uberein.

7.341 Verfahren von Weissinger. Das in Кар. 7.23 in seinen Grund – ziigen erlauterte Verfahren der erweiterten Traglinientheorie ist von J. Weissinger [83] zu einem praktisch brauehbaren Rechenverfahren ausgearbeitet worden. Die Grundgleichung fur die Bestimmung der Zirkulationsverteilung nach diesem Verfahren wurde in Gl. (7.46) bereitgestellt. Wir fiihren wie in Gl. (7.65) wieder dimensionslose GroBen ein durch

der Aufpunkte. Wie in Кар. 7.23 angegeben, legt man entsprechend dem Theorem von Pistolesi (vgl. Кар. 6.351) die Aufpunkte in Drei – viertel der ortlichen Fliigeltiefe; somit ist xp = xx + Z/2. Diese Wahl der Lage des Aufpunktes (Dreiviertelpunkt) ergibt sich aus der zwei – dimensionalen Skelett-Theorie, fur die c’aoo = 2ж ist. Will man einen

I

anderen Wert von c’aoo einfiihren, so kann dieses auch durch eine Ande – rung der Lage der Aufpunktlinie geschehen, derart, dab

xP(y) = x,(y) Л-(7-112)

gesetzt wird, vgl. [74]. Hiernach ist:

т = ш-ш = -(7-113)

Fiir die Funktion $(fp, v’) na°h GU. (7.111) gilt bei r — rj:

3(Sp, r>*l) = 2- (7.114)

Fiihrt man nach J. Weissinger [83] die Funktion:

K(V, V) = K(ip, n, V’) = 2- 8(Єг*ї) (7.115)

(V — r) )

ein, dann wird aus Gl. (7.110):

1

*fo) = 2auto) + K(V, r,’) y(V) dri’. (7.116)

-1

Hierbei wurde oci(rj) nach Gl. (7.67a) eingesetzt.[11]

Die EinfluBfunktion К(rj, rf) nach Gl. (7.115) wurde so gewahlt, daB sie bei r — rj regular ist, wahrend der Integrand in Gl. (7.110) dort singular ist. Durch einfache Rechnung laBt sich zeigen, daB

К (??, Tj)

ist.

Wir schreiben jetzt die Integralgleichung der erweiterten Traglinien­theorie in Analogie zur Gl. (7.69) der einfachen Traglinientheorie in der Form:

«Ы = 2 [«<(»?) +*(»?)] (7.118)

mit

і

T(V) = ^jK(r],r]’)y(r]’)dr]’. (7.119)

-1

Die EinfluBfunktion K(rj, rj’) hangt ausschliefilich von der Geometrie des Fliigelgrundrisses ab. Zur bequemeren Ermittlung von K(rj, rj’) hat E. Truckenbrodt [74] ein graphisches Verfahren angegeben.

Quadraturverfahren. Fiir die numerische Auswertung von Gl. (7.118) hat J. Weissinger [83] in analoger Weise wie bei der einfachen Trag-

Unientheorie (Verfahren von Multhopp) ein verfeinertes Quadratur­verfahren angegeben. Auf die Wiedergabe dieses Verfahrens wird hier verzichtet und dafiir auf [83] verwiesen.

Beispiele. Auch fiir die erweiterte Traglinientheorie mogen einige Beispiele mitgeteilt werden. Umfangreiche Beispielrechnungen nach dem Weissingerschen Verfahren wurden von J. de Young und C. W. Harper [90] durchgefiihrt.

In Abb. 7.28 ist fur den unverwundenen Bechteckfliigel vom Seiten – verhaltnis Л — 6 die Zirkulationsverteilung йЬег Spannweite fur ос = 1 angegeben. Zum Vergleich ist auch die Kurve fur die einfache Trag – linientheorie mit eingetragen. Man sieht aus dieser Abbildung, dab bei

Abb. 7.29. Auftriebsverteilung cJcA des unverwundenen Rechteckflugels vom SeitenverhSltnis Л — 6; с’ — 2л. A. oo 1 Einfache Traglinientheorie; 2 erweiterte Traglinientheorie.

Abb. 7.30. Auftriebsanstieg dcAldot von Rechteckfliigeln in AbMngigkeit vom SeitenverMltnis Л; с’ = 2 л. A 00 1 Einfache Traglinientheorie; 2 erweiterte Traglinientheorie.

gleichem Anstellwinkel die erweiterte Traglinientheorie einen betracht – lich kleineren Auftrieb liefert als die einfache Traglinientheorie. Weiter – hin zeigt Abb. 7.29 die Auftriebsverteilung cajcA des gleichen Fliigels. Die erweiterte Traglinientheorie ergibt eine etwas weniger vollige Ver – teilung als die einfache Traglinientheorie. Diese Feststellung ist typisch

fur die erweiterte Traglinientheorie. In Abb. 7.30 sind die Auftriebs – anstiege von Rechteckfliigeln nach der erweiterten Traglinientheorie und der einfachen Traglinientheorie miteinander verglichen. Wahrend bei groBen Werten des Seitenverhaltnisses Л die Unterschiede zwischen beiden Kurven ziemlich gering sind, weichen sie bei kleinen Werten von A erheblich voneinander ab. Die Grenzwerte von dcAldoc fur Л->0 sind nach der einfachen Traglinientheorie

—^ — nA (Л-*0) (7.120)

doc

und nach der erweiterten Traglinientheorie[12]

= (Л-*0). (7.121)

doc 2

Diese beiden Grenzwerte sind in Abb. 7.30 mit eingetragen.

1,0 0,8 | 0,6

0,0

0 0,2 0,0 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,0 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,0 0,6 0,8 1,0

v—- v—► v—►

Abb. 7.31. Zirkulationsverteilung von drei unverwundenen Flugeln nach Tab. 7.5; <x = 1; c’A ^ = 2 я.

a) Trapezfliigel; <p — 0; Л = 2,75; Я = 0,5;

b) Pfeilfltigel; <p = 50°; Л == 2,75; Я = 0,5;

c) Dreieckflugel; <p — 52,4°; Л = 2,31; Я = 0.

Kurve 1: einfache Traglinientheorie nach Multhopp [56]; Kurve 2: erweiterte Traglinientheorie

nach Weissinger [83]; Kurve 3: Tragfl&chentheorie nach Truckenbrodt [75].

In Abb. 7.31 und Abb. 7.32 sind Ergebnisse fur einen Trapezfliigel, einen Pfeilflilgel und einen Dreieckflugel mit Seitenverhaltnissen zwischen Л — 2 und 3 mitgeteilt. Die geometrischen Daten dieser drei Flugel sind in Tab. 7.5 zusammengestellt. Abb. 7.31 zeigt die Zirkulations – verteilungen fur die unverwundenen Flugel mit oc = 1. Beim Trapez – fliigel ist die Kurve nach der einfachen Traglinientheorie mit angegeben. Sie liegt auch hier oberhalb der Kurve nach der erweiterten Traglinien-

Tabelle 7.5. Geometrische Daten und aerodynamische Beiwerte eines Trapezflilgels, eines Pfeilfliigels und eines Dreieckfliigels; cAOO = 2n. (1) einfache Traglinientheorie nach Multhopp [56]. (2) Erweiterte Traglinientheorie nach Weissinger [83]. (3) Tragflachentheorie nach Truckenbrodt [75] und Wagner [80], (fiinf Tiefenverteilungen, Werte in Klammern). Die Neutralpunktverschiebung Axn ist

vom geometrischen Neutralpunkt aus gemessen.

theorie. Bei alien drei Flugeln ist auch das Ergebnis der Tragflachen – theorie mit angegeben, fiber die in Кар. 7.35 berichtet wird. Die Gber – einstimmung zwischen der erweiterten Traglinientheorie nnd der Trag – flachentheorie ist gut. Auf die gute Gbereinstimmung zwischen der erweiterten Traglinientheorie (Dreiviertelpunktmethode) und der Trag – flachentheorie hat erstmahg J. Weissinger [83] durch Vergleich seines F-Verfahrens mit seinem L-Verfahren hingewiesen.

Abb. 7.32 zeigt die entsprechenden Zirkulationsverteilungen fur die antimetrische lineare Anstellwinkelverteilung oc = rj. In Tab. 7.5 sind

Abb. 7.32. Zirkulationsverteilung von drei Fltigeln nach Tab. 7.5 mit antimetrischer linearer Ver – windung (<x = r?); c’aoq = 2 я. a) Trapezflugel; q> = 0; Л = 2,75; A = 0,5; b) Pfeilfliigel; <p = 50°; Л — 2,75; A = 0,5; c) Dreieckfliigel; g> = 52,4°; Л = 2,31; A = 0. Kurve 1: einfache Traglinientheorie nach Multhopp [56]; Kurve 2: erweiterte Traglinientheorie nach Weissinger [83]; Kurve 3: Tragfiachentheorie nach Truckenbrodt [75].

auch die Werte des Auftriebsanstieges und des Rollmomentes (Roll- dampfung) dieser drei Fliigel angegeben.

7.342 Fliigel mit elliptischem GrundriB. Nachdem in Кар. 7.333 der Fliigel mit elliptischem GrundriB nach der einfachen Traglinientheorie behandelt wurde, moge jetzt diese Fliigelform auch noch nach der erweiterten Traglinientheorie berechnet werden. Von der einfachen Traglinientheorie iibernehmen wir das Ergebnis, daB der unverwundene Ellipsenflugel eine langs Spannweite elliptische Zirkulationsverteilung besitzt. Die folgende Betrachtung lehrt dann, um wieviel der Gesamt – auftrieb sich andert, wenn man von der einfachen zur erweiterten Trag­linientheorie iibergeht. Die in Abb. 7.30 fur Rechteckflugel mitgeteilten Ergebnisse zeigen bereits, daB beim tJbergang von der einfachen zur erweiterten Traglinientheorie der Gesamtauftrieb kleiner wird.

Da im vorhegenden Fall des Ellipsenflugels die Form der Zirkulations­verteilung langs Spannweite entsprechend der einfachen Traglinien­theorie vorgegeben wird, kann man die kinematische Stromungs –

bedingung nur noch in einem Punkt der Dreiviertelpunktlinie erfiillen. Hierfur wahlen wir nach H. B. Helmbold [23] den Dreiviertelpunkt des Fliigelmittelschnittes. Die kinematische Stromungsbedingung lautet somit nach Gl. (7.37):

* + 0) = 0. (7.122)

Hierbei ist |p = xPls der dimensionslose Abstand des Aufpunktes von der Z/4-Linie.

Wie hier nicht naher ausgefiihrt werden soil, ergibt sich fur den induzierten Abwindwinkel im Fliigelmittelschnitt bei elliptischer Zir- kulationsverteilung nach H. Glauert [18]:

Hierin bedeutet E das vollstandige elhptische Integral 2. Gattung mit dem Modul 1 /у|| + 1 und = cAjnA den bereits bekannten in­duzierten Anstellwinkel. Zur bequemeren Berechnung kann fur Gl. (7.123) ein Naherungsausdruck angegeben werden, der das elhptische Integral nicht mehr enthalt, vgl. [23]. Man findet dann unter Beriicksichtigung von Gl. (7.122):

Die Lage des Dreiviertelpunktes erhalt man nach Gl. (7.113) mit

4 b I л І і und к = лА/с’Лс

CA oo 2

zk

Wird dies in Gl. (7.124) eingesetzt, dann findet man fur den Auftriebs – anstieg:

dcA _ лА d(* Ік[13] + 1 + 1

(7.125)

In Abb. 7.33 ist der Auftriebsanstieg nach dieser Formel fur cA(X) = 2n, d. h. к = Л/2, iiber dem Seitenverhaltnis dargestellt. Zum Vergleich ist die Kurve nach der einfachen TragUnientheorie, Gl. (7.89a), mit eingetragen. Die Unterschiede zwischen den beiden Theorien sind ahn – Uch wie beim Rechteckflugel nach Abb. 7.30.

Die Gl. (7.125) fur die erweiterte Traglinientheorie entsteht aus Gl. (7.89a) fur die einfache Traglinientheorie, indem man beim un – verwundenen Fliigel formal к durch |/&2 – f – 1 ersetzt. In analoger Weise kann man auch bei den Fourier-Koeffizienten fur die Zirku-
lationsverteilung des verwundenen Flugels eine Korrektur einfuhren, die der erweiterten Traglinientheorie Rechnung tragt. Dieses kommt darauf hinaus, daB man die Gl. (7.86) in folgender Weise abandert:

an = ■……. * —- —– — f <x(&) sin & sin nd d&. (7.126)

Ук2 + n2 + n 71 J

Die Brauchbarkeit dieser Formel wurde durch zahlreiche Beispiel- rechnungen bestatigt.

Abb. 7.33. Auftriebsanstieg von ellip-
tischen Flugeln in Abhangigkeit vom
Seitenverhaltnis; cj ^ = 2 n.

1 Nach der einfachen Traglinien­

theorie, Gl. (7.89a);

2 nach der erweiterten Traglinien-

theorie, Gl. (7.125).

— о – Exakte Losungen nach Kinner
[37] und Krienes [40].

Fiir den Rollmomentenbeiwert cL erhalt man eine geschlossene Formel, wenn man in Gl. (7.82) fiir a2 den Wert nach Gl. (7.126) ein – setzt und dabei rj — cos # nach Gl. (7.78) beriicksichtigt. Es ergibt sich:

+1

CL = – -————— — [ <x(n) rifjT^rfdr). (7.127)

+4 + 2 л J

Hiernach laBt sich der Rollmomentenbeiwert in recht einfacher Weise ermitteln.

7.343 Ubergang von der erweiterten zur einfachen Traglinientheorie.

Es soil jetzt noch gezeigt werden, daB fiir groBe Seitenverhaltnisse die erweiterte Traglinientheorie in die einfache Traglinientheorie iibergefiihrt werden kann. Um diesen Grenziibergang auszufiihren, muB man in der kinematisghen Stromungs – bedingung der erweiterten Traglinientheorie die Linie der Aufpunkte £p (rj) nahe an die tragende Linie ^(77) riicken lassen, >1/ oder <5 —> 0, Abb. 7.27. Die kine – matische Stromungsbedingung lautet dann

ocw(S -> 0, rj) + oc(V) = 0 (A = groB). (7.128)

Hierin ist d(r}) durch Gl. (7.113) gegeben.

Fiir eine senkrecht angestromte tragende Linie ist fur einen sehr nahe gelegenen Aufpunkt £p = xp/s = d die induzierte Abwartsgeschwindigkeit nach Biot-Savart :

-w(zp, y) = Wi(y) +

2 nXp

Dabei bedeutet der erste Term der rechten Seite den Anted der freien Wirbel und der zweite Term denjenigen des gebundenen Wirbels. In dimensionsloser Form ergibt sich hieraus

-aa(S -> 0,,) – «M + – pp. (7.129)

71 d(rj)

Da nach den Gin. (7.113) und (7.65c) 7id(rj) = 1 /f(rj) ist, wird unterBeriicksichtigung von Gl. (7.128):

<x(rj) = + f(n) y(n)- (7.130)

Damit ist gezeigt, daB die erweiterte Traglinientheorie im Falle sehr groBer Seiten- verhaltnisse in die einfache Traglinientheorie iibergeht.

Dieser Grenziibergang laBt sich nach E. Truckenbrodt [77] auch auf den schiebenden Fliigel iibertragen und fuhrt auf die schon friiher von J. Weissinger [82] angegebene Theorie des schiebenden Flugels. Der Grenziibergang von der er – weiterten zur einfachen Traglinientheorie auch fiir Pfeilfliigel wird ebenfalls in [77] angegeben. Ausgehend von [77] wurde von B. Laschka und F. Wegener [49] ein Quadraturverfahren zur Berechnung der Auftriebsverteilung an gepfeilten Trag – fliigeln mit groBem Seitenverhaltnis ausgearbeitet. Fiir gepfeilte Fliigel entwickelte D. Kuchemann [42] ein Verfahren, das man ebenfalls als einfaches Traglinien – verfahren bezeichnen kann.

7.331 Grundgleichung. Die Grundgleichung fur die Prandtlsche Traglinientheorie wurde in Gl. (7.10) bereitgestellt:

* (У) = «Є (У) + <*І (у), (7.64)

wobei jetzt ос (у) nach Abb. 7.21 der Anstellwinkel gegeniiber der Null – auftriebsrichtung ist.

Fiihrt man die folgenden dimensionslosen Werte ein:1

V = %■ = *-. (7.65.)

0 s

= (7.65b)

9h

fW = 7h> <7-65c)

С’аоо*’

so wird nach Gl. (7.11) fur den effek – tiven Anstellwinkel

«6(»?)=/(»?) Y(n) (7-66)

und nach Gl. (7.12) fur den induzier – ten Anstellwinkel2

1

1 Г dy dr]’

2 л J dr]’ r] — rj’

-l

Es moge f(r]) als GrundrififunJction bezeichnet werden.

Setzt man die beiden letzten Gleichungen in Gl. (7.64) ein, so erhalt man die Prandtlsche Integralgleichung fur die dimensionslose Zir-

1 Gegeniiber Кар. 7.1 wird die Anstromgesehwindigkeit statt mit V jetzt mit Uoo bezeichnet.

2 Die Formel fiir <%,■ [r]) kann nach partieller Integration auch wie folgt geschrie – ben werden:

1 rto) – l

fi J (у — Ч Г

. – l

3 Schlichting/Truckenbrodt, Aerodynamik, Bd. II, 2. Aufl.

kulationsverteilung y(rj) in der Form:

= /(ч)г(ч) + 27/I/ (7-68)

-1

In abgekiirzter Form kann man die Integralgleichung der einfachen Traglinientheorie folgendermaBen schreiben:

= <*.(>?) + /МуМ – (7-69)

Die dimensionslose Zirkulationsverteilung 7(77) hangt mit der Auf – triebsverteilung dAjdy und dem ortlichen Auftriebsbeiwert

ca(y) = dAlqx l(y) dy

unter Beachtung von Gl. (7.5) zusammen durch:

Eine wichtige Eigenschaft von Gl. (7.68) besteht darin, daB fur ver- schiedene vorgegebene Anstellwinkelverteilungen oc^rj) und oc2(rj) die zugehorigen Zirkulationsverteilungen y1{rj) und y2(v) linear iiber – lagert werden konnen:

+ <*2(*7)>

y(v) =7iWl + УіМ-

Den Beiwert fur den Gesamtauftrieb erhalt man nach Gl. (7.59) zu:

1

CA = ^=Afy(y)dy. (7.72)

-1

Der Auftriebsanstieg wird hieraus erhalten, indem man die Zirkulations­verteilung des unverwundenen Fliigels yu fur <x = 1 berechnet. Somit ist

1

^ = yu(y)dr). (7.72a)

-1

Unter dem Nullauftriebswinkel oT0 eines symmetrisch verwundenen Fliigels verstehen wir nach Кар. 5.32 denjenigen Anstellwinkel, bei dem der Gesamtauftrieb Null ist. Man kann ihn in folgender Weise ermitteln: Zu der vorgegebenen Anstellwinkelverteilung ocv(r]), die gegen eine fliigelfeste Bezugsebene gemessen wird, errechnet man eine

Zirkulationsverteilung yv(rj) und nach Gl. (7.72) einen Gesamtauftriebs – beiwert cAv. Aus diesem erhalt man dann

^0 =-^cAv. (7.72b)

dcA

Es ist zweckmaBig, die Zirkulationsverteilung des verwundenen Fliigels bei einem beliebigen Anstellwinkel darzustellen durch lineare Super­position der Verteilung des unverwundenen Fliigels yu und einer Null – verteilung y0 des verwundenen Fliigels, fiir welche

і

cao = Л J y0(v)dr] = 0,

d. h. der Gesamtauftrieb gleich Null ist. Somit gilt fiir die Zirkulations­verteilung des verwundenen Fliigels bei beliebigem Anstellwinkel <x:

У (у) = <*Уи(ч) + Уо(у)- (7-73)

Die Nullverteilung y0(rj) beschafft man sich folgendermaBen:

Уо(у) = Vv(y) + *~оУи(г})-

Ahnlich wie fiir den Auftriebsbeiwert findet man fiir den Beiwert des Rollmomentes um die x-Achse (Vorzeichen nach Abb. 7.59):

і

Cl = = ~Л j l7-74)

-1

/ v(v)*)dr)

Haufig interessiert auch noch der seitliche Abstand des Auftriebsschwer – punktes einer Flilgelhalfte. Dieser wird:

Der Beiwert des induzierten Widerstandes ergibt sich nach Gl. (7.6) zu:

і

Си, і = yL = л /7 (r/) Лі (T>) dr] ■ (7-76)

-і

7.332 Losung durch Fourier-Polynome. Eine bequeme Methode, die Gl. (7.68) fiir die Zirkulationsverteilung zu losen, besteht darin, fiir die

Zirkulationsverteilung ein Fourier-Polynom

M

y(0) = 2 2>nsinn# (7.77)

n= 1

anzusetzen, wobei

cos & = « = (0 ^ & £ n) (7.78)

die dimensionslose Spannweitenkoordinate ist. Dieser Ansatz wurde von E. Trefftz [72] und H. Glauert [18] erstmalig eingefiihrt. Das erste Glied in Gl. (7.77) stellt die elliptische Zirkulationsverteilung у = 2a1sin# = 2ax Уі — rj2 dar, die bereits in Кар. 7.14 behandelt wurde. Setzt man die Gin. (7.77) und (7.78) in (7.67) ein, so erhalt man fur den induzierten Anstellwinkel

/ q X”[6] sill 71’O’ / —

«І (#) = 2 na« ~—г • 7- ‘9

n=l sin#

Dabei ist nach [18], vgl. Gl. (6.73),

71

1 Г cos nO’ d$’ — s*n n^

71 J COS O’ — COS O’ sin O’

0

Fuhrt man die Gin. (7.77) und (7.79) in (7.69) ein, so ergibt sich die folgende Bestimmungsgleichung fur die Fourierschen Koeffizienten an:

M

oc(0) sin 0 = ^ an[2/(#) sin# + n sin nO. (7.80)

71= 1

Hierbei sind die Verteilungen des Anstellwinkels <x(0) und des Fliigel – grundrisses f(0) gegeben. Die Koeffizienten av a2, . . ., aM werden dadurch bestimmt, daB man Gl. (7.80) in M Aufpunkten 0V #2, . . ., 0M langs der Spannweite erfiillt. Hierbei ergibt sich ein lineares Gleichungs – system fur ax bis ам. I. Lotz [51] hat die Durchfuhrung dieser Rech – nung dadurch noch vereinfacht, daB fur die Funktionen oc(0) sin# und f(0) sin# ebenfalls Fourier-Polynome eingefiihrt werden. Nachdem die Fourier-Koeffizienten an bestimmt worden sind, erhalt man aus Gl. (7.77) die Zirkulationsverteilung und aus Gl. (7.70) die Verteilung der ortlichen Auftriebsbeiwerte.

Den Beiwert fur den Gesamtauftrieb findet man nach Gl. (7.72) durch Einfiihrung der Gin. (7.77) und (7.78) zu

Fur den Beiwert des Rollmomentes wird entspreehend aus Gl. (7.74):

cL=-jAa2. (7.82)

Der Beiwert des induzierten Widerstandes ergibt sich aus Gl. (7.76) nach Ausfiihrung der Integration zu

M

cWi = % A 21 паї,* (7.83)

n—1

Fiihrt man hier cA nach Gl. (7.81) ein, dann kann man auch schreiben:

r2 M

cWi = ^-+nAZnal (7.83a)

nA n=2

Hierin stellt das erste Glied den Wert fiir die elliptische Zirkulations – verteilung dar, vgl. Gl. (7.24). Da der zweite Term in Gl. (7.83a) immer positiv ist, folgt sofort der wichtige Satz, dafi der induzierte Wider – standsbeiwert fur die elliptische Zirkulationsverteilung ein Minimum ist. Dieses gilt fur festgehaltenes Seitenverhaltnis Л und festgehaltenen Auftriebsbeiwert cA. Diesen Satz hat zuerst M. Munk [59] bewiesen.

7.333 Tragfliigel mit elliptischem Grundrifi. In Кар. 7.14 wurde der elliptische Tragfliigel bereits behandelt. Dort wurde gezeigt, daB ein unverwundener elliptischer Fliigel elliptische Zirkulationsverteilung iiber Spannweite besitzt. Der elliptische Fliigel mit Verwindung laBt sich nach den vorstehenden Formeln sehr einfach berechnen, wie u. a. H. Schmidt

[68] gezeigt hat.

Fiir den elliptischen Fliigel ist l = l( |/1 — ry2 = sin?? und A = und somit nach Gl. (7.65 c):

2sin #/(#) = ^ = fc.

OO

Fiir c’Aoq = 2 л ist die Konstante к = Л/2.

Setzt man Gl. (7.84) in (7.80) ein, dann wird

M

0C(&) sin?? = 21 (^ + n) «rjSinn??.

n=1

Hieraus lassen sich die Koeffizienten an durch eine Fourier-Analyse sofort berechnen zu 1

<*(#) = rm

Es moge diese Losung fur einige besonders einfache Anstellwinkel – verteilungen noch diskutiert werden. Setzt man

dann ergibt sich mit an = 0 fur n =f= m und mit am = rm/(fc + m) fur n = m die zugehorige Zirkulationsverteilung zu

Fiir einen Fliigel mit dem Seitenverhaltnis Л = 6, d. i. к == 3, sind die Ergebnisse fiir m = 1, 2 und 3 in Abb. 7.22 dargestellt. Esbedeutet

ш = 1 die konstante Anstellwinkelverteilung (unverwundener Fliigel), m = 2 die lineare Anstellwinkelverteilung, wie sie z. B. bei einer Roll – bewegung auftritt, und m = 3 die parabolische Anstellwinkelverteilung (symmetrische Verwindung, cA = 0).

Die Zirkulationsverteilung so wie die Beiwerte fiir den Auftrieb, das Rollmoment und den induzierten Widerstand des elliptischen ver-
wundenen Fliigels erhalt man nach den Gin. (7.77) und (7.81) bis (7.83), wenn man die entsprechenden Koeffizienten an nach Gl. (7.86) einsetzt. Dabei ergibt sich fiir den Auftriebsbeiwert

n

cA = -^4- — f <x(#) sin2# d&. (7.89)

* + 1 я J

0

Fiir den unverwundenen Fliigel, oc — const, folgt hieraus fiir den Auf – triebsanstieg in tJbereinstimmung mit Gl. (7.29):

d _____ TlA. _____ Сд op

doc к – f – 1 ^ Cji oo

+ ~лЛ

Aus den Gin. (7.89) und (7.89a) ergibt sich fiir den Nullauftriebswinkel:

+i

(7.89b)

-і

Fiir iiberschlagige Rechnungen lassen sich die fiir den Ellipsenfliigel angegebenen Beziehungen auch fiir andere Fliigelformen verwenden.

7.334 Quadraturverfahren yon Multhopp. Das einfachste und am meisten angewendete Verfahren zur Berechnung der Auftriebsverteilung von ungepfeilten Tragfliigeln nach der einfachen Traglinientheorie stammt von H. Multhopp [56].

Wir iibernehmen den Fourier-Ansatz nach Gl. (7.77) fiir die Zirku- lationsverteilung in der Form

M

У (#) = 2 £ % sin/*#. (7.90)

/M=l

Die Koeffizienten dp erhalt man durch eine Fourier-Analyse zu 1 r M.

y(#) sinju&d& = —- 2J Уп sm(7.91)

71 J и + n=1

о

wobei das Integral durch eine Summenformel ausgewertet wird.1 Hierbei ist

К = und Vn = COS . (7.92)

Ferner bedeuten yn = y(&n) = y(Vn) die Zirkulationswerte an den Stellen rjn.

Fiihrt man den Summenausdruck fiir a^ aus Gl. (7.91) in Gl. (7.79) ein, dann erhalt man fiir den induzierten Anstellwinkel

Da die innere Summe nur trigonometrische Funktionen enthalt, kann sie universell tabuliert werden. Dabei werden nach H. Multhopp fiir # aquidistante Werte

V7Z

M+ 1

gewahlt. Dieses bedeutet, daB der induzierte Abwindwinkel an den diskreten Stellen rj9 = cos#v berechnet wird. Bezeichnet man oci(rjv) mit <xiv, so laBt sich Gl. (7.93) in der einfachen Form schreiben :[7]

M

b„yv — 27 brny„ (v = 1, 2M).

n— 1

, _ * и sin[8]/ Uyv

sin jbl&v sin jbl&n M +1 sin #„ 1 — (— 1)^ sin #w 2(M + 1) (eos#„ — cos#n)2

Hierin ist:

Fiihrt man den Ausdruck Gl. (7.95) fiir den induzierten Anstellwinkel in die Bestimmungsgleichung fiir die Zirkulationsverteilung Gl. (7.69) ein, so erhalt man das folgende lineare Gleichungssystem fiir die Werte yv:

M

by у„ = <%, + 2′ Ъ,

n~ 1

Dabei ist die Abkiirzung

о h

by = bVy + fv=b„ + – p – (7.98)

Ceoo^v

eingefiihrt worden. Gl. (7.97) ist ein System von M linearen Gleichungen fur die M Zirkulationswerte y9 = y(r}v) mit v — 1, 2, . . ., M. In den Gin. (7.97) und (7.98) bedeuten ferner

ocv = oc(r]v) und lf = l(Vv).

Die fur M = 7 und M = 15 nach Gl. (7.96) universell berechneten Koeffizienten sind in Tab. 7.1 und 7.2 zusammengestellt. Die Werte bvn fiir v — n = 2, 4, . . . sind gleich Null.

Tabelle 7.1. Universelle Koeffizienten bvv und bvn fur die Berechnung der Zirlcu – lationsverteilung nach Mtjlthopp [56], fur M = 7, nach 01. (7.96). V і (7) 3 (5) 2 (6) 4 Vv 0,9239 0,3827 0,7071 0,0000 Кг 5,2262 2,1648 2,8284 2,0000 n n 2(6) 1,8810 0,8398 1(7) 1,0180 0,0560 4(4) 0,1464 0,8536 3(5) 1,0972 0,7887 Vvn 6(2) 0,0332 0,0744 5(3) 0,0973 0,7887 — — — 7(1) 0,0180 0,0560 І. 2 1,9142 0,9142 1 1,0360 0,1121 t>vn 4 0,1464 0,8536 3 1,1944 1,5774 h " 2 1,8477 0,7654 1 1,0000 _ ovn — — — 3 1,0000 —

Fur die numerische Losung des Gleichungssystems ist es bedeutungs – voll, daB das System der M Gleichungen in zwei Systeme von (M + l)/2 bzw. (M — l)f2 Gleichungen aufgespalten werden kann, die in bequemer Weise iterativ gelost werden konnen.

Fur M — 7 lauten die beiden Gleichungssysteme folgendermaBen:

biYi = *1 + ьізУз + bii7i + &івУв ЪзУз = «з + ЬзгУг + ЬзіУі + &зеУв ЪъУь = «5 + ЬьгУг + ььіУі + Ьь «Ге Ь7у7 = «7 + &72 Уз + Ь7 іУ і + &7вУб

ь2у2 = <х2 + Ь2іУі + Ь23у3 + Ь25у5 + Ь27у7 Ьіуі — «4 -|- ЬііУх – і’ bi3y3 – f Ьі6у5 + bi7y7 ьвУв — лв Н" ЬвіУі ьвзУз ЬзъУъ ЬбчУт

Tabelle 7.2 Universelle Koeffizienten bvv und bm fiir die Berechmtng der Zirkulationsverteilumg nach Multhopp [56], fur M = 15, nach 01. (7.96).

Das Gleichungssystem Gl. (7.97) und damit Gl. (7.99) gilt fur einen ungepfeilten, aber sonst beliebigen Fliigel von einigermaBen groBem Seitenverhaltnis (Л > 3) sowie auch fur eine beliebige Anstellwinkel – verteilung.

Es mogen jetzt noch die Vereinfachungen angegeben werden, die sich fur einen symmetrischen FlugelgrundriB und fur eine symme – trische bzw. antimetrische Anstellwinkelverteilung ergeben.

Symmetrische Anstellwinkelverteilung. Fur die zugehorige Zirkulationsvertei – lung gilt yn = У(м+і)—п• Setzt man dieses in Gl. (7.97) ein, dann wird

M+1 2

bvyv = (Xv + Z’ ЬтУп

n=1

mit

Die Koeffizienten byn sind fur M = 7 in Tab. 7.1 und fur M = 15 in Tab. 7.2 mit angegeben.

Antimetrische Anstellwinkelverteilung. Fiir die zugehorige Zirkulationsverteilung gilt yn — —ущ+1)_71. Setzt man dieses in Gl. (7.97) ein, dann wird

M-1

2

bvyv — (Xv + JJ’ bvn Уп (v = 1, 2, …,——————– (7.101)

n=i 2 /

mit

bvn = bvn — bvn (^ ~ M “Ь 1 — n). (7.101a)

Auch die Koeffizienten bm sind in den Tab. 7.1 und 7.2 angegeben.[9]

Die Konvergenz und die Genauigkeit dieses Rechenverfahrens wurde von H. Multhopp [56] eingehend untersucht. Das Verfahren konvergiert um so besser, je groBer das Seitenverhaltnis ist. Fiir stetigen Verlauf der Fliigeltiefe l(rj) und des Anstellwinkels (x(rj) reichen im allgemeinen M = 15 Punkte langs der Spann – weite fiir praktische Zwecke aus. Bei unstetigen Anstellwinkelverteilungen, wie sie bei Klappenausschlagen vorliegen, empfiehlt H. Multhopp eine Abspaltung der Unstetigkeitsstellen, bevor das oben angegebene Rechenverfahren angewendet wird, s. Кар. XII.

Den Beiwert des Oesamtauftriebes erhalt man nach Gl. (7.81). Hier – fiir laBt sich mit Gl. (7.91) schreiben:

Der Gesamtauftrieb ergibt sieh allein aus der symmetrisehen Zirku- lationsverteilung, mithin ist

M+1

Сл = Л2А, у,. (7.102)

V — 1

Dabei sind die Koeffizienten Av fur M = 1 und M = 15 in Tab. 7.3 angegeben.

Fur den Beiwert des induzierten Widerstandes erhalt man durch Anwenden von Gl. (7.91a) auf Gl. (7.76) die folgende Formel:

Die (xin werden dabei nach Gl. (7.95) berechnet.

Der Beiwert des Rollmomentes ergibt sich nach Gl. (7.82) und Gl. (7.91)

Zum Rollmoment liefert nur die antimetrische Zirkulationsverteilung einen Beitrag, mithin ist

M-1 2

CL — Л 2 Dvyv.

V=1

Auch die Koeffizienten Dv sind in Tab. 7.3 wiedergegeben.

Den seitlichen Abstand des Auftriebsschwerpunktes einer Fliigelhalfte nach Gl. (7.75) kann man bei symmetrischer Auftriebsverteilung wie folgt berechnen:

(7.105)

(7.106)

Auch die Koeffizienten Bv und Cv sind in Tab. 7.3 enthalten.

Beispiele: Nachstehend mogen die Ergebnisse einiger Beispielrech- nungen mitgeteilt werden.

Zunachst sollen fiir einen unverwundenen Rechteckfliigel vom Seitenverhaltnis A — 6 fiir ос = 1 die Zirkulationsverteilung у (rf) langs der Spannweite und daraus die Beiwerte fiir Auftrieb und induzierten Widerstand des Fliigels berechnet werden. Die Ermittlung der Zirkulationsverteilung wird wegen der symmetrischen Anstell – winkelverteilung mit Hilfe des Gleichungssystems (7.100) unter Verwendung der Koeffizienten bvn aus Tab. 7.1 durchgefiihrt. Fiir M = 7 Aufpunkte ergibt sich mit den entsprechenden Fliigeldaten das folgende Gleichungssystem von vier Glei – chungen mit den vier Unbekannten yx bis y4:

7,1361 = 1 + l,9142y2 + 0,1464y4

4,0747y3 – 1 + 0,9142y2 + 0,8536y4 4,7383y2 = 1 + l,0360y4 + 1,1944y3 3,9099 y4 = 1 + 0,1121 y4 + l,5774y3.

Dabei wurde fiir den Auftriebsanstieg des Fliigelprofils c’a00 = 2л angenommen, d. h. es ist / = 6/jt = 1,91. Die Auflosung dieses Gleichungssystems ergibt die Zirkulationswerte у in der zweiten Spalte von Tab. 7.4.

Soil die Zirkulationsverteilung fiir M — 15 Aufpunkte berechnet werden, so wird das Gleichungssystem (7.100) mit den entsprechenden Werten bvn aus der Tab. 7.2 gebildet. Als Anfangswerte des Iterationsverfahrens konnen dabei die fiir M = 7 gefundenen Werte dienen. Man findet so die in Spalte drei von Tab. 7.4 angegebenen Werte von y. Mit diesen Werten ergibt sich der Auftriebsanstieg nach Gl. (7.102) zu dcjdoc = 4,53. Fiir den induzierten Widerstand erhalt man aus Gl. (7.103) mit Gl. (7.95) beim Anstellwinkel a = 1 den Wert cwi — 1,14. Damit ergibt sich fiir den Fliigel mit konstanter Fliigeltiefe cwi = 1,05 с^/лЛ, d. h. ein um 5% groBerer induzierter Widerstand als fiir den elliptischen Tragfliigel mit gleichem Seitenverhaltnis.

Um den EinfluB des Seitenverhaltnisses auf die Auftriebsverteilung zu zeigen, wurden fiir drei unverwundene Rechteckfliigel vom Seiten­verhaltnis Л = 6, 9 und 12 die Zirkulationsverteilungen fiber Spann­weite berechnet. Mit wachsendem Л nahert sich die Zirkulationsvertei-

Tabelle 7.4. Zirkulationsverteilung tines Rechteckfliigels Л — 6 nach dem Berech – nungsverfahren von H. Mtjlthopp [56] fur M = 7 und M = 15 Aufpunkte. V У M = 7 M = 15 0 0,4320 0,4319 0,1951 — 0,4289 0,3827 0,4192 0,4193 0,5556 — 0,4012 0,7071 0,3710 0,3711 0,8315 — 0,3232 0,9239 0,2485 0,2497 0,9808 — 0,1446 1 0 0

lung mehr und mehr der rechteckigen Verteilung. Dieses erkennt man aus Abb. 7.23, in welcher die auf den Gesamtauftriebsbeiwert cA be – zogenen ortlichen Auftriebsbeiwerte ca йЬег der Spannweite aufgetragen

Abb. 7.23. Auftriebsverteilung CuIca von unverwundenen Rechteckflugeln vom Seitenverhaltnis Л = 6, 9,12 sowie Grenzkurven ftir Л -> 0 und Л —> oo (c’ = 2 n). A OO

sind. Fur Л -> oo (ebenes Problem) ist cJcA = 1, und fur sehr kleines Seitenverhaltnis (Л 0) ist die Auftriebsverteilung elliptisch.[10] Es moge hier angemerkt werden, daB die Auftriebsverteilung von un­verwundenen Rechteckfliigeln von A. Betz [1] nach einem anderen

Verfahren schon sehr frtih ermittelt wurde. Die Auftriebsanstiege fiir die Rechteckfliigel werden spater in Abb. 7.30 angegeben.

Um den EinfluB der Fliigelzuspitzung auf die Auftriebsverteilung zu zeigen, sind in Abb. 7.24 die Zirkulationsverteilungen fiir vier un – verwundene Trapezflugel vom Seitenverhaltnis A = 6 und mit den Zuspitzungen X = IJli — 0,1/4, x/2 und 1 dargestellt. Die Zuspitzung hat einen starken EinfluB auf die Verteilung des ortlichen Auftriebs-

beiwertes langs Spannweite. Dieses erkennt man aus Abb. 7.25, in welcher die Kurven calcA aufgetragen sind. Die stark zugespitzten Fliigel haben in der Nahe der Fliigelenden ortliche Auftriebsbeiwerte ca, die erheblich groBer sind als der Gesamtauftriebsbeiwert cA. Diese Tatsache ist bedeutungsvoll fiir das AbreiBverhalten der Stromung solcher Fliigel – formen bei hohen Auftriebsbeiwerten. Bei Steigerung des Anstellwinkels tritt der Ablosungsbeginn etwa an der Stelle des maximalen ortlichen Auftriebsbeiwertes auf, somit bei stark zugespitzten Trapezfliigeln in der Nahe der Fliigelenden und bei Rechteckfliigeln in der Fliigel – mitte.

7.335 Ringflugel. Auf die Behandlung von Tragfliigelsystemen, wie z. B. Doppeldecker – und Tandemanordnung, wollen wir verzichten, da diese fiir die Flugtechnik keine groBe praktische Bedeutung mehr haben. Jedoch soli hier noch eine Sonderform, namlich der Ringfliigel, kurz erwahnt werden.

Abb. 7.26. Auftriebsanstieg eines Ringflugels in Abh&ngigkeit vom Seitenverhaltnis. Kurve 1: einfache Traglinientheorie nach Gl. (7.108); Kurve 2: Tragfiachentheorie nach [81]; Messungen vgl. [16].

Unter einem Ringfliigel verstehen wir eine rohrenformige zylin – drische Flache nach Abb. 7.26. Mit D als Durchmesser und L als Tiefe definiert man

als das Seitenverhaltnis des Ringfliigels. Bei unsymmetrischer An – stromung unter dem Anstellwinkel oc erfahrt ein solcher Ringfliigel einen Auftrieb, der sich nach ahnlichen Verfahren berechnen laBt wie der Auftrieb des gewohnlichen Tragfliigels. Im einfachsten Fall (Trag­linientheorie) wird der Ringflugel durch eine kreisformige tragende

Linie ersetzt. Mit der Theorie des Ringflugels hat sich besonders ein – gehend J. Weissinger [84] befaBt.

Bezieht man den Auftriebsbeiwert auf die abgewickelte Zylinder- flache, also

A = cAnDLq

so gilt nach der einfachen Traglinientheorie fur den Auftriebsanstieg:

dcA __ 2пЛ

doc n + 2Л

In Abb. 7.26 ist der Auftriebsanstieg in Abhangigkeit vom Seiten- verhaltnis Л dargestellt. Zum Vergleich sind Messungen verschiedener Autoren eingetragen, die befriedigend mit dieser einfachen Theorie ubereinstimmen. Eine bessere Gbereinstimmung der Messungen mit der Theorie ergibt sich, wenn man Ergebnisse nach der erweiterten Traglinientheorie und nach der Tragflachentheorie zum Vergleich heranzieht. Es sei hierzu wieder auf die Arbeit von J. Weissinger [84] verwiesen.

Der Gesamtauftrieb eines Tragfliigels endhcher Spannweite er – gibt sich nach Gl. (5.42) durch Integration der Auftriebsverteilung und nach Gl. (7.7) durch Integration der Zirkulationsverteilung Г(у) iiber die Fliigelspannweite zu:

A = їоо/ca(y) l(y) dy = qU^JГ(у) dy. (7.59)

— S —S

Dabei bedeutet die Anstromgeschwindigkeit des Fliigels, = = q den Staudruck und ca(y) den ortlichen Auftriebsbeiwert des

Fliigelschnittes y. Wahrend die erste Beziehung nach den Gin. (7.42) und (7.43) durch Integration der Druckverteilung iiber die Fliigelflache

gewonnen wird, folgt die zweite Beziehung aus dem Kutta-Joukowsky- schen Satz.

Nachstehend soil eine weitere Beziehung fur den Gesamtauftrieb durch Anwendung des Impulssatzes abgeleitet werden. Nach Abb. 7.19

wird eine zylindrische Kontrollflache um den Tragfliigel gelegt. Die Achse des Zylinders verlauft in der Richtung der Anstromungsgeschwindigkeit U00. Die beiden Grundflachen I und II der zylindrischen Kontrollflache sollen sich sehr weit vor bzw. sehr weit hinter dem Fliigel befinden. Der Durchmesser des Kontrollzylinders wird so groB gewahlt, daB auf der Mantelflache Druck und Geschwindigkeit die Werte p^ bzw. Uqq der ungestorten Stromung haben wie auf der Flache I. Falls man nur den Auftrieb mittels des Impulssatzes berechnen will, kann man naherungsweise annehmen, daB die freie Wirbelschicht sehr weit hinter dem Fliigel zur Anstromrichtung parallel ist.1

Die durch ein Flachenelement dy dz der Flache II pro Zeiteinheit hindurchtretende Fliissigkeitsmasse betragt qU^dydz. Sie liefert zu – sammen mit der vom Fliigel induzierten Geschwindigkeit eine Impulskomponente in z-Richtung von der GroBe qTJ00w00dy dz. Da auf der Flache I die induzierte Geschwindigkeit Null ist, stellt das Integral dieses Impulses iiber die Flache II die senkrecht zur Anstrom­richtung auf den Tragfliigel ausgeiibte Kraft, d. h. den Auftrieb, dar:

A = —qU^ JJ wxdy dz. (7.60)

(ii)

Diese Beziehung gilt sowohl fiir die nicht aufgerollte als auch fur die aufgerollte Wirbelflache hinter dem Fliigel, vgl. W. Kaufmann [35].

1 Auf die entscheidende Bedeutung der Neigung der Wirbelflache bei der Be­rechnung des induzierten Widerstandes mittels des Impulssatzes hat K. Kraemer [39] hingewiesen, vgl. auch [79].

Im folgenden moge fur die nichtaufgerollte Wirbelflache die Gleich – wertigkeit der Gl. (7.60) mit der zweiten Beziehung in Gl. (7.59) gezeigt werden. Das Feld der induzierten Geschwindigkeiten sehr weit hinter dem Fliigel laBt sich mit Hilfe eines zweidimensionalen Geschwindigkeits – potentials Ф(у, z) darstellen, vgl. Gl. (7.55a), wobei

дФ

=——

00 dz

ist. Setzt man diesen Ausdruck in Gl. (7.60) ein, so wird nach Aus- fiihrung der Integration iiber z:

+ oo

a = – qvx i [<pi:_^dy.

y=- oo

An den Grenzen у — Az00 und z — ±00 verschwinden die Werte Ф, wahrend in der Wirbelflache, bei z = ±0, das Potential in z-Richtung einen Sprung vom Betrage АФ(у, 0) = Ф0(у, 0) — Фи (у, 0) hat. Mithin wird

A = gU0Of ЛФ(у, 0)dy.

Dabei konnten die Integrationsgrenzen у — ±00 durch у = A-s — Azb/2 ersetzt werden, weil auBerhalb der Fliigelspannweite АФ(у, 0) = 0 ist. Innerhalb der Fliigelspannweite ist, wie in Gl. (7.52b) gezeigt wurde, der Potentialsprung АФ gleich der Zirkulation Г(у). Damit ergibt sich in Ubereinstimmung mit Gl. (7.59):

A — Q Vao j Г(у) dy. (7.61)

— s

Der Gesamtauftrieb eines Fliigels hangt also nur von der Zirkulations – verteilung langs Spannweite des Fliigels ab. Dabei ist es gleichgiiltig, ob die Zirkulationsverteilung durch die FliigelgrundriBform (Seitenverhalt – nis, Pfeilung, Zuspitzung), durch eine Fliigelverwindung oder durch die Wolbung der Fliigelflache erzeugt wird.

NaturgemaB gilt Gl. (7.60) auch fiir die aufgerollte Wirbelflache. Es sei nach Abb. 7.20 fiir eine symmetrische Zirkulationsverteilung langs Spannweite nun V der Abstand der beiden freien Wirbel mit der Zirku – lationsstarke Г0. Fiir die induzierte Geschwindigkeit in einem Punkt y, z der Querebene sehr weit hinter dem Fliigel (x 00) ergibt sich nach dem Biot-Savartschen Gesetz:

Setzt man diesen Ausdruck in Gl. (7.60) ein, so erhalt man nach sorg – faltiger Ausfiihrung der zweifachen Integration:

A — q U^r^b’. (7.62)

Unter Beriicksichtigung des Kutta-Joukowskyschen Auftriebssatzes sagt diese Formel aus, daB der Auftrieb eines Fliigels der Spannweite

b = 2s mit der veranderlichen Zirkulationsverteilung Г(у) gleich ist dem Auftrieb eines Fliigels der Spannweite V mit liber der Spannweite konstanter Zirkulationsverteilung Г0.

Durch Vergleich von Gl. (7.61) mit (7.62) ergibt sich fur den Abstand der beiden freien Wirbel:

6/2

b’=jrjr(y)dy. (7.63)

0

Diese Beziehung laBt sich auch so deuten, daB beim Aufrollen der Wirbelflache das Wirbelmoment um die Langsachse (a;-Achse) konstant

bleibt. Fur die rechte Fliigelhalfte ist das Moment der nicht aufgerollten

6/2

/

dr

— у dy und dasjenige der auf-

dy

gerollten Wirbelflaehe gleich Г0Ь’/2. Setzt man beide Ausdriicke gleich und fiihrt man bei dem Integral noch eine partielle Integration aus, dann findet man sofort die Beziehung (7.63). Zahlenwerte von b’/b werden in Abb. 11.18 mitgeteilt.

7.31 tberblick

In diesem Abschnitt soil iiber die Berechnung des Auftriebes von Tragflugeln berichtet werden. Die theoretischen Grundlagen hierfur sind in den beiden vorigen Abschnitten erlautert worden, wahrend jetzt die praktische Durchfiihrung der Berechnung im Vordergrund stehen soil. Dabei wird solchen Berechnungsverfahren der Vorzug gegeben, die sich in der numerischen Durchfuhrung als besonders bequem erwiesen haben.

Die nachstehend besprochenen Methoden (einfache Traglinientheorie, erweiterte Traglinientheorie, Tragflachentheorie) konnen im Hinblick auf ihre praktische Yerwendbarkeit folgendermaBen charakterisiert werden:

Die einfache Traglinientheorie ist nur anwendbar fur symmetrisch angestromte Fliigel mit gerader Z/4-Linie, also ungepfeilte Fliigel. Sie liefert gute Ergebnisse fiir mittlere und groBe Seitenverhaltnisse Л (etwa A > 3). Sie gestattet die Ermittlung der Auftriebsverteilung iiber Spannweite, aus der sich dann der Gesamtauftrieb, das Rollmoment und der induzierte Widerstand ergeben. Die Berechnung des Nick – momentes ist jedoch mittels dieser Theorie nicht mbglich.

Die erweiterte Traglinientheorie (Dreiviertelpunktmethode) ist an­wendbar auf Tragfliigel von beliebigem GrundriB und beliebigem Seitenverhaltnis. Sie eignet sich daher auch zur Behandlung des Pfeil – fliigels sowie des schiebenden Flugels. Sie liefert die Auftriebsverteilung iiber Spannweite. Hieraus ergeben sich der Gesamtauftrieb, das Roll – moment und der induzierte Widerstand sowie naherungsweise auch das Nickmoment.

Die Tragflachentheorie ist wie die erweiterte Traglinientheorie eben – falls anwendbar auf Fliigel von behebigem GrundriB und beliebigem Seitenverhaltnis. Sie liefert die Auftriebsverteilung iiber Spann­weite und iiber Tiefe. Hieraus ergeben sich der Gesamtauftrieb, das Roll – moment, der induzierte Widerstand sowie das Nickmoment und damit die Neutralpunktlage des Flugels. Die genaue Kenntnis der Neutral – punktlage ist fiir Pfeilfliigel besonders wichtig.

Einen zusammenfassenden Gberblick iiber die Methoden der Trag- fliigeltheorie haben H. G. Kussner [44] und J. Weissinger [85] und [86] gegeben. In [85] findet man eine ausfiihrliche tjbersicht iiber das neuere Schrifttum auf diesem Gebiet. t)ber die Anwendung dieser Methoden hat an Hand von zahlreichen Beispielen K. Gersten [16] berichtet.

7.241 Geschwindigkeitspotential. Das induzierte Geschwindigkeitsfeld des Wirbelsystems eines Tragfliigels laBt sich auch mit Hilfe eines raumlichen Ge – schwindigkeitspotentials Ф(х, у,х) angeben, wie in Кар. 2.34 ausgefiihrt wurde. Dabei erhalt man den Geschwindigkeitsvektor to = u v Iw aus № = grad Ф und somit:

дФ дФ дФ

дх 9 ду ’ dz

d2Ф(x, y, z;x’, y’)

Fiir einen Hufeisenwirbel der Spannweite dy’ und der Wirbelstarke dT — k(x y’)dx’9 welcher sich am Ort x уz’ = 0 befindet (Abb. 7.15) und dessen freie Wirbel in Richtung der positiven я-Achse verlaufen, lautet der Beitrag zum Geschwindigkeitspotential nach [73]:

mit

r=i{x – x’Y + (y – y’Y + *2. (7.49)

Die Integration liber die mit Hufeisenwirbeln dieser Art belegte tragende Flache ergibt

s

Ф(х, у, z) = —f ——– —– ^ 2 ■ G(x, y, zy’) dy’ (7.50)

J (У — У )* + г2

— s

mit

xhi. y’)

G(x, y, z; y’) = f lc(x’, y’) ll + X~X ———————- dx’. (7.51)

J У (ж — x’Y + (у — у’)2 + z2 I

Xv{V’)

Dieser Ausdruck flir das Geschwindigkeitspotential der tragenden Flache wurde in ahnlicher Form bereits frliher von Th. v. Karman und J. M. Burgers [32] [33] 9 angegeben, vgl. hierzu [73].

Auf der tragenden Wirbelflache und in der freien Wirbelflache hinter dem Fliigel ist das Potential unstetig. Es besitzt, wie die nahere Untersuchung zeigt, einen Sprung beim Durchgang durch die Wirbelflache von der Ober – zur Unter – seite. Dieser ist

auf der tragenden Flache [xv(y) < x < xh(y)]:

Ф0(х’ у) — фи(х7 у) = f k(x y) dx’ (7.52a)

x„Uj)

und in der freien Wirbelflache [x > xh(y)]:

Xh(v)

фоіх. у) — фи(х’ у) = j 4х’, у) dx’ = Г (у).

Xv{y)

(*

Beim Ubergang von der tragenden Flache zur tragenden Linie ergibt sich in Ana – logie zu Gl. (7.44a) die Funktion G in Gl. (7.50) zu:

Sehr weit vor und sehr weit hinter dem Fliigel geht die Funktion G nach den Gin. (7.51) und (7.53) iiber in

Xh(v’) G(oo, г/, z; y’) = 2 f k(x y’) dx’ = 2Г(у’), xv{y’)	(7.54a)
G(—oq9 y9 z; y’) = 0.	(7.54 b)
Setzt man Gl. (7.54) in (7.50) ein, so wird:
Ф(оо, у, z) = 2 Г Г(у,) dy’, ‘ ,y’ ’ 2л J (У-У’)2 + * -8	(7.55a)
<P(—oo9y9z) = 0.	(7.55b)
Zn

Gl. (7.55 a) stellt das zweidimensionale Potential des induzierten Geschwindigkeits – feldes in der у, z-Ebene sehr weit hinter dem Fliigel dar (Potential in der Trefftzschen Ebene [72]). Fiir die in Кар. 7.1 behandelte elliptische Zirkulationsverteilung ist das Stromlinienbild dieses induzierten Geschwindigkeitsfeldes in Abb. 7.17 dar-

ay 82<p _ Q dx2 dy2 dz2 erfhllt. Bildet man aus Gl. (7.56a) den Vektor grad <p, so stellt dieser eine Beschleuni – gung b dar:

i(x – x’)2 + (y — y’)2 + z2′

Dabei ist die Integration iiber die tragende Flache zu erstrecken.[5] Auf der tragen­den Flache ist das Beschleunigungspotential ebenso wie das Geschwindigkeits­potential unstetig. Der Sprung des Beschleunigungspotentials auf der tragenden Flache betragt

<Po(x> У) ~ <Pu(x> У) = Uoq[u0(x, y) – uu(x, y)] = Ucok(x, y). (7.58a)

In der hinter dem ^liigel abgehenden freien Wirbelflache ist dagegen der Sprung des Beschleunigungspotentials gleich Null:

Po(*> У) – <Pu(x> У) = °* (7.58b)

Die letztere Tatsache bringt bei der Auffindung von Losungen mathematisch erhebliche Vorteile gegeniiber der Losungsmethode mittels des Geschwindigkeits – potentials. Aus Gl. (7.58a) erkennt man unter Beachtung von Gl. (7.41), daft der Sprung des Beschleunigungspotentials dem Druckunterschied zwischen Unter – und Oberseite der Tragflache proportional ist.

Die Methode des Beschleunigungspotentials wurde fur die Kreisscheibe von W. Kinner [37] und fiir die elliptische Flache von K. Krienes [40] angewendet. Als Ergebnis dieser Untersuchungen ist in Abb. 7.18 der Auftriebsanstieg der

Abb. 7.18. Auftriebsanstieg der elliptischen Tragflache in Abhangigkeit vom Seitenverhaltnis. ———- Einfache Traglinientheorie nach Gl. (7.29); cA ^ = 2л; — о — Tragfl&chentheorie nach Kinner [37] und Krienes [40].

elliptischen Tragflache in Abhangigkeit vom Seitenverhaltnis dargestellt. Fur die Kreisscheibe gilt nach Kinner dcA/d(x = 1,82. Zum Vergleich mit der Trag­flachentheorie ist die einfache Traglinientheorie nach Gl. (7.29) eingetragen. Die Tragflachentheorie ergibt fur alle Seitenverhaltnisse einen kleineren Auftriebs­anstieg als die Traglinientheorie. Der Unterschied beider Theorien ist bei kleinen Seitenverhaltnissen erwartungsgemaB groBer als bei groBen Seitenverhaltnissen.

—- V (y – y )2)

Man kann von der in Кар. 7.22 hergeleiteten Tragflachentheorie zu einer einfacheren Tragflugeltheorie von der Art wie in Кар. 7.1 ge – langen, indem man die iiber die Fliigeltiefe kontinuierlich verteilte Zir – kulation ersetzt durch eine Wirbelhnie, welche an einer geeignet zu wahlenden Stelle der ortlichen Fliigeltiefe angeordnet wird (Trag­linientheorie). Es sei x’i = xt(y’) der Ort dieser tragenden Wirbelhnie, den man zweckmaBigerweise in der Einviertelpunkt-Linie annimmt. Fiir die Funktion G(x, y y’) nach Gl. (7.39a) ergibt sich dann

Dabei ist Г(у’) die gesamte Zirkulation um den Fliigelschnitt yr. Weiter – hin gilt fiir у’ = у und x > x[

0(x, y y) = 2Г(у). (7.44b)

Die kinematische Stromungsbedingung Gl. (7.37) kann in diesem Fall nur noch in einem Punkt langs der Fliigeltiefe erfiillt werden. Die Koordinaten dieses Aufpunktes seien xv(y). Es ist zweckmaBig, diesen Aufpunkt in Dreiviertel der ortlichen Fliigeltiefe anzunehmen (Drei – viertelpunkt, Theorem von Pistolesi), vgl. Кар. 6.351. Damit wird der Klammerausdruck auf der linken Seite von Gl. (7.40)

wobei <x(y) der gegen die Nullauftriebsrichtung gemessene Anstell – winkel ist, Abb. 7.14.

Werden die Gin. (7.45) und (7.44) in Gl. (7.40) eingesetzt, so erhalt man die Integralgleichung fiir die Zirkulationsverteilung nach der

erweiterten Traglinientheorie:

Gegeniiber der in Кар. 7.1 besprochenen einfachen Traglinientheorie hat Gl. (7.46) den groften Vorteil, auch auf schiebende und gepfeilte Fliigel anwendbar zu sein. Diese erweiterte Traglinientheorie wird auch als,,DreiviertelpunJctmethode“ bezeichnet. Sie wurde insbesondere von J. Weissinger [83] ausgearbeitet und angewendet. Mit der Begriindung dieser Traghnientheorie hat sich auch E. Reissner [64] befaBt.

Fur den Pfeilfliigel ergibt sich eine Wirbelanordnung nach Abb. 7.16. Dabei ist in Abb. 7.16a der Ersatz des Tragflugels durch das System der Elementarflugel und in Abb. 7.16b das der Prandtlschen Vor – stellung aquivalente Wirbelsystem nach Abb. 7.5 dargestellt.

Bei der Prandtlschen Traglinientheorie und der vorstehend geschilderten Drei – viertelpunktmethode wird der Tragfliigel durch nur eine tragende Linie ersetzt. Von K. Wieghardt [88] stammt der Gedanke, mehrere tragende Wirbellinien hintereinander anzuordnen. Man kann dieses Verfahren als „Mehrpunktmethode“ bezeichnen. N. Scholz [70] hat diese Methode weiter ausgebaut und insbesondere auf den gewolbten Rechteckfliigel angewendet.

Schon friiher hatte V. M. Falkner [9], [10] ein Verfahren angegeben, bei dem sowohl in Tiefen – als auch in Spannweitenrichtung diskrete Wirbel angenommen werden. Weiterhin sei noch auf die Arbeit von W. P. Jones [31] hingewiesen.